考慮齒面精度特性的漸開線圓柱齒輪包絡(luò)銑削加工

郭二廓，任乃飛，任旭東，張新洲

(1.江蘇大學 機械工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.南京工程學院 江蘇省先進數(shù)控技術(shù)重點實驗室，江蘇 南京 211167)

0 引言

近年來，針對傳統(tǒng)的滾齒、插齒等齒輪加工方法中，單件小批量、大模數(shù)齒輪類零件存在的加工周期長、專用制齒裝備和專用齒輪刀具成本高的問題，出現(xiàn)了一種在通用多軸加工中心上采用通用立銑刀具對圓柱齒輪進行包絡(luò)銑削加工的方法，該方法基于可展曲面的柔性展成包絡(luò)理論，具有加工效率高、精度高、靈活性好、綠色環(huán)保的特點，尤其對于大型異形復雜齒面的加工具有無可替代的作用。

盡管如此，這種先進的多軸車銑復合加工技術(shù)在圓柱齒輪的加工上仍然存在加工效率和加工精度之間相互矛盾的問題。究其原因，一是車銑復合包絡(luò)銑削原理是將齒面擬合成自由曲面后再進行刀具路徑規(guī)劃，并未考慮齒面的微分幾何特性；二是基于可展曲面的走刀路徑規(guī)劃方法未考慮齒面節(jié)圓處嚙合精度的需求。例如，德國DMG、日本MAZAK等五軸車銑復合加工中心雖然能夠?qū)崿F(xiàn)對圓柱齒輪的銑削加工，但是其所采用的銑削形式是將齒面擬合成自由曲面或可展曲面，將齒面的加工精度按照等殘高差法進行處理，造成加工精度和加工效率之間相互矛盾，導致大量的冗余走刀，而且齒面主嚙合區(qū)域精度不高。

目前從文獻報道來看，國內(nèi)外研究主要集中在多軸數(shù)控包絡(luò)銑削加工的刀路軌跡優(yōu)化方面，這些研究成果為圓柱齒輪的包絡(luò)銑削加工奠定了基礎(chǔ)。例如，Chiou等[1]采用掃掠包絡(luò)法加工五軸直紋曲面，以獲得刀具的精確位置；Pechard等[2]研究了復雜曲面的側(cè)銑加工刀位優(yōu)化問題；Zhu等[3-5]對多軸NC包絡(luò)銑削刀具路徑優(yōu)化的建模理論進行了系統(tǒng)研究；閻長罡等[6]研究了圓錐刀側(cè)銑加工非可展直紋面中復雜的刀軸軌跡規(guī)劃問題，提出“強制”刀具面與直紋面的瞬時線接觸的思路；Ding等[7]針對復雜曲面五軸包絡(luò)銑削加工過程中的刀位修正和自由包絡(luò)誤差補償?shù)葐栴}進行了研究。

然而，齒輪展成包絡(luò)理論不同于傳統(tǒng)的自由曲面包絡(luò)理論，由于齒面微分幾何特性復雜、齒廓精度特性要求高、齒槽空間狹小，刀具銑削過程容易出現(xiàn)曲率干涉，需要綜合考慮齒面微分幾何特征與刀具運動掃掠體的解析關(guān)系、刀具路徑規(guī)劃與齒面廓形精度特性的優(yōu)化匹配關(guān)系等。在齒輪包絡(luò)銑削加工方面，相關(guān)學者開展了部分研究。例如，Kazumasa等[8]提出一種在數(shù)控銑床上采用立銑刀加工直齒錐齒輪的精度測量和評定方法；Cihan[9]提出一種采用三軸數(shù)控銑床對直齒圓柱齒輪進行銑削加工的方法；Fritz等[10]基于自由曲面包絡(luò)銑削理論，對采用通用標準立銑刀銑削加工齒輪的關(guān)鍵技術(shù)進行了概述，并通過一系列對比實驗證明了這種高柔性齒輪加工技術(shù)所具有的廣闊應(yīng)用前景；許建民等[11]提出一種以端面銑刀代替球面銑刀端銑擺線齒輪齒廓的加工方法，表明擺線齒輪加工可以“以銑代磨”；Luo等[12]研究了擺線齒輪五軸端銑削過程中的切削干涉及其檢查。

本文針對柔性包絡(luò)銑過程中存在的加工效率與加工精度之間的矛盾，通過建立柔性包絡(luò)銑齒數(shù)學模型分析齒面微分幾何特性與刀具運動掃掠體的解析關(guān)系，對考慮齒面精度特性的包絡(luò)銑齒刀具路徑規(guī)劃方法進行研究。

1 柔性包絡(luò)銑齒數(shù)學建模

1.1 包絡(luò)銑齒原理及其坐標系

不同于傳統(tǒng)的展成加工方法，包絡(luò)銑齒是由通用的銑削刀具(如平頭立銑刀、圓頭立銑刀或盤形銑刀)與機床之間的相對運動形成的包絡(luò)齒面。一般情況下，包絡(luò)銑削齒輪的加工工藝分為4個工序：工序1是粗銑開坯，采用直徑較大的平頭立銑刀以較大的切深進行滿槽銑削，快速去除齒槽內(nèi)大部分金屬；工序2是挖根，采用球頭立銑刀對齒根和過渡圓弧部分進行銑削；工序3是半精銑，采用平頭立銑刀以較大的進給速度側(cè)銑齒槽兩側(cè)齒面，并控制兩側(cè)齒面加工余量和殘高差，以保證加工效率為主；工序4是精銑，采用平頭立銑刀以較小的進給速度側(cè)銑齒槽兩側(cè)齒面，并嚴格控制兩側(cè)齒面殘高差，以保證加工精度為主。本文主要研究刀具路徑規(guī)劃對齒面精度的影響，因此僅討論在精銑工序中的刀位點求解和刀路軌跡規(guī)劃。

圖1所示為采用平頭立銑刀在包絡(luò)銑削漸開線齒面的走刀路徑。在銑齒加工過程中，齒輪毛坯和刀具聯(lián)動，使刀具切削刃法矢與齒面刀位點法矢一致，刀具先沿齒寬方向由一端切向另一端，再沿齒頂向齒根方向進給一定深度Δu，同時齒輪聯(lián)動一定的角度，刀具再次沿齒寬方向由一端切向另一端，兩次走刀步長Δu間距對應(yīng)產(chǎn)生的齒面殘高差為Δt，依次循環(huán)往復，直到包絡(luò)銑削出整個齒面。當加工設(shè)備為一臺四軸車銑復合加工中心時，需要采用偏心銑削方式進行加工(如圖1)，計算平頭立銑刀的刀具的動態(tài)偏心量ei，

ei=rbsin(σ0+ui+φi)-rbui×

(1)

式中：rb為齒輪基圓半徑；σ0為基圓齒槽半角；ui為漸開線展開角度；φi為與齒輪固連的C軸轉(zhuǎn)動角度，且φi=σ0+ui；Dt為平頭立銑刀直徑。

圖2所示為柔性包絡(luò)銑削圓柱齒輪坐標系示意圖。分別建立Sm(Om-xmymzm)，Sg(Og-xgygzg)，St(Ot-xtytzt)3個右手笛卡爾坐標系，其中：機床坐標系Sm與機床固聯(lián)，其旋轉(zhuǎn)軸線為坐標軸zm；齒輪坐標系Sg與齒輪固聯(lián)，回轉(zhuǎn)軸C繞:坐標軸zg轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角度用φ表示；刀具坐標系St與刀具固聯(lián)，其旋轉(zhuǎn)軸線為坐標軸zt，刀尖點位置在O-xy平面內(nèi)相對工件中心的位置用(a，e)表示。初始位置時坐標系Sm與Sg重合，銑削時齒輪繞zg軸旋轉(zhuǎn)一個角度，刀具沿著直線軸調(diào)整位姿，以滿足齒面上不同刀位點的加工需求。

根據(jù)包絡(luò)銑削加工原理，通過坐標變換，刀具在工件坐標系中作螺旋運動掃掠形成齒面。假設(shè)工件坐標系下的齒面坐標和法矢分別為rg(u,θ)，ng(u,θ)，即

(2)

圖3所示為通用立銑刀的參數(shù)化描述，Ot點為所要求解的刀位點，P點為切削點坐標，H和L為切削點在刀具截形中的坐標參數(shù)，αt為刀具切削刃傾斜角度，ψ為刀具繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的角度。假設(shè)在刀具坐標系下的刀具坐標和法矢分別為rt(αt,ψ)，nt(αt,ψ)，即

(3)

由空間坐標變換關(guān)系知，工件坐標系Sg到機床坐標系Sm的齊次變換為

(4)

式中：坐標變換矩陣

φ為工件繞其自身軸線旋轉(zhuǎn)角度；pφ為工件沿齒向運動的位移。

同樣，刀具坐標系St到機床坐標系Sm的齊次變換為

(5)

聯(lián)立式(4)和式(5)，使工件與刀具坐標點和法矢相匹配，可以求得齒廓上每一點對應(yīng)的工件旋轉(zhuǎn)角度φ，以及刀具位置參數(shù)(a,e)，從而得到機床坐標系下的刀位點坐標。

1.2 求解含殘高差的包絡(luò)銑齒刀位點

在柔性包絡(luò)銑齒過程中，并非求解出齒面上的所有刀位點坐標，而是在滿足齒面精度要求的前提下逐漸逼近理想齒面廓形。下面以常見的側(cè)銑包絡(luò)加工齒輪為例，來說明含殘高差的包絡(luò)銑齒刀位點求解過程。圖4所示為一種采用平頭立銑刀的等殘高差方法逼近理想齒形，該模型可以描述為：假設(shè)A點為刀具在某一銑削位置與齒廓的相切點，B點為相鄰一個銑削位置與齒廓的相切點，C點為這兩個銑削切線AC和BC的交點，由C點向齒廓作法線，交點為D點，則CD長度為齒面上相鄰兩刀位點之間的包絡(luò)殘高差Δt。

假設(shè)在齒輪坐標系Sg(Og-xgygzg)的Ogxgyg平面中，點A，B，C，D的坐標分別為(xA，yA)，(xB，yB)，(xC，yC)，(xD，yD)，由漸開線的特性可知，切線AC和BC的斜率kA，kB分別為

(6)

由式(2)中的ng(u,θ)可知，對于漸開線的端面截形，螺旋參數(shù)θ=0，將ng(u,0)代入式(6)，有

(7)

已知切線AC和BC相交于C點，C點坐標(xC，yC)可以表示為

(8)

由漸開線公式(2)可知，位于漸開線上的A，B，D點所對應(yīng)的漸開線展開角度不同，假設(shè)為uA，uB，uD。

由式(7)可知D點的斜率kD=tan(σ0+uD)，直線CD與過漸開線上D點的切線相垂直，由幾何關(guān)系可知

(9)

將點A，B，C，D的坐標和斜率kA，kB，kD分別代入式(9)，可得如下關(guān)系式

(10)

一般而言，給定初始刀位點A(已知uA)和齒面殘高差Δt，由式(10)求得(uB，uD)，再將已求得的uB作為初始值，求解(uB1，uD1)。以此類推，依次求解出漸開線齒廓上的所有刀位點(uBi，uDi)。

2 考慮齒面精度特性的刀路規(guī)劃

目前，在多軸加工中心上銑削漸開線圓柱齒輪時，將齒面看作為自由曲面或可展曲面，自由曲面的常用刀路規(guī)劃方法有等曲面參數(shù)法、等平面進刀法和等殘高差法等。然而，如果僅將齒面上各處的加工精度采用上述刀路規(guī)劃方法來處理，不考慮到齒面微分幾何特性和齒面節(jié)圓處嚙合精度的要求，則會出現(xiàn)齒面非嚙合區(qū)域冗余走刀和齒面主嚙合區(qū)域精度不高的問題。因此，本文提出一種考慮齒面精度特性的漸開線圓柱齒輪包絡(luò)銑削加工方法，如圖5所示。該刀路軌跡規(guī)劃方法的設(shè)計思路是將漸開線齒形參數(shù)和齒面殘高差作為變量，構(gòu)建兩者之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)，使刀路軌跡按需分配，從齒形節(jié)圓至上下兩端齒廓分別呈現(xiàn)由密到疏的分布，從而滿足齒形中間精度高、上下兩端精度低的需求，保證齒面的嚙合性能。圖6所示為漸開線齒廓展開角度Δui與齒面殘高差Δti之間的關(guān)系曲線。

根據(jù)齒輪的齒面主要嚙合區(qū)域的精度要求，綜合考慮漸開線齒面的微分幾何特性，設(shè)計出通用刀具包絡(luò)銑齒的殘高差計算公式和刀路軌跡優(yōu)化算法，以實現(xiàn)刀路軌跡規(guī)劃與齒面精度的最優(yōu)匹配。具體求解步驟如下：

步驟1構(gòu)建齒廓方向走刀步長公式。將立銑刀沿齒輪齒廓方向的刀位點等分為n份，齒面上各刀位點按照拋物線方程分布，假設(shè)步長沿齒廓方向的最大間距為Δlmax，最小間距為Δlmin=Δlmax/5，兩個刀位點的相鄰步長間距為Δli，此時刀具沿齒廓方向的走刀步長滿足公式

(11)

步驟2求解走刀步長沿齒廓方向的最大間距Δlmax。對于給定的齒輪工件，可知齒面漸開線沿徑向高度為H，用式(12)求解出步長沿齒廓方向的最大間距為Δlmax。

(12)

步驟3求解齒輪齒面上各刀位點對應(yīng)的步長間距l(xiāng)i。依次將刀位點編號i=0,1,…,n帶入式(11)，可以得到齒面上各刀位點的步長間距Δli。

步驟4求解齒面上各刀位點對應(yīng)的漸開線展開角度ui。已知齒面最大間距Δlmax和當前走刀數(shù)i，由式(13)得到拋物線方程上每一個刀位點(xp，yp)對應(yīng)的齒面漸開線展開角度ui。

(13)

式中：rf為齒根圓半徑；rb為基圓半徑；σ0為基圓齒槽半角。

步驟5構(gòu)建漸開線齒廓展開角度Δui與齒面殘高差Δti之間的曲線方程。根據(jù)圖4，假設(shè)漸開線上兩個相鄰的刀位點A和B的坐標分別為(xA,yA)和(xB,yB)，A和B相交于C點，則C點為相鄰刀位點之間的最大殘高差，假設(shè)C點坐標為(xC,yC)，漸開線上兩個相鄰的刀位點A和B的斜率分別為kA和kB，由式(8)和A，B，C3點的幾何關(guān)系可得方程組

(14)

由式(13)計算兩個相鄰的刀位點A和B的漸開線展開角度uA和uB，將其代入式(7)，得到兩個相鄰刀位點A和B的斜率kA和kB。

兩個相鄰刀位點A和B的漸開線方程分別為：

(15)

(16)

將兩個相鄰刀位點A和B的斜率kA和kB，以及式(15)和式(16)代入式(14)，得到C點坐標(xC,yC)。根據(jù)漸開線特性并參考文獻[13]，得到C點的殘高差

(17)

將C點坐標(xC,yC)代入式(17)，遍歷漸開線齒廓展開角度ui，依次得到相鄰刀位點之間的殘高差Δti，由已知的漸開線齒廓展開角度Δui構(gòu)建Δui與Δti之間的曲線方程

Δti=f(Δui)。

(18)

根據(jù)式(18)可以得到在考慮齒面精度特性條件下的刀路軌跡包絡(luò)圖，如圖7a所示，刀路軌跡在齒面節(jié)圓處最密，在遠離齒面節(jié)圓處的上下兩端分布較疏。再根據(jù)刀路軌跡的包絡(luò)曲面簇可以求得在考慮齒面精度特性條件下的齒面殘高差，如圖8a所示，這種銑齒方法使齒面殘高差Δti在靠近齒面節(jié)圓處的主要嚙合區(qū)域最小，在距離齒面節(jié)圓較遠的次要嚙合區(qū)域逐漸增大，在靠近齒根和齒頂部分的非嚙合區(qū)域最大，實現(xiàn)了齒面精度按需分配。

為了驗證該方法的效果，在相同走刀次數(shù)N=14下，圖7b給出了傳統(tǒng)的基于等殘高差法得到的刀路軌跡，并在圖8b給出了基于等殘高差法的齒面殘高差。對比圖7和圖8可知，在相同加工效率下(走刀次數(shù)N=14)，本文所提出的一種考慮齒面精度特性的銑齒方法，通過構(gòu)建漸開線齒廓參數(shù)與齒面殘高差之間的曲線方程可以使刀路軌跡按需分配。如圖8a所示，齒面靠近節(jié)圓附近的主要嚙合區(qū)域(527

3 包絡(luò)銑齒加工實驗

為了驗證考慮齒面精度特性的包絡(luò)銑方法的可行性，在某型四軸齒輪銑削中心進行銑齒加工實驗。如圖9所示，該機床包括X，Y，Z3個直線軸和一個回轉(zhuǎn)軸C，可以滿足任意齒形大型外直/斜齒輪的銑削加工。實驗選用的刀具為平頭立銑刀，齒輪工件選用小退刀槽或零退刀槽的人字齒輪，因為該類型的人字齒輪退刀槽小或無退刀槽，傳統(tǒng)的滾齒和插齒無法對其加工，所以只能采用包絡(luò)銑齒加工。包絡(luò)銑齒實驗的加工基本參數(shù)如表1所示。

表1 包絡(luò)銑齒加工的基本參數(shù)

由于本文主要研究刀路規(guī)劃與齒面精度之間關(guān)系，實驗檢測報告僅選取單項的齒形評價進行對比分析。齒輪檢測設(shè)備為Wenzel LH1512型三坐標測量機(如圖10)，是兩種不同包絡(luò)銑削方法得到的齒形誤差檢測報告，由于三坐標采用離散點式接觸測量，并受齒面殘高差分布不勻和其他測量因素影響，齒形誤差值跳動較大，但是整體趨勢可以與理論結(jié)果進行對比驗證。精銑加工工序中，在相同的走刀次數(shù)N=14下，當采用等殘高差的刀路規(guī)劃方法時(如圖10a)，理論上齒形誤差應(yīng)呈直線分布(如圖10a中虛線)，實際的齒形誤差也近似呈現(xiàn)直線分布，與等殘高差法得到的齒形誤差分布趨勢基本吻合，只是理論的刀位殘高差為7 μm，實驗得到的齒形誤差平均值為15.1 μm，這可能由測量過程中部分測量點誤差跳動導致。當采用考慮齒面精度特性的刀路規(guī)劃方法時(如圖10b)，理論上齒形應(yīng)呈現(xiàn)拋物線型分布(如圖10b中虛線)，理論齒形的最大刀位殘高差為15 μm，最小刀位殘高差為2 μm，實驗得到的齒形最大誤差的平均值為20.4 μm，且近似呈現(xiàn)拋物線分布，與理論刀路規(guī)劃得到的齒形誤差分布基本吻合。實驗結(jié)果表明，在相同走刀次數(shù)下(即加工效率相同)，考慮齒面精度特性的包絡(luò)銑削刀路規(guī)劃方法可以滿足齒面中間精度高、兩端精度低的加工要求，使齒面精度按需分配，提高齒面主嚙合區(qū)域的包絡(luò)精度。

4 結(jié)束語

本文針對包絡(luò)銑齒過程中加工效率與加工精度之間的矛盾，通過建立柔性包絡(luò)銑齒數(shù)學模型，分析齒面微分幾何特征與刀具包絡(luò)運動的解析關(guān)系，研究銑齒刀具路徑規(guī)劃與齒面精度特性優(yōu)化的匹配關(guān)系，構(gòu)建漸開線齒廓展開角度與齒面殘高差之間的曲線方程，提出一種考慮齒面精度特性的漸開線圓柱齒輪包絡(luò)銑削加工方法。當在多軸加工中心上采用通用刀具加工漸開線圓柱齒輪時，該方法綜合考慮了漸開線齒面的微分幾何特性和精度特性，可以使刀路軌跡按需分配，將刀路軌跡從齒面節(jié)圓至兩端齒廓分別呈現(xiàn)由密到疏的分布，減小了齒根和齒頂?shù)娜哂嘧叩叮诒ＷC加工效率的前提下提高了漸開線齒面主嚙合區(qū)域的加工精度和嚙合性能。