基于改進(jìn)灰色馬爾科夫模型的自由現(xiàn)金流預(yù)測

李攀藝 曹奧臣 張玉紅

【摘 要】 隨著我國資本市場發(fā)展和會計(jì)披露要求的進(jìn)一步完善，自由現(xiàn)金流折現(xiàn)法在企業(yè)價值評估中得到廣泛應(yīng)用，但如何更為科學(xué)、合理地預(yù)測企業(yè)自由現(xiàn)金流仍是一項(xiàng)關(guān)鍵且充滿挑戰(zhàn)的課題。為盡力規(guī)避評估實(shí)務(wù)中可能面臨的主觀噪聲，獲取相較精準(zhǔn)的預(yù)測值，文章將新陳代謝思想引入灰色預(yù)測模型中，采用Fisher最優(yōu)分割法對馬爾科夫鏈的狀態(tài)區(qū)間進(jìn)行劃分，試圖以上述改進(jìn)方法為基礎(chǔ)預(yù)測企業(yè)自由現(xiàn)金流。試驗(yàn)結(jié)果表明在“小樣本、貧信息”的情境下，改進(jìn)后的組合預(yù)測模型相較灰色預(yù)測、灰色馬爾科夫模型及灰色新陳代謝模型在預(yù)測精度上有所提升。

【關(guān)鍵詞】 收益法; 新陳代謝; 灰色預(yù)測; 馬爾科夫鏈; Fisher最優(yōu)分割法

【中圖分類號】 F275? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A? 【文章編號】 1004-5937（2020）23-0144-07

一、問題的提出

隨著我國資本市場發(fā)展和會計(jì)披露要求的進(jìn)一步完善，基于自由現(xiàn)金流量的評估方法在企業(yè)價值評估中得到廣泛應(yīng)用。自由現(xiàn)金流折現(xiàn)法作為評估企業(yè)價值的主流方法之一，其關(guān)鍵環(huán)節(jié)是如何預(yù)測企業(yè)的預(yù)期收益。自由現(xiàn)金流量預(yù)測方法是在企業(yè)持續(xù)經(jīng)營的前提下，通過合理預(yù)測企業(yè)預(yù)期獲利能力并選擇適當(dāng)折現(xiàn)率，從而測算出企業(yè)的價值。如何把握預(yù)測的不確定性，構(gòu)建一個更加科學(xué)合理的自由現(xiàn)金流量預(yù)測模型，對更加準(zhǔn)確地進(jìn)行企業(yè)估值具有決定性意義。

既有研究中，收益法的技術(shù)發(fā)展呈現(xiàn)多元化、創(chuàng)新化的新態(tài)勢，大量數(shù)理模型與方法被引入到收益額的預(yù)測環(huán)節(jié)。陳蕾等[ 1 ]利用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法對周期性企業(yè)進(jìn)行估值，通過測度歷史數(shù)據(jù)概率分布進(jìn)而模擬未來的收益區(qū)間，附帶范圍波動的預(yù)測值使得評估結(jié)果更具說服力及可信度;劉曉煜[ 2 ]從邏輯推理的視角出發(fā)將蒙特卡洛模擬到評估中，試圖探索預(yù)測系統(tǒng)的因果反饋關(guān)系及運(yùn)行機(jī)制，從而擴(kuò)大以企業(yè)現(xiàn)金流量作為收益法評估參數(shù)的適用范圍;王晶等[ 3 ]基于系統(tǒng)思想，提出了嵌入知識的人機(jī)交互式綜合集成預(yù)測方法框架，并將其應(yīng)用于智能化決策支持系統(tǒng)的預(yù)測環(huán)節(jié)。各類預(yù)測方法均對應(yīng)其適用的評估情境，但實(shí)際研究中仍須結(jié)合特定的評估環(huán)境充分把握預(yù)測理論與方法[ 4 ]，進(jìn)而提高預(yù)測的科學(xué)性及準(zhǔn)確性。

目前，我國評估實(shí)務(wù)中常面臨標(biāo)的企業(yè)成立時間短、數(shù)據(jù)信息稀缺等現(xiàn)象，類似“小樣本、貧信息”式的非確定系統(tǒng)同樣廣泛存在于現(xiàn)實(shí)中，諸多學(xué)者試圖借助灰色系統(tǒng)理論攻克實(shí)際問題。其中，當(dāng)屬灰色預(yù)測模型的多學(xué)科應(yīng)用場景最為豐富，但此模型對高波動型序列的擬合效果不佳，難以滿足收益法中預(yù)測精度的要求，而馬爾科夫模型則適合高波動型序列的預(yù)測，通過將以上二者有機(jī)組合，不僅可發(fā)揮前者對小樣本及趨勢預(yù)測的優(yōu)勢，而且可有效彌補(bǔ)灰色預(yù)測對高波動型數(shù)據(jù)擬合效果不佳的缺陷[ 5 ]。研究證明，此組合模型對“經(jīng)營波動大、數(shù)據(jù)信息少”的評估標(biāo)的展現(xiàn)出良好的預(yù)測精度[ 6 ]。張喜才等[ 7 ]通過灰色馬爾科夫模型對京津冀農(nóng)產(chǎn)品冷鏈需求量進(jìn)行分析，證實(shí)該方法的預(yù)測誤差相較指數(shù)平滑法、模糊線性回歸模型與灰色預(yù)測模型均有大幅降低。但是，現(xiàn)有的灰色馬爾科夫模型在應(yīng)用歷史數(shù)據(jù)預(yù)測未來時并沒有考慮到數(shù)據(jù)的時效性對預(yù)測精度的影響。根據(jù)新信息優(yōu)先原則，信息效度會隨時間推移而改變，越臨近當(dāng)前時點(diǎn)的新信息對研究系統(tǒng)走勢往往越有價值，即新信息對預(yù)測的參考作用最高。因此，一些文獻(xiàn)通過對經(jīng)典的灰色馬爾科夫模型進(jìn)行改進(jìn)，剔除低價值的舊數(shù)據(jù)，引入高價值的新數(shù)據(jù)，以提升預(yù)測精度。如丁建[ 8 ]在灰色馬爾科夫鏈模型中結(jié)合新陳代謝思想對軍隊(duì)物資消耗進(jìn)行研究，擬合值與真實(shí)數(shù)據(jù)的對比結(jié)果充分證明了引入新陳代謝思想的科學(xué)性。張朝飛等[ 9 ]通過引入衰減記憶最小二乘法對新舊信息進(jìn)行加權(quán)處理，剔除時間序列中陳舊的低價值信息，并將新測得的預(yù)測數(shù)據(jù)添至原始序列集中，依此方法預(yù)測的激光IMU數(shù)據(jù)與實(shí)際標(biāo)的數(shù)據(jù)偏差降低。上述研究表明，新陳代謝思想與預(yù)測模型的結(jié)合，可使預(yù)測結(jié)果實(shí)時反映研究系統(tǒng)的狀態(tài)特性，有利于充分把握系統(tǒng)的發(fā)展走勢。還有一些研究基于模型對馬爾科夫鏈簡單的等距劃分缺乏科學(xué)性的認(rèn)識，對馬爾科夫模型進(jìn)行了改進(jìn)。如王艷等[ 10 ]在進(jìn)行降雨量預(yù)測時，利用Fisher最優(yōu)分割法建立降雨量數(shù)據(jù)的分級標(biāo)準(zhǔn)，增強(qiáng)了馬爾科夫模型中狀態(tài)劃分的效率。Fisher最優(yōu)分割法綜合考慮多因子指標(biāo)，且能科學(xué)地展現(xiàn)分期數(shù)目變化對計(jì)算結(jié)果的影響趨勢，從而確定最優(yōu)的分期數(shù)目。莫崇勛等[ 11 ]在對汛期分期研究時證明該方法在狀態(tài)劃分時表現(xiàn)出較強(qiáng)的優(yōu)勢。

本研究立足既有的研究成果，試圖對適用于“小樣本、貧信息”環(huán)境的灰色馬爾科夫模型進(jìn)行兩方面改進(jìn)：一是將新陳代謝思想引入灰色預(yù)測模型;二是采用Fisher最優(yōu)分割法對狀態(tài)進(jìn)行科學(xué)劃分，將改進(jìn)后的模型應(yīng)用于自由現(xiàn)金流預(yù)測。最后通過案例，將改進(jìn)的模型與灰色預(yù)測模型、灰色馬爾科夫模型、灰色新陳代謝模型進(jìn)行預(yù)測效果的比較，凸顯了改進(jìn)模型的預(yù)測優(yōu)勢。

二、模型的構(gòu)建

（一）灰色預(yù)測模型

鄧聚龍教授于1982年首創(chuàng)灰色系統(tǒng)理論，該理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本、貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對象，主要通過對部分已知信息的生成、開發(fā)，提取有價值的信息，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)運(yùn)行行為、演化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控，并在經(jīng)濟(jì)、工業(yè)、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，由于企業(yè)歷年現(xiàn)金流信息作為典型的時間序列數(shù)據(jù)，受宏觀環(huán)境、行業(yè)等不確定性因素波動的影響，屬于典型的“小樣本、貧信息”不確定的灰色系統(tǒng)，適合使用灰色模型建模來預(yù)測，灰色預(yù)測模型普遍應(yīng)用于價值評估。其中，GM（1，1）模型作為灰色預(yù)測理論中的核心，其建模過程主要包括如下步驟：

1.級比檢驗(yàn)

為了保證灰色預(yù)測建模的可行性，需要對已知的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行級比檢驗(yàn)。設(shè)原始非負(fù)序列為X =[x （1），x （2），…，x （n）]，計(jì)算序列的級比：

若（n-1）項(xiàng)級比值λ（k）均落在可容覆蓋區(qū)？專=? [e ，e ]中，則表示數(shù)據(jù)序列X（0）通過級比檢驗(yàn)，可對該序列進(jìn)行GM（1，1）建模。否則需要對數(shù)據(jù)序列進(jìn)行變換處理，常用的方法有平移變換、對數(shù)變換和方根變換等，即通過對原始序列進(jìn)行以下處理：

2.模型建立

（1）對原始序列或經(jīng)過變換處理后的序列進(jìn)行一次累加生成處理（1-AGO），即：

（2）構(gòu)建微分方程：

相應(yīng)的白化微分方程為：

于是解得白化微分方程：

3.誤差檢驗(yàn)

（1）殘差檢驗(yàn)。令殘差為？著（k），計(jì)算：

其中，x （k）為實(shí)際值，? （k）為擬合值，？著（k）表示實(shí)際值與擬合值之差。

（2）相對誤差檢驗(yàn)。首先計(jì)算殘差的絕對值？著（k），再用？著（k）比實(shí)際值x （k）得到相對誤差值，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

k數(shù)值越小，表示模型預(yù)測誤差越小，反之則表示預(yù)測誤差越大。

GM（1，1）模型作為灰色預(yù)測理論的基礎(chǔ)，已經(jīng)被眾多學(xué)者廣泛應(yīng)用和深入研究，不僅提高了灰色預(yù)測模型的精度，而且進(jìn)一步完善了灰色系統(tǒng)理論。李夢婉等[ 12 ]基于求解優(yōu)化和多項(xiàng)式擬合優(yōu)化相結(jié)合的改進(jìn)灰色等維動態(tài)預(yù)測方法，通過美國兩百年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了改進(jìn)模型較傳統(tǒng)模型的可靠性;黎洋等[ 13 ]將傅里葉級數(shù)應(yīng)用于動態(tài)GM（1，1）模型修正，并將修正后的模型誤差與傳統(tǒng)模型進(jìn)行比較，得出預(yù)測精度提高的結(jié)論;邊國興等[ 14 ]提出了xk/ka（a>0）的數(shù)據(jù)變換方法，提高了原始數(shù)據(jù)的光滑度，從而提高了傳統(tǒng)GM（1，1）模型的精度，且基于xk/ka（a>0）的灰色預(yù)測模型進(jìn)一步提高了該模型針對“小樣本、貧信息”預(yù)測的優(yōu)勢。

（二）馬爾科夫模型

雖然目前針對灰色預(yù)測GM（1，1）模型的修正方法多種多樣，使其有了進(jìn)一步的發(fā)展和應(yīng)用，但是該模型在對高波動性數(shù)據(jù)的處理上仍然存在缺陷，故本文將適合高波動性數(shù)據(jù)預(yù)測的馬爾科夫模型與GM（1，1）模型有機(jī)結(jié)合。

馬爾科夫鏈最早由俄國數(shù)學(xué)家安德雷·馬爾科夫于1906年提出，該模型是一個隨時間或區(qū)間變化而隨機(jī)變化的序列，目前大量采用長序列，高波動數(shù)據(jù)預(yù)測的研究建立于馬爾科夫模型上，因此被廣泛應(yīng)用于市場需求、生產(chǎn)管理、自然科學(xué)等領(lǐng)域。He等[ 15 ]建立了滑動灰色加權(quán)馬爾科夫模型預(yù)測揚(yáng)州降水量，預(yù)測結(jié)果顯示相對誤差較傳統(tǒng)灰色預(yù)測降低。Sun Wei等[ 16 ]將擴(kuò)展灰色模型替換為傳統(tǒng)的灰色模型，并將模糊理論和代謝原理引入馬爾科夫鏈中，提出了一種基于小波變換改進(jìn)的灰色馬爾科夫模型，較準(zhǔn)確地分析了能源供需缺口的趨勢以及利用香農(nóng)維納（Shannon-Wiener）指數(shù)的能源結(jié)構(gòu)。上述研究從不同應(yīng)用領(lǐng)域說明了灰色預(yù)測與馬爾科夫鏈結(jié)合的可行性。

1.馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈表示具有參數(shù)和離散性質(zhì)的隨機(jī)過程。數(shù)學(xué)定義為：給定過去的狀態(tài)X0，X1，…，Xn-1及現(xiàn)在的狀態(tài)Xn，將來的狀態(tài)Xn+1的條件分布與過去的狀態(tài)獨(dú)立，只依賴于現(xiàn)在的狀態(tài)。即對任意的n≥0，及任意狀態(tài)i，j，i0，i1，…，in-1，有：

上述隨機(jī)過程{Xn，n∈N}稱為馬爾科夫鏈。

2.轉(zhuǎn)移概率矩陣

條件概率P{Xn+1=j│Xn=i}表示馬爾科夫鏈{Xn，n=0，1，2，…}的一步轉(zhuǎn)移概率，記為pij，表示處于狀態(tài)i的過程下一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率。隨機(jī)馬爾科夫鏈轉(zhuǎn)移概率僅與狀態(tài)i，j有關(guān)。

馬爾科夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率可表示為：

顯然，n步轉(zhuǎn)移概率pij（n ）指的是系統(tǒng)從狀態(tài)i經(jīng)過n步后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率，對中間的（n-1）步轉(zhuǎn)移所經(jīng)過的狀態(tài)無要求。其中，對于任意m，n≥0，pij（n）與pij的關(guān)系為：

由此可得：n步轉(zhuǎn)移概率pij（n）為一步轉(zhuǎn)移概率pij（1）的k次方。

灰色馬爾科夫模型在時間序列數(shù)據(jù)大幅波動時與GM（1，1）模型相比較更具有優(yōu)勢，但是Hu等[ 17 ]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)與灰色馬爾科夫模型結(jié)合應(yīng)用于預(yù)測旅游需求，預(yù)測結(jié)果表明基于兩個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的灰色馬爾科夫模型進(jìn)一步調(diào)整了預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性。為提高灰色馬爾科夫模型預(yù)測精度，本文研究采用以下方法對其進(jìn)行改進(jìn)。

（三）改進(jìn)方法

在建立灰色馬爾科夫模型的過程中，需要以給定過去狀態(tài)即預(yù)測未來現(xiàn)金流所需的歷史數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)。傳統(tǒng)灰色預(yù)測理論中，GM（1，1）模型基于t=n時刻之前的全體數(shù)據(jù)預(yù)測t=n+1時刻的值，該方法未考慮基于歷史數(shù)據(jù)預(yù)測未來的時效性，即在企業(yè)價值評估中預(yù)測新一期自由現(xiàn)金流時，與研究時點(diǎn)間隔較長的歷史數(shù)據(jù)對預(yù)測的參考作用可能降低，因此對預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生一定的偏差。而新陳代謝理論通過將灰色預(yù)測所獲得的最新數(shù)據(jù)信息x （0 ）（n+1）添加到原始數(shù)據(jù)中，同時剔除原始數(shù)據(jù)中最陳舊的數(shù)據(jù)信息，利用新的數(shù)據(jù)序列重復(fù)進(jìn)行GM（1，1）模型預(yù)測步驟，以達(dá)到新信息時效性對提高灰色馬爾科夫模型精確度的目的。

1.灰色新陳代謝模型

新信息優(yōu)先原理認(rèn)為，新信息對認(rèn)知的作用要強(qiáng)于老信息（鄧聚龍，1985）。該原理是信息時效性的具體體現(xiàn)，賦予新信息較高的權(quán)重能夠有效提升模型的預(yù)測精度。李子龍等[ 18 ]結(jié)合加權(quán)馬爾科夫理論和新陳代謝思想，證實(shí)其預(yù)測狀態(tài)和原始數(shù)據(jù)的狀態(tài)前后相關(guān)性很強(qiáng)，呈現(xiàn)出順延原始數(shù)據(jù)的趨勢，證實(shí)將新陳代謝思想引入GM（1，1）模型中具有可行性。其操作步驟為：

設(shè)原始非負(fù)序列X =[x （1），x （2），…，x （n）]，利用該序列預(yù)測得到x （n+1）后，對后續(xù)數(shù)據(jù)進(jìn)一步預(yù)測時，去掉最舊的數(shù)據(jù)x （1），添加最新的數(shù)據(jù)x （n+1），后續(xù)的數(shù)據(jù)序列將不斷獲得更新。其表達(dá)式分別為：

利用不斷更新的序列X1 ，X2 ，…，Xk 建立的預(yù)測模型即灰色新陳代謝模型。

2.Fisher最優(yōu)分割法

建立馬爾科夫鏈的關(guān)鍵在于制定合理的狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)，目前廣泛采用的狀態(tài)劃分方法包括樣本均值—標(biāo)準(zhǔn)差狀態(tài)劃分法和K-means算法。其中樣本均值—標(biāo)準(zhǔn)差法是以數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，將樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差作為劃分標(biāo)準(zhǔn)，該方法僅考慮從統(tǒng)計(jì)角度簡單地將樣本均值作為指標(biāo)中心，沒有考慮研究對象本身對數(shù)據(jù)的影響。K-means算法是指定類別數(shù)為k，對樣本集合進(jìn)行聚類，而類別數(shù)的制定具有一定的主觀性?？紤]上述狀態(tài)劃分方法存在的不足，本研究嘗試將Fisher最優(yōu)分割法引入馬爾科夫模型狀態(tài)劃分中。

Fisher最優(yōu)分割是指將n個有序樣本數(shù)據(jù)分割為k類，使得段內(nèi)樣本數(shù)據(jù)差異最小而段間差異最大的一種聚類方法。具體步驟為：

定義狀態(tài)數(shù)據(jù)M={m1，m2，…，mn}

假設(shè){mi，mi+1，…，mj}表示其中一個類別，其狀態(tài)數(shù)據(jù)的均值為：

類別{mi，mi+1，…，mj}的變差為：

當(dāng)分割后每段變差和最小時，即達(dá)到最優(yōu)分割。將n個狀態(tài)數(shù)據(jù)劃分為k類，即第一類為{1，2，…，p}，第二類為{p+1，p+2，…，q}，…，第k-1類為{r，r+1，…，s}，第k類為{s+1，s+2，…，n}。

定義k個類別的總變差和為S（k）。

當(dāng)總變差和S（k）的值最小時，即達(dá)到Fisher最優(yōu)分割。

首先計(jì)算D（s+1，n）最小值，解出分段點(diǎn)tk，從而得出第k類為[tk，mn]。按上述方法依次類推得到其余k-2個分段點(diǎn)tk-1，tk-2，…。

從理論視角出發(fā)，利用該方法對馬爾科夫模型進(jìn)行狀態(tài)劃分相較等距劃分法更具科學(xué)性。

三、案例分析

上述方法對自由現(xiàn)金流折現(xiàn)模型的改進(jìn)可能具有一定的借鑒作用，在評估實(shí)務(wù)中，還需結(jié)合具體的評估情境、評估標(biāo)的等進(jìn)行分析，本文嘗試以案例的形式，將改進(jìn)的灰色馬爾科夫方法引入自由現(xiàn)金流折現(xiàn)模型中，對該改進(jìn)方法的適用性及可行性進(jìn)行系統(tǒng)論證。

本研究選取AJ公司2007—2018年的自由現(xiàn)金流（單位：萬元）作為模型預(yù)測的樣本，利用前8年（2007—2014年）的數(shù)據(jù)進(jìn)行改進(jìn)的灰色馬爾科夫建模，而后4年（2015—2018年）的數(shù)據(jù)作為模型預(yù)測精度的參照標(biāo)準(zhǔn)。具體可分為以下四個步驟：第一，利用GM（1，1）模型預(yù)測公司后4年的自由現(xiàn)金流;第二，利用馬爾科夫模型對預(yù)測值進(jìn)行修正;第三，將改進(jìn)方法引入灰色馬爾科夫模型中作進(jìn)一步優(yōu)化;第四，利用灰色預(yù)測模型、灰色馬爾科夫模型以及改進(jìn)的灰色馬爾科夫模型對公司后4年自由現(xiàn)金流的預(yù)測精度進(jìn)行對比分析。

（一）構(gòu)建GM（1，1）模型

1.級比檢驗(yàn)

原始序列（2007—2014年AJ公司自由現(xiàn)金流）為：

對原始序列進(jìn)行級比檢驗(yàn)可得：

所有數(shù)值均落在可容覆蓋區(qū)？專=[0.80，1.25]內(nèi)，故該序列適合灰色預(yù)測建模。

2.模型建立

（1）對原始序列進(jìn)行一次累加生成處理（1-AGO），得到序列：

（2）構(gòu)建微分方程：X（0）（k）+az（1）（k）=b，k=2，3，…，n

其中，Y和B分別為：

根據(jù)最小二乘法使J（？滋）=（Y-B？滋）T（Y-B？滋）達(dá)到最小值？滋的估計(jì)值為：

最終解得白化微分方程為：

原始序列的預(yù)測值為：

由上式可預(yù)測得到AJ公司2015—2018年的自由現(xiàn)金流分別為：

（二）構(gòu)建馬爾科夫修正模型

通過GM（1，1）模型得出AJ公司2007—2014年自由現(xiàn)金流的擬合值，具體如表1所示。

1.狀態(tài)劃分

按照GM（1，1）模型所擬合的AJ公司自由現(xiàn)金流與實(shí)際值的比值？椎，將2007—2014年的數(shù)值序列劃分為三種狀態(tài)M1，M2和M3。本研究利用最常用的等距分割法對狀態(tài)區(qū)間進(jìn)行劃分，得到：

M1[0.89，0.96]，M2[0.96，1.02]，M3（1.02，1.09]

由此可得AJ公司2007—2014年的狀態(tài)分別為：

M={M2，M1，M2，M3，M2，M3，M2，M1}

2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

（1）根據(jù)AJ公司2007—2014年的狀態(tài)劃分，可得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P為：

（2）預(yù)測值修正。因AJ公司2014年自由現(xiàn)金流處于狀態(tài)M1，故對GM（1，1）模型測算的預(yù)測值進(jìn)行修正，分別得到X （9）*，X （10）*，X （11）*，X （12）*。具體計(jì)算過程為：

（三）改進(jìn)方法的引入

下面將上述提出的針對灰色馬爾科夫模型改進(jìn)方法引入案例中進(jìn)行對比分析，通過案例預(yù)測結(jié)果精度對比改進(jìn)方法的優(yōu)劣。

1.灰色新陳代謝模型

通過X（0）序列預(yù)測得到X （9）的值為6 217.03，通過此方法依次將預(yù)測新數(shù)據(jù)引入，分別得到序列X1 ，X2 ，X3 ，X4 ：

最終，利用灰色新陳代謝模型測算得到AJ公司2015—2018年的自由現(xiàn)金流X （9）**，X （10）**，X （11）**，X （12）**分別為6 217.03，6 156.16，6 154.82和6 263.24萬元。

2.Fisher最優(yōu)分割法

狀態(tài)數(shù)據(jù)為M={0.89，0.95，0.96，1.00，1.01，1.01， 1.08，1.09}

本案例的狀態(tài)數(shù)據(jù)n為8，擬將其劃分為三個類別，并確保每一類別中至少包含兩個數(shù)據(jù)。首先，根據(jù)變差值確定第三類的分段點(diǎn)t3，測算得到：

經(jīng)比較可得D（7，8）

同理，再確定第二類得分段點(diǎn)t2，測算得到：

經(jīng)比較可得D（4，6）

第一類：[0.89，0.95，0.96];第二類：[1.00，1.01，1.01];第三類：[1.08，1.09]

由此得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P1為：

3.預(yù)測值修正

本研究采用Fisher最優(yōu)分割法優(yōu)化后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對灰色新陳代謝模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正，分別得出X（0）（9）***，X（0）（10）***，X（0）（11）***，X（0）（12）***，具體計(jì)算過程為：

四、案例結(jié)果

為了更直觀地呈現(xiàn)試驗(yàn)過程中各模型的預(yù)測精度，本研究采用兩種方式對效果進(jìn)行表征：第一，將各模型預(yù)測得到的AJ公司2015—2018年的自由現(xiàn)金流數(shù)值與實(shí)際值進(jìn)行對比分析;第二，將各模型2015—2018年預(yù)測值的相對誤差？駐k與4年平均相對誤差？駐k進(jìn)行對比分析，具體如表2、表3、圖1、圖2所示。

由表2、表3、圖1、圖2可知：第一，從縱向來看，灰色預(yù)測模型、灰色馬爾科夫模型、灰色新陳代謝模型及改進(jìn)的灰色馬爾科夫模型的平均相對誤差？駐k分別為9.22%，8.13%，6.60%和5.94%。從試驗(yàn)結(jié)果來看，通過對預(yù)測方法進(jìn)行科學(xué)合理的改進(jìn)后，擬合值與實(shí)際值間的誤差得到有效緩解，研究表明改進(jìn)的灰色馬爾科夫模型在預(yù)測精度上存在較大優(yōu)勢。第二，從橫向來看，改進(jìn)的灰色馬爾科夫模型相較回歸分析、蒙特卡洛模擬等方法包容性更強(qiáng)。例如經(jīng)典回歸分析中存在苛刻的高斯—馬爾科夫假定，蒙特卡洛模擬則須歷史數(shù)據(jù)依特定概率分布，這兩類方法對樣本量均存在較高要求，而改進(jìn)的灰色馬爾科夫模型在預(yù)測中所需的樣本數(shù)量相對較少，能夠滿足現(xiàn)實(shí)中信息量匱乏的評估標(biāo)的。

五、結(jié)論與展望

本文通過引入新陳代謝理論和Fisher最優(yōu)分割法，構(gòu)建了改進(jìn)的灰色馬爾科夫模型，并將其應(yīng)用于企業(yè)自由現(xiàn)金流預(yù)測環(huán)節(jié)。通過案例分析發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的灰色馬爾科夫模型平均相對誤差較灰色預(yù)測模型、灰色馬爾科夫模型和灰色新陳代謝模型更小，分別降低了3.28%，2.19%和0.66%，即預(yù)測精度更高。因此，該方法對企業(yè)自由現(xiàn)金流預(yù)測、評估企業(yè)價值具有較大的應(yīng)用空間。

本文雖對灰色馬爾科夫模型進(jìn)行了改進(jìn)，但僅考慮了自由現(xiàn)金流數(shù)據(jù)的歷史序列，未引入行業(yè)屬性、宏觀經(jīng)濟(jì)等因素進(jìn)行綜合分析，未來可進(jìn)一步在預(yù)測模型中添加外部變量，將GM（1，1）模型拓展為GM（1，n）模型。本文通過案例分析的形式證明了改進(jìn)灰色馬爾科夫模型在預(yù)測精度和樣本數(shù)量兩個維度上的優(yōu)越性，但利用該模型嘗試指導(dǎo)評估實(shí)務(wù)時，仍需對模型的適用性及適用范圍進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證，如針對企業(yè)不同業(yè)務(wù)所產(chǎn)生的現(xiàn)金流。因方法選擇、實(shí)地調(diào)研、分析估計(jì)上存在較大差異，后續(xù)研究可深入剖解自由現(xiàn)金流結(jié)構(gòu)，根據(jù)實(shí)際特征調(diào)整預(yù)測模型，進(jìn)一步加強(qiáng)預(yù)測的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。

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