函數(shù)最值在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用淺談

毛晨陽

摘 要最值問題在高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中具有很重要的地位，而函數(shù)最值問題涉及的內(nèi)容非常廣泛，導(dǎo)致最值問題的內(nèi)容分散，靈活性比較大，求解比較困難?；诖?。本文主要研究函數(shù)最值在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以便更有效地解決此類問題。

關(guān)鍵詞函數(shù)最值;函數(shù)極值;最值問題;二次函數(shù)

中圖分類號：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2020）33-0176-02

本篇文章主要以中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)最值問題為基本的出發(fā)點，利用函數(shù)最值定義、函數(shù)的單調(diào)性和性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等方面來求解問題并進(jìn)行應(yīng)用幫助學(xué)生在解題過程中提供一些思路和方法。這樣可以真正根據(jù)具體題目中的特點進(jìn)行一次認(rèn)真的分析，合理判斷之后，就可以在解題過程中巧妙地選取最適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑥亩诤艽蟪潭壬瞎?jié)約時間，提高解決問題的效率。特別是，當(dāng)遇到一些典型題目時候，選擇最合適的方法去解決，更會出現(xiàn)事半功倍的效果。函數(shù)最值問題是函數(shù)研究中極為重要的部分，函數(shù)最值在二次函數(shù)、三角函數(shù)、現(xiàn)實生活中的應(yīng)用非常廣泛，而對于現(xiàn)實生活中的問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中求函數(shù)最值的問題，并通過解決數(shù)學(xué)中問題來最終達(dá)到解決這類問題的目的。

一、預(yù)備知識

（一）函數(shù)的極值

定義在包含的某個區(qū)間內(nèi)，若，則點為的極大值點，為的極大值;定義在包含的某個區(qū)間內(nèi)，若，則點為的極小值點，為的極小值。

（二）函數(shù)的最值

定義1：設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在一點，使得對定義域內(nèi)的任意一點，都有，那么我們稱為函數(shù)的最大值，記為;

定義2：設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在一點使得對定義域內(nèi)的任意一點，都有，那么我們稱為的最小值，記為。

例1：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。

分析：先求閉區(qū)間上函數(shù)的極值，然后把極值與端點函數(shù)比較大小，確定最值。

解：因為，所以令，得（舍正）。

又因為

比較得，的最大值為3，最小值為。

二、函數(shù)最值在二次函數(shù)中的應(yīng)用

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最重要的一部分知識。不僅在初中應(yīng)用廣泛，在高中更為廣泛。y=ax²+bx+c（a≠0）在三角函數(shù)和一些實際問題中也得以體現(xiàn)，對學(xué)生來說，這類最值的應(yīng)用是至關(guān)重要的。近年來，壓軸題常常會考到它的最值應(yīng)用，這使它成為了考試中的一個熱點。二次函數(shù)是客觀地反應(yīng)了變量之間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的一種重要的數(shù)學(xué)模型，是中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)的重點和難點，學(xué)習(xí)上有一定的難度。所以學(xué)生對這類問題的學(xué)習(xí)不僅可使分析以及解決問題的能力得到了提高，也可幫助他們理解和掌握函數(shù)思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)方法，在很大程度上節(jié)約時間，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（一）二次函數(shù)的主要兩種形式

1.一般式：

（1）當(dāng)時，開口向上，對稱軸，頂點坐標(biāo)。

當(dāng)，隨的增大而減小;當(dāng)時，則隨的增大而增大;當(dāng)時，有最小值。

（2）當(dāng)時，開口向下，對稱軸，頂點坐標(biāo)。

當(dāng)時，隨的增大而增大;當(dāng)時，隨的增大而減小;當(dāng)時，有最大值。

2.頂點式：

（1）當(dāng)時，開口向上，取，的最小值是，此時兩個端點是進(jìn)行最大值的比較;

（2）當(dāng)時，開口向下，取的最大值是，此時兩個端點是進(jìn)行最小值的比較。

（二）利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值

任何一個二次函數(shù)解析式都可以轉(zhuǎn)化成或，兩者可以相互轉(zhuǎn)化。因此，在解這類題的過程中，可用配方法、公式法，再由二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行靈活應(yīng)用去求函數(shù)最值。例如，在區(qū)間上。配方得到形如函數(shù)，再利用的性質(zhì)來求解函數(shù)最值。

例2：二次函數(shù)，當(dāng)時，求的最值。

分析：這個題可將函數(shù)進(jìn)行配方，依的開口的方向來判斷函數(shù)的最值。在用配方求解時需要注意，不要將函數(shù)與方程它們的配方進(jìn)行混淆，同時要知道如何去進(jìn)行函數(shù)的配方，在配方的過程中要注意加上一個的同時要減去相同的一個，保證值不變。配方后，根據(jù)開口方向和定義域來進(jìn)行最值的判斷。

解：首先對二次函數(shù)配方，由此得出的開口的方向是向上的，所以在的時候，有最小值為。

因為，所以當(dāng)時，函數(shù)值為;當(dāng)時，函數(shù)值為。

故函數(shù)的最大值為。

三、函數(shù)最值在三角函數(shù)中的應(yīng)用

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)是一種特殊函數(shù)，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)于最值問題中常見的應(yīng)用，有利于使學(xué)生更好地去理解這種函數(shù)的一些基礎(chǔ)的知識，培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)的邏輯思維。在求解三角函數(shù)最值的時候，要能夠理解掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，并在公式的靈活變化中，還要能依據(jù)其他函數(shù)解決最值問題的特點來進(jìn)行分析，這種函數(shù)所學(xué)到的知識和一些思想應(yīng)該有機結(jié)合起來。如三角函數(shù)圖像的應(yīng)用。

當(dāng)時，則、的值域為和，而當(dāng)確定范圍時，求這類問題，運用數(shù)形結(jié)合法就是最好的一種解題方法，一是結(jié)合三角函數(shù)的圖像，二是利用三角函數(shù)線。在求函數(shù)最值中，最直觀的方法便是圖像法，可觀察圖像，最大（小）值可在最高（底）點縱坐標(biāo)取得。求這類問題時，取值范圍是要先知道的，然后結(jié)合這個函數(shù)圖像，就很容易把函數(shù)最值求出來。

例3：已知，，求的最值。

解：由于，則.由的圖像可以看出。故。

四、函數(shù)最值在實際生活中的應(yīng)用

在生活中，人們總會遇到最值問題，如最經(jīng)濟的材料、最大的面積等等，我們就有必要尋找相對應(yīng)的適當(dāng)?shù)姆桨富虿呗裕脤?dǎo)數(shù)去解決這類問題，是基本方法中的一種.求這類問題的步驟：先將問題構(gòu)造成數(shù)學(xué)模型，根據(jù)變量的關(guān)系寫出;先求的導(dǎo)數(shù)，再去解;把的點的數(shù)值與端點的函數(shù)數(shù)值進(jìn)行比較，求出最值。注意：在求最值時，要考慮到問題的實際的意義，不符合的理應(yīng)舍去。當(dāng)求出的解是一個的時候，則這個解是極值便是最值，可以不用與端點再來比較。在解決實際問題時，要注意用函數(shù)表示出相關(guān)變量，以及的取值范圍。

（一）用料最省、費用最低問題

最經(jīng)濟和低成本以各種形式出現(xiàn)，可將這種形式的指標(biāo)表示為關(guān)于的函數(shù)，求解最值的方法可以是導(dǎo)數(shù)或者其他的，注意的取值范圍。

例5：在一次輪船比賽中，一艘輪船燃燒費和船速的關(guān)系為。其他與速度無關(guān)的總費用是96元/小時，求使1海里需要費用的總和是最小，船速的值。

分析：這個題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的方法，用所知道的條件去表示出函數(shù)的關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解。分析問題中的各個量之間的關(guān)系，正確寫出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵。

解：設(shè)船速為海里/小時，1海里的航行所要費用為元，而1海里航行時間為，則，所以。

令，解得。

因為當(dāng)時，，當(dāng)時，所以當(dāng)時，取得極小值，也是最小值。

故當(dāng)船速是20海里/小時，1海里航行需要的費用總和最小。

（二）面積、體積最大問題

對面積或體積最大的問題，關(guān)鍵是分析這個幾何體的幾何特征，要選擇合適的量去建立我們要用到的目標(biāo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求最值。

例6：某工廠需要加工一種新形狀的玻璃，為此將材質(zhì)為玻璃的矩形玻璃和半圓進(jìn)行相接，就是將半圓直徑與矩形一邊相接，半圓的直徑是，當(dāng)矩形周長是10時，求矩形玻璃面積最大，的值。

分析：本題考查的是尋找矩形玻璃的面積與半徑間的關(guān)系，并利用導(dǎo)數(shù)求最值。

解：設(shè)矩形另一個邊為，由于半圓弧長為，可得到關(guān)系式為，所以，令，得。

當(dāng)時，;當(dāng)時，。

所以當(dāng)時，的極大值，也是最大值，故，矩形玻璃面積最大。

五、結(jié)論

本文主要介紹了函數(shù)最值在二次函數(shù)、三角函數(shù)以及實際生活問題中的應(yīng)用，通過相關(guān)例題的分析提供給學(xué)生一些思路和方法，從而提高學(xué)習(xí)效率。研究函數(shù)最值，不僅讓學(xué)生們對函數(shù)和數(shù)學(xué)本身有更好的了解，而且對解決實際問題有著更深遠(yuǎn)的意義。

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