楊輝的比類思想
——以《詳解九章算法》為例

趙 晨，宋芝業(yè)

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古呼和浩特010022）

關(guān)于楊輝《詳解九章算法》的研究，前人已經(jīng)取得了比較顯著的研究成績。其中，郭書春的《詳解九章算法提要》以及高宏林、李小娟的《楊輝算法提要》兩篇文章，分別是在《中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯》中，對該算書內(nèi)容有概略性說明，有助于讀者掌握算書的精髓。孔國平的《楊輝《詳解九章算法》初探》對于《詳解九章算法》的“解題”、“圖解”等體例有所說明。錢寶琮的《九章問題分類考》為《九章算術(shù)》及《詳解九章算法纂類》二書的章節(jié)及題文列出對照表，他認(rèn)為《詳解九章算法纂類》的分類方式有若干不妥處，并積極地為《九章算術(shù)》的題文重新分類，提出自已的另一種見解。林麗娜的《楊輝《詳解九章算法纂類》研究》除了討論《詳解九章算法纂類》的分類內(nèi)容之外，以商功章“方錐”等題為例，并對于《詳解九章算法》的體例進(jìn)行說明。呂變庭的《增補＜詳解九章算法＞》是對楊輝注《九章算術(shù)》進(jìn)行了校對和注釋；其它對于楊輝《詳解九章算法》的研究大部分以算術(shù)內(nèi)容的考證及分析為導(dǎo)向，在這其中郭熙漢，孫文青，代欽等做出了大量的工作[1-5]。

在這些工作之外，對于楊輝在《詳解九章算法》中運用到的比類思想?yún)s很少被提及，有待于進(jìn)一步的研究及發(fā)掘；但楊輝的該種比類思想?yún)s在中國古代的數(shù)學(xué)發(fā)展中占有著重要的地位，并且對于當(dāng)今社會的數(shù)學(xué)教育的發(fā)展也有著借鑒意義?；诖?，通過探討比類這一思想，來分析和歸納楊輝在該著作中運用到的數(shù)學(xué)思維方法，來試圖找出在數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展上的些許啟發(fā)。

1 楊輝與《詳解九章算法》概述

楊輝，字謙光，漢族，錢塘（今浙江杭州）人，約生活在南宋末年，因其在《宋史》無傳，其它史書亦無詳細(xì)記載，故其具體生卒年已不可考，是中國古代著名的數(shù)學(xué)教育家。楊輝一生著作頗豐，著有數(shù)學(xué)著作5 種21 卷，即《詳解九章算法》12 卷（1261），《日用算法》2 卷（1262），《乘除通變本末》3卷（1274），《田畝比類乘除捷法》2卷（1275）和《續(xù)古摘奇算法》2卷（1275）（其中《詳解》和《日用算法》已非完書）。而成書于景定辛酉年（1261）的《詳解九章算法》是其早年研習(xí)《九章算術(shù)》的心得，該書在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上占有著極其重要的歷史地位。

《詳解九章算法》是在賈憲《黃帝九章算法細(xì)草》的基礎(chǔ)上寫成的。《詳解九章算法》的題目順序遵循《九章算術(shù)》中的題目順序，內(nèi)容包括原題、新題、解題、圖、法（術(shù)）、草、比類、總說、注釋等，《纂類》一章則對《九章算術(shù)》中原有的題目進(jìn)行了重新的分類。

楊輝在《詳解九章算術(shù)》一書自述中寫到：“擇八十題以為矜式，自余一百六十六問，無出前意，不敢廢先賢之文。刪留題次，習(xí)者可以聞一知十?？謫栯[而添題解，見法隱而續(xù)釋注，刊大小字以明法草，僭比類題以通俗務(wù)。凡題法解白不明者，別圖而驗之，編乘除諸術(shù)以便入門。纂法問類次見之章末，總十有二卷。雖不足補前賢之萬一，恐亦可備故來之觀覽云爾。”

通過上文楊輝的自述可以得知，《詳解九章算法》共計有12 卷，分別為：圖驗卷、乘除卷(包括方田三十八問和粟米三問)、除率卷(包括粟米五問和盈不足四問)、合率卷(包括少廣章十一問、均輸章八問及盈不足一問)、互換卷(包括粟米三十八問、衰分十一問、均輸十一問及盈朒三問)、衰分卷(包括原衰分九問和均輸九問)、壘積卷(原商功章)、盈不足卷(原盈不足章)、方程卷(包括原方程一十八問和盈朒一問)、勾股卷(包括少廣十三問、商功一問及原勾股章二十四問)、題兼二法者卷(如“九節(jié)竹”、“故問糲米”等)、以及纂類卷。在與《九章算術(shù)》的原有分章體例相比較的話，《詳解九章算法》在問題分類上有了巨大的突破。

2 《詳解九章算法》中的例題

楊輝在《詳解九章算法》中創(chuàng)造性的應(yīng)用了“以法御題”和“因法推類”兩種數(shù)學(xué)方法。在書中“比類”這一欄，則是楊輝運用這兩種數(shù)學(xué)方法最好的體現(xiàn)。楊輝的以法御題，便是在給出相關(guān)問題的各種解法之后在文末又加上比類這一項目，創(chuàng)造性的給出了該種解法所適用的若干性質(zhì)相近的題目。

現(xiàn)根據(jù)楊輝在書中對數(shù)學(xué)問題的分類將例題歸納為以下幾類：

2.1 合率

今有乘傳委輸，空車日行七十里，重車日行五十里。今載太倉粟輸上林，五日三返。問：太倉去上林幾何?

答曰：四十八里一十八分里之一十一。

術(shù)曰：并空、重里數(shù)，以三返乘之，為法。令空、重相乘，又以五日乘之，為實。實如法得一里。

解題：以合分互用，兼粟米互換之術(shù)，而立題。

術(shù)曰：并空重車日行里數(shù)。以三返乘之為法。令空、重車相乘。以五日乘之為實。實如法而一。

草曰：空、重車?yán)飻?shù)為分母，各以一日為分子。母互乘子。以三返乘之為法。令空、重車?yán)飻?shù)相乘。又以五日乘之為實。實如法而一，合問。

比類：五十分之一，七十分之一。問：合之幾何?

答曰：合之得三百五十分之一百二十，反求得二余一十二分之十一。

法曰：合分求之，反用母互乘子為法，母相乘為實，實如法而一，合問。

2.2 衰分

今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤。問：次一尺各重幾何？

答曰：末一尺重二斤，次一尺重二斤八兩，次一尺重三斤，次一尺重三斤八兩，次一尺重四斤。

術(shù)曰：令末重減本重，余，即差率也。又置本重，以四間乘之，為下第一衰。副置以差率減之，每尺各自為衰。副置下第一衰，以為法。以本重四斤遍乘列衰，各自為實。實如法得一斤。

解題：九節(jié)竹隱，其差為問。金箠以明其差為問。

術(shù)曰：本重減末重，余即差率。

又置本重四斤間乘之，為下第一衰。副置。差率二減之，求差如衰分求之。各列置衰、副，并為法。以所分乘未并者。以法除之。

草曰：本重四斤減末重二斤，余即差率。又置本重四斤，間乘之。為下第一衰。副置。以差率二減之。各列為衰。副置下第一衰。為法，乃以本重四斤遍乘列衰。各自為實，以法除之，合問。

比類：五人均銀二十兩，丙、甲得五兩二錢，戊得二兩八錢。

問：乙、丙、丁各得幾何？

答曰：乙得二兩六錢，丙得四兩，丁得三兩四錢。

別草：并甲、戊半之，求丙；并甲、丙半之，求乙；并丙、戊半之，求丁。合問。

2.3 疊積

今有方堡壔，方一丈六尺，高一丈五尺。問：積幾何?

答曰：三千八百四十尺。

術(shù)曰：方自乘，以高乘之，即積尺。

解題：上下方相等，形如方柱，題類堆垛。

草曰：方一十六尺，自乘，得二百五十六，以高一十五尺乘之，得三千八百四十尺。

比類：方棧酒，東、西、南、北各一十六瓶，高一十五瓶。問：總計幾何?

答曰：三千八百四十瓶。

2.4 盈不足

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價各幾何?

答曰：人七人，物價五十三。

解題：隱互為題，法按后草。

草曰：以盈、不足。盈三文，不足四。令維乘所出率。并盈、不足為法。實如法而一。

比類：舊例支銀，人給八兩，回納三兩；人給七兩，申添四兩。問：本銀、原人各幾何?

答曰：原銀五十三兩，舊給七人。

草曰：回三兩，添四兩，互乘七兩、八兩，求之。

2.5 方程

今有麻九斗、麥七斗、菽三斗、荅二斗黍五斗，直錢一百四十；麻七斗、麥六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直錢一百二十八；麻三斗、麥五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直錢一百一十六；麻二斗、麥五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直錢一百一十二；麻一 斗、麥三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直錢九十五。問：一斗直幾何?

答曰：麻一斗七錢，麥一斗四錢，菽一斗三錢，荅一斗五錢，黍一斗六錢。

術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。以法減第二行得荅價。左行得麥價，第三行得麻價，右行得菽價。如此凡用七十七算。

以新術(shù)為此。

草曰：列所問數(shù)，同前體求。

麻麥菽荅黎 價直

九 七 三 二 五 一百四十

七 六 四 五 三 一百二十八

三 五 七 六 四 一百一十六

二 五 三 九 四 一百一十二

一三二八五 九十五

比類：綾七尺，絹二尺，共價四百二十六；綾三尺，絹四尺，共價二百八十。問：綾、絹尺價幾何？

答曰：綾五十二，絹三十一。此問出應(yīng)用。

2.6 勾股

勾八尺，股一十五尺。問：為弦?guī)缀?答曰：十七尺。

解題：原問勾三股四，求弦五。其數(shù)差一，不足。驗法：今借后題數(shù)目言之，形如半圭田。

草曰：勾、股各自乘，并而。開方,除之合問。

比類：田長二百五十步，闊一百二十步。問：兩隅相去幾何?

答曰：二百五十五步。

草曰：長、闊各自乘，并而得六萬五千二十五，開方，合問。

2.7 題兼二法

今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日長七寸。瓠生其下，蔓日長一尺。問：幾何日相逢?瓜瓠各長幾何?

答曰：五日十七分日之五，瓜長三尺七寸一十七分寸之一，瓠長五尺二寸一十七 分寸之一十六。

術(shù)曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有余一尺二寸。

解題：合率、商除，借盈、不足為問。

合率術(shù)草曰：以垣高為實。并瓜、瓠蔓長為法。實如法而一。

盈、不足率草曰：維乘并日數(shù)為實。并盈、不足為法。實如法而一,合問。

比類：出錢一十貫，買銅一斤九文，買錫一斤七文，欲共斤數(shù)相等。問：幾何？

答曰：各重六百二十五斤，銅價五貫六百二十五，錫價四貫三百七十五。

術(shù)草曰:并銅錫價十六為法，以出錢十貫為實，實如法而一。

3 楊輝的比類思想

用簡單的方式來表示復(fù)雜的舉動這一現(xiàn)象正是基于人類在早期認(rèn)識中就有的一種十分自然的觀念—對比。在早期的數(shù)學(xué)發(fā)展過程中人們對于數(shù)學(xué)的理解是與日常的生產(chǎn)生活所緊密相連的，正因如此，“表示”和“對比”的出現(xiàn)就自然而然的出現(xiàn)了。而作為“表示”和“對比”這兩個數(shù)學(xué)思想發(fā)展的進(jìn)一步產(chǎn)物——“比類”，也伴隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)步而誕生了。

關(guān)于“比類”二字的釋義，大致可以理解為，即通過比較事物間的同異關(guān)系和聯(lián)系，以進(jìn)行歸納和演繹，并從而做出進(jìn)一步的釋義和分析。

楊輝作為中國古代著名數(shù)學(xué)家，其對于“比類”這一數(shù)學(xué)思想的運用則是在他這里達(dá)到了一個小高潮。楊輝在《詳解九章算法》各章中對于比類這一思想方法的運用有所側(cè)重的，凡是與幾何面積運算有關(guān)的則運用較多，特別是在勾股章中，除了對勾股問題分類的更為詳盡之外，在每一問題后尾大都加入了比類的問題。楊輝在將比類這一數(shù)學(xué)思想運用到《詳解九章算法》之后，更是在稍后完的《田畝比類乘除捷法》中，將比類思想運用到了極致。

通過數(shù)學(xué)實作的方式對《詳解九章算法》進(jìn)行分析，對書中記載的問題，解題的方法和思路進(jìn)行深入的總結(jié)之后，以此來探討楊輝在數(shù)學(xué)研究過程中的實際行為和具體實踐過程。

在經(jīng)過分析之后，不難得出楊輝編纂《詳解九章算法》以及為何要在書中采取比類這一數(shù)學(xué)思想方法。楊輝在《詳解九章算法》中明確了以法御題的思想，明確的提出要“因法推類”，通過對《九章算術(shù)》中的問題進(jìn)行分析和歸納后，自其中抽取八十道問題，并且按照該問題的具體解法進(jìn)行了重新分類，并在給出問題得后面加上自己的解題思想方法之后，加入比類這一部分，仿照原有問題的解法，提出可用同樣方法解答的新的問題。

比類，這一根據(jù)事物原有屬性，對其歸類的方法在楊輝這里得到了更大的發(fā)揮，不再按照《九章算術(shù)》原有的按照問題類型進(jìn)行分類，而是按照問題的算法分類，這是《九章算術(shù)》發(fā)展史上的一大重要突破之處。

4 楊輝比類思想的進(jìn)一步影響

《九章算術(shù)》作為中國古代的經(jīng)典數(shù)學(xué)著作，它的誕生標(biāo)志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想體系的初步確立。但是，待到《九章算術(shù)》流傳到南宋時期，已經(jīng)有了多個不同的版本，同時在文章的體系以及內(nèi)容的編排上受于時代的限制，已經(jīng)與當(dāng)時社會發(fā)展的需求所脫節(jié)。對于剛剛接觸數(shù)學(xué)的許多普通人來說，《九章算術(shù)》中的有些內(nèi)容過于繁雜，同時書中的某些章節(jié)的體例編排方面也是有著些許的混亂。

于是，楊輝便根據(jù)“以法御題”和“因法推類”兩種數(shù)學(xué)思想并結(jié)合自己所掌握知識對《九章算術(shù)》的體例大膽的進(jìn)行了改革、對書中的內(nèi)容進(jìn)行了重新的調(diào)整。其極具創(chuàng)新之處便是運用“比類”這一數(shù)學(xué)思想方法。楊輝在對《九章算術(shù)》中原有的例題依據(jù)算法重新編排以后，在每個問題的末尾又依據(jù)比類思想加入了可用同一種算法進(jìn)行解答的新問題，以此來方便初學(xué)者進(jìn)行理解和聯(lián)系。

同時，為了方便普通學(xué)者理解書中復(fù)雜和枯燥的數(shù)字問題，楊輝還根據(jù)書中記載的這些問題親自繪制例圖，以此來使問題更加形象與生動。

在《詳解九章算法》這部著作里，我們不僅能夠看到楊輝對《九章算術(shù)》的剖析和解讀，還能看到其大膽提出自己獨到的見解和解題方法，這一系列的舉措均展現(xiàn)了楊輝高超的數(shù)學(xué)才能。值得注意的是，楊輝在繼承了北宋數(shù)學(xué)家們的數(shù)學(xué)成就基礎(chǔ)上，還在自己的著作中引用并標(biāo)明了這些理論的出處，這便使得今人在研究中國古代數(shù)學(xué)時能夠不會因為文獻(xiàn)的缺失而導(dǎo)致的斷代問題所困擾。而且為中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展在世界數(shù)學(xué)發(fā)展潮流中曾經(jīng)占據(jù)領(lǐng)先地位的成就找到了堅實的史實依據(jù)。

綜上，中國古代數(shù)學(xué)形成了以“推類”為主導(dǎo)推理范式的自身邏輯思路,并且持續(xù)到宋元時期。而西方則與中國不同，與中國的推類相反的是，西方注重的則是對數(shù)學(xué)定理的證明及運用。從畢達(dá)哥拉斯定理的證明作為開始一直到牛頓-萊布尼茲的微積公式的發(fā)現(xiàn)，西方數(shù)學(xué)界走上了一條與古代中國不相同的道路。直到明清以后，西方數(shù)學(xué)開始領(lǐng)先于中國，這并不能說明西方在數(shù)學(xué)研究上采用的方法領(lǐng)先于中國。造成這種結(jié)果的原因是多方面，不只是與研究所采用的方法有關(guān)。

因此所謂的“中國傳統(tǒng)思維方式束縛中國古代數(shù)學(xué)在明代以后進(jìn)一步發(fā)展”的說法,是確實值得商榷的。中國古代數(shù)學(xué)受到了推類邏輯的影響,形成了自己的推理方法體系—以“類以合類”為方法論基礎(chǔ),以“類”和“分類”為推理的核心成分,以“推類”為主導(dǎo)的推理范式。這一方法體系在相當(dāng)長的時期內(nèi)使中國古代數(shù)學(xué)處于世界領(lǐng)先地位。

5 結(jié)語

楊輝，作為中國古代的著名數(shù)學(xué)家，其在實用算術(shù)以及幾何問題的求解等方面均做出了卓越的貢獻(xiàn)。同時他還有另一個身份—數(shù)學(xué)教育家，在數(shù)學(xué)教育這一方面，楊輝為數(shù)學(xué)的普及和實用耗盡了自己的心力。但因其在《宋史》中無傳，所以關(guān)于楊輝本人的生活境況沒有更多的文字記載，因此后人在對這樣一位偉大的數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育家進(jìn)行研究時對于其生平歷程便缺少了很多的了解。萬幸的是楊輝的數(shù)學(xué)著作保存和流傳了下來，盡管在流傳的過程中，因種種原因流失了部分，然而我們依然可以通過流傳下來的作品來探究楊輝的數(shù)學(xué)成就，從而以此來窺見楊輝的偉大。

楊輝的生活年代大致在宋末元初這一時期，當(dāng)時正值蒙古大舉南侵，連年的戰(zhàn)事，動蕩的社會，當(dāng)時社會體制下存在的弊端，都對楊輝的數(shù)學(xué)研究和推廣造成了困難和缺憾，但這些歷史原因所造成的局限卻絲毫抹殺不了楊輝作為一個中國古代數(shù)學(xué)巔峰時代—宋元時期的代表人物的偉大和光輝。

因此，我們在研究楊輝的比類思想，以及其它的科技史著作時，我們不單單要研究其人，其著作，其思想，同時還要結(jié)合作者所處的時代背景，該時代的科技發(fā)展程度。才能對其研究的更加的透徹，從而得出正確的結(jié)論，領(lǐng)悟到古人高超的智慧。