基于消費(fèi)效用函數(shù)論等額本金法和等額本息法的差異

陳冠州，王禾

（1.五邑大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020；2.廣東南方職業(yè)學(xué)院 財(cái)經(jīng)學(xué)院，廣東 江門(mén) 529000）

按揭貸款是購(gòu)房時(shí)常見(jiàn)的融資方法，而還款方法有等額本息還款、等額本金還款、等額遞增還款、等額遞減還款、按期付息還款和到期還本還款等. 其中，等額本息還款和等額本金還款是最主要的兩種還款方法. 圍繞等額本息還款與等額本金還款的優(yōu)劣，不少學(xué)者與實(shí)務(wù)人士都進(jìn)行過(guò)有意義的分析. 文獻(xiàn)[1]通過(guò)定量分析明確地指出在多種常見(jiàn)情形下，借款人向銀行已支付的總利息始終有等額本息方式下的支付額大于等額本金方式下的支付額，如果借款人對(duì)兩種還貸方式的承受能力無(wú)差別，等額本金還款方式總優(yōu)于等額本息還款方式. 文獻(xiàn)[2]則運(yùn)用文獻(xiàn)資料法、案例分析法闡述了同樣的結(jié)論. 運(yùn)用類似手法進(jìn)行研究并得到相同結(jié)論的還有文獻(xiàn)[3-6]. 此外，有不少學(xué)者對(duì)等額本息還款與等額本金還款的現(xiàn)金流進(jìn)行了公式化的分析[7-8].

圍繞這兩種還款方法進(jìn)行研究的文獻(xiàn)，大部分都著眼于進(jìn)一步簡(jiǎn)化每期還款額度或還款總額的計(jì)算方式. 然而，現(xiàn)實(shí)中的貸款者在考慮選擇哪一種還款方式時(shí)，其自身的因素，如貸款者的收入、對(duì)還款期限的選擇、對(duì)現(xiàn)金流波動(dòng)的厭惡程度和耐性等都會(huì)影響其決策，因此，在既往研究的基礎(chǔ)上有必要進(jìn)一步建立一個(gè)綜合考慮以上因素的定量分析模型. 本文仍以按揭貸款購(gòu)房為例，簡(jiǎn)要回顧基于還款總額的傳統(tǒng)比較分析中的邏輯與結(jié)論，再?gòu)默F(xiàn)值法角度對(duì)兩種方法進(jìn)行比較分析，最后通過(guò)引入經(jīng)濟(jì)學(xué)與金融學(xué)中常用的消費(fèi)效用函數(shù)，對(duì)貸款者選擇不同還款方法時(shí)所獲得的效用進(jìn)行建模和分析，進(jìn)一步分析還款期數(shù)、購(gòu)房者的收入、對(duì)延遲消費(fèi)的耐性、風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度等因素如何影響還款方式的選擇.

1 模型回顧

等額本息還款是指借款人每期以相等的金額償還貸款，按還款周期每期歸還，在貸款截止日期前全部還清本息. 為了計(jì)算和說(shuō)明的方便，我們把每期設(shè)想成每月，這也是最常見(jiàn)的還款周期. 一般而言，等額本息還款模型預(yù)設(shè)以下參數(shù)，月貸款利率R，總借款額B，月還款額P，還款期n. 根據(jù)月初貸款余額計(jì)算該月還款額中的各種現(xiàn)金流，包括所支付的利息以及償還的本金，需注意，月還款總額固定，貸款利率在契約生成時(shí)固定. 設(shè)月初（即上月月末）貸款余額為L(zhǎng)，月利息支付額為IP，月本金償還額為BP，以上變量滿足以下關(guān)系：

其中，t=1,… ,n；隨著購(gòu)房者如期繳納最后一期欠款，貸款全部還清，即Ln=0. 通常情況下，貸款總額B與貸款利率R是已知的，而月還款額和還款期限由購(gòu)房者與銀行協(xié)商確定. 根據(jù)上述的變量關(guān)系我們不難發(fā)現(xiàn)月還款額與還款期限之間相互關(guān)聯(lián). 如果給定了還款期限，用數(shù)值計(jì)算能夠方便地算出月還款額，實(shí)際上，我們利用每期還款額的現(xiàn)值之和等于總借款額這一關(guān)系可以輕易地推導(dǎo)出等額本息還款模型的月還款額的解析解：

另一種常見(jiàn)的還款方法是等額本金還款法，它指借款人每期須償還等額本金，同時(shí)付清本期應(yīng)付的貸款利息，而每期歸還的本金等于貸款總額除以貸款期數(shù). 實(shí)際每期還款總額為遞減數(shù)列. 根據(jù)月初貸款余額計(jì)算該月還款額中的現(xiàn)金流，包括支付的利息和償還的本金，月還本金一定，各變量須滿足以下關(guān)系：

同樣，t=1,…,n；隨著購(gòu)房者如期繳納最后一期欠款，貸款全部還清.

2 比較分析

為了直觀地比較兩種還款方式的具體差異，我們采取數(shù)值分析方法. 設(shè)還款時(shí)間為10年，每月還款，則總期數(shù)為120；設(shè)貸款總額為50萬(wàn)元，年利率為5%，按銀行常用折算方式得月利率為5%/12.按上一節(jié)的模型計(jì)算方法，可得模擬數(shù)據(jù)如表1，其中省略了11～114期數(shù)據(jù).

表1 模擬數(shù)據(jù) 元

2.1 還款總額分析

按表1數(shù)據(jù)繪制兩種還款方式下每月還款額與累計(jì)還款額曲線，具體見(jiàn)圖1.

圖1-a能直觀地看出：等額本息法每月還款額為5 303.3元，而等額本金法最初的還款額度最高，達(dá)到6 250元，但由于本金償還的速度較快，隨后月償還額逐步遞減，在60期之前已低至等額本息法的月還款額，到末期更低至4 184元. 因此，不少實(shí)務(wù)工作者會(huì)建議購(gòu)房者在期初的時(shí)候艱苦一點(diǎn)償還更多本金，隨著時(shí)間的流逝，將來(lái)的房貸壓力會(huì)越來(lái)越低. 當(dāng)然，對(duì)等額本金法的推崇并不僅僅因?yàn)椤跋瓤嗪筇稹钡睦碛桑聦?shí)上，等額本金法的總還款金額要小于等額本息法的總還款金額，這一點(diǎn)我們能從表1的合計(jì)看出①有不少比較等額本金還款法與等額本息還款法的網(wǎng)站或廣告宣稱它們的還款總額是一樣的，如何選取僅取決于購(gòu)房者的資金計(jì)劃，而通過(guò)精確計(jì)算我們能證明這種說(shuō)法是誤導(dǎo)..

圖 1-b更方便讀者觀察整個(gè)還款期累計(jì)還款額的推移情況：還款期一開(kāi)始并持續(xù)相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間，等額本金法的累計(jì)還款額略高于等額本息法的累計(jì)還款額，這是因?yàn)榍罢邔?duì)削減本金做出了更大的貢獻(xiàn)，因此后期利息明顯下降. 經(jīng)過(guò)對(duì)比可知，在本文采用的比較符合現(xiàn)實(shí)的參數(shù)下，等額本息法還款總額會(huì)比等額本金法高出約1萬(wàn)元.

圖1 兩種還款方式每月還款額與累計(jì)還款額的比較

2.2 現(xiàn)值分析

盡管兩種還款方式最終的償還總額不同，但是從總現(xiàn)值的角度來(lái)看它們是相等的，均為借款總額50萬(wàn)元. 為了方便讀者理解，我們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，設(shè)償還的現(xiàn)金流現(xiàn)值合計(jì)為B′，得

由式（8）可見(jiàn)，無(wú)論是等額本息還款法還是等額本金還款法，它們的現(xiàn)值之和都與借款總額相等. 那么，為什么在貸款買(mǎi)房的實(shí)際操作過(guò)程中，選擇等額本息還款的人會(huì)多一些呢？有一個(gè)基于實(shí)務(wù)的有力解釋是貸款審批資料里要求借款人提供近半年銀行流水證明，且每月收入需要是月供的兩倍，等額本金法比等額本息法初期月供要高，而且貸款年限越短，兩者差距越大，所以等額本金法的貸款申請(qǐng)門(mén)檻相對(duì)更高，為了穩(wěn)當(dāng)?shù)刭J款買(mǎi)房，選擇等額本息還款更容易一些，故選擇等額本息還款的人會(huì)多一些. 那么除此以外是否還有別的原因？接下來(lái)我們從購(gòu)房者的消費(fèi)效用角度給出一個(gè)解釋，證明即使沒(méi)有上述實(shí)務(wù)操作中的限制，購(gòu)房者也會(huì)主動(dòng)選擇等額本息還款法.

2.3 效用分析

不少研究按揭貸款方式的文獻(xiàn)都著眼于現(xiàn)金流的變化、還款總額或還款期，但購(gòu)房者決定按揭貸款的時(shí)候，必然會(huì)考慮到收入與消費(fèi)的問(wèn)題. 眾所周知，消費(fèi)給經(jīng)濟(jì)主體帶來(lái)效用，在理性行為的角度看，一定期間內(nèi)越穩(wěn)定的消費(fèi)越會(huì)給經(jīng)濟(jì)主體帶來(lái)更高的總效用. 根據(jù)上述觀點(diǎn)，我們引入購(gòu)房者的月收入和效用函數(shù)對(duì)還款問(wèn)題進(jìn)行建模分析.

設(shè)效用函數(shù)u(C)，消費(fèi)C=Y-P，其中Y為月收入. 為了更簡(jiǎn)單地理解本文主要結(jié)論，我們假設(shè)購(gòu)房者月收入一定，每個(gè)月支付完按揭償還額后的收入余額都用于消費(fèi)，并給購(gòu)房者帶來(lái)效用. 因此在整個(gè)還款期間該購(gòu)房者的總效用為

其中β為效用折現(xiàn)系數(shù)，r為所對(duì)應(yīng)的效用折現(xiàn)率，

效用函數(shù)滿足一階導(dǎo)數(shù)為正、二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，即滿足“越多越好”和“風(fēng)險(xiǎn)厭惡”兩個(gè)假設(shè). 到此，只要設(shè)定效用函數(shù)的具體形式，即可檢驗(yàn)各種變量對(duì)還款方式選擇的影響. 效用函數(shù)具有多種經(jīng)典的函數(shù)型，如線性效用函數(shù)、平方效用函數(shù)、冪指數(shù)效用函數(shù)、雙曲線絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)等. 其中，冪指數(shù)效用函數(shù)具有常數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的性質(zhì)，在不產(chǎn)生重大影響下，更便于探討模型性質(zhì)，故下文將采用進(jìn)行比較靜態(tài)分析，讀者可確認(rèn)符合效用函數(shù)假設(shè)，且絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為，為常數(shù).

我們將采用比較靜態(tài)分析法，即通過(guò)單獨(dú)改變上述效用模型中特定的參數(shù)以觀察購(gòu)房者對(duì)還款方法的偏好會(huì)受到何種影響. 基本參數(shù)的默認(rèn)值設(shè)定如下，月收入?yún)⒄罩锹?lián)招聘公布的2018年底全國(guó)平均月薪值，約為Y=8 000；以不太介意凈收入波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)以及對(duì)延遲消費(fèi)極具耐性的購(gòu)房者作為參照標(biāo)準(zhǔn)[9-10]，即設(shè)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ=1.6，效用折現(xiàn)率r=0；還款期設(shè)為常見(jiàn)的10年，以月為單位得總期數(shù)n=120. 由MATLAB計(jì)算的數(shù)值比較靜態(tài)分析結(jié)果如圖2所示，縱軸代表購(gòu)房者選擇等額本息還款法時(shí)還款期間的總效用Uf與選擇等額本金還款法時(shí)還款期間的總效用Uv之差，也可以理解縱軸代表的是購(gòu)房者選擇等額本息還款法是否會(huì)比選擇等額本金還款法更加“幸?！? 此處需要注意，具有重要意義的是Uf-Uv的符號(hào)，而不是其數(shù)值大小，因?yàn)閰?shù)變化會(huì)對(duì)效用函數(shù)的基數(shù)產(chǎn)生明顯影響，根據(jù)序數(shù)效用理論，兩種還款方式所帶來(lái)的效用不能簡(jiǎn)單加總求和，但能通過(guò)它們之間的大小關(guān)系表示出滿足程度的高低與順序.

圖2 比較靜態(tài)分析

圖2-a顯示，在所選γ的變化范圍內(nèi)，Uf-Uv均大于0，也就是說(shuō)，若購(gòu)房者具有冪函數(shù)型消費(fèi)效用函數(shù)，那么她將偏好于將來(lái)有穩(wěn)定的現(xiàn)金流進(jìn)行消費(fèi)，故她應(yīng)該選擇等額本息還款法②可以確認(rèn)，即使設(shè)定更大的γ，兩還款方式的效用差fv U-U仍為正數(shù)但趨向于0，卻不會(huì)為負(fù)..圖2-b表明，在貸款總額、還款期等條件一定的情況下，若月收入較低，雖然選擇等額本金還款法會(huì)讓購(gòu)房者在還款末期償還較少的金額，但因前期還款壓力過(guò)大，其總效用比等額本息還款法的總效用小，即Uf-Uv＞0；另一方面，如果購(gòu)房者月收入較高（在此數(shù)值計(jì)算下，月收入大于約8 650元），購(gòu)房者有相對(duì)充裕的收入來(lái)承受前期還款的壓力，她可能偏向于選擇等額本金還款法. 圖 2-c顯示，在其他參數(shù)不變的情況下，效用折現(xiàn)率在各種大于0的取值下，更安穩(wěn)的還款方式會(huì)給購(gòu)房者帶來(lái)更高的“幸福感”；即使折現(xiàn)率等于 0，即購(gòu)房者非常有“耐性”，她對(duì)現(xiàn)在的消費(fèi)和將來(lái)的消費(fèi)感覺(jué)完全一樣，但在此參數(shù)條件下，她依然會(huì)偏向于選擇等額本息還款法. 圖 2-d顯示，還款方式的選擇會(huì)受到還款期的影響，盡管在本例中預(yù)設(shè)的10年還款期顯示購(gòu)房者會(huì)偏向于穩(wěn)定的還款方式，但是若還款期變得更長(zhǎng)，那么等額本金法的前期還款額也能變得更低，購(gòu)房者生活能更加充裕，而后期更充裕的消費(fèi)資金所帶來(lái)的效用占據(jù)總效用的分量會(huì)更重，購(gòu)房者更應(yīng)考慮“先苦后甜”的效應(yīng)而選擇等額本金還款法.

3 結(jié)論

本文從還款總額、總現(xiàn)值和效用的角度對(duì)按揭貸款的兩種常見(jiàn)方式，即等額本息法與等額本金法進(jìn)行了比較分析. 分析結(jié)果一方面再次確認(rèn)了在其他條件相同的情況下，盡管兩種還款方法的現(xiàn)金流現(xiàn)值之和相等，但等額本息還款法所支付的總額大于等額本金法的總還款額；另一方面，分析指出，即使等額本息還款法的總還款額更高，但是購(gòu)房者并不一定因此選擇等額本金還款法. 如果購(gòu)房者的收入較低，或還款期限不長(zhǎng)，購(gòu)房者將難以承受等額本金法所帶來(lái)的前期還款壓力，這種情況下“先苦后甜”的效應(yīng)并不明顯；購(gòu)房者在做決策時(shí)會(huì)傾向于將來(lái)有穩(wěn)定的消費(fèi)現(xiàn)金流，反映了經(jīng)典的凹性效用函數(shù)的性質(zhì). 通過(guò)建立效用模型，本研究把購(gòu)房者的償債能力更準(zhǔn)確地量化，能為貸款購(gòu)房人群提供有價(jià)值的理論指導(dǎo).