2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷圓錐曲線問題研究

周陽 潘紅娟

2020年受疫情影響，全國高考推遲到7月7日舉行.全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第20題、文科數(shù)學(xué)第21題是同一道關(guān)于圓錐曲線的題目，如下：

已知A、B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，其中AG·GB=8.P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.

結(jié)論7 如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2=2px（p>0），點(diǎn)P為直線x=-t上任一點(diǎn)，直線PO與拋物線交于另外一點(diǎn)A，與x軸平行的直線PB與拋物線交于點(diǎn)B，則直線AB恒過定點(diǎn)（t，0）.

結(jié)論8 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2=2px（p>0），過x軸上任意點(diǎn)F（t，0）的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)O），直線PB與x軸平行，則直線AO與直線PB的交點(diǎn)P恒在定直線x=-t上.

結(jié)論9 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2=2px（p>0），過x軸上任意點(diǎn)F（t，0）的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)O），直線AO交直線x=-t于點(diǎn)P，則直線PB與x軸平行.

結(jié)論10 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2=2px（p>0），過x軸上任意點(diǎn)F（t，0）的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)O），直線PB與x軸平行，直線PB交直線x=-t于點(diǎn)P，則P、O、A三點(diǎn)共線.

在以上每個(gè)結(jié)論中，都有一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，其實(shí)它們都是相應(yīng)圓錐曲線的極點(diǎn)與極線.因此以上10個(gè)結(jié)論其實(shí)就是圓錐曲線中極點(diǎn)與極線的性質(zhì)，而且可以推廣到任意的極點(diǎn)與極線.只是如果極點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，那么計(jì)算量會(huì)特別大，因此這類問題不適合出現(xiàn)在高考中.因此筆者這里只給出與結(jié)論1相對(duì)應(yīng)的結(jié)論，其他的結(jié)論讀者可以仿照結(jié)論2-10自行寫出.

結(jié)論11 如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），點(diǎn)Q（x0，y0）關(guān)于橢圓C的極線為直線l：x0xa2+y0yb2=1，點(diǎn)P為直線l上任一點(diǎn)，點(diǎn)A、B為直線OQ與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，直線PA、PB與橢圓交于另外兩點(diǎn)M、N，則直線MN恒過點(diǎn)Q（x0，y0）.

本結(jié)論的證明過程計(jì)算量十分巨大，有興趣的讀者可以嘗試自行證明.