Schur不等式的一個(gè)注記

廖 平

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院教師教育系，四川遂寧629000）

矩陣特征值估計(jì)是矩陣分析領(lǐng)域重要的熱點(diǎn)問題之一。1909 年，Schur 給出了估計(jì)（即Schur 不等式[1-2]），其中λi表示矩陣A 的特征值，‖ A ‖F(xiàn)表示矩陣A 的Frobenius 范數(shù)，當(dāng)A 為正規(guī)陣時(shí)等號成立。對于非正規(guī)陣，文獻(xiàn)[3]將其改進(jìn)為

文獻(xiàn)[4]對其做了進(jìn)一步優(yōu)化。Kress等在文獻(xiàn)[5]中得到如下結(jié)果：

上述結(jié)果可直接用于矩陣特征值分布估計(jì)以及奇異性分析[6-8]。不難看出，以上改進(jìn)均與有關(guān)，該項(xiàng)也常作為矩陣非正規(guī)性度量。但由于計(jì)算量較大，這會影響到（1）（2）式的實(shí)際運(yùn)用，尤其當(dāng)矩陣階數(shù)較高時(shí)。為方便應(yīng)用，Kress在文獻(xiàn)[5]中給出了如下估計(jì)：

然而對于高階矩陣，行列式的計(jì)算量是巨大的。鑒于此，本文嘗試給出的一些易于計(jì)算的下界，以方便高階矩陣特征值的估計(jì)。下文中Cn×n表示所有n階復(fù)方陣組成的集合，且假設(shè)n ≥2，不考慮n=1時(shí)的退化情形。

先給出如下熟知的引理。

引理1設(shè)A ∈Cn×n為n 階Hermitian 矩陣，λ 為其最大模特征值，則對任意單位向量x，有

證明設(shè)λ1、λn分別為矩陣A的最大、最小特征值，由Hermitian矩陣的性質(zhì)知，對任意單位向量x有λ1≥x*A x ≥λn，即| x*A x |≤max{| λ1|, | λn|}= |λ|。

定理1 設(shè)A ∈Cn×n，則對任意單位向量x，有

證明顯然矩陣B=AA*-A*A 為Hermitian 矩陣，設(shè)矩陣B 的特征值按模從大到小依次為，則由引理1可知

在定理1 中若取向量x 為一些特殊向量，即可得到一些容易計(jì)算的界。如取向量x=ei=(0,0,…,1,…,0)T，則由定理1及式（2）可得推論1。

推論1 設(shè)A ∈Cn×n，則，其中

證明取x=(0,0,…,1,…,0)T帶入定理1得，由式（2）即得所要結(jié)果。

推論2設(shè)A ∈Cn×n，則，其中

定理1的結(jié)論是比較容易得到的。若再結(jié)合矩陣的自身特點(diǎn)，還可進(jìn)一步將其優(yōu)化為如下結(jié)果。

定理2設(shè)A ∈Cn×n，則對任意單位向量x，有

證明設(shè)矩陣B=AA*-A*A特征值按模從大到小依次為 |μ1|≥| μ2|≥| μ3|≥…≥| μn|，由于trB=0，從而其特征值μ1,μ2,μ3,…,μn滿足，故對最大模特征值μ1，必有若干個(gè)（不防設(shè)為k個(gè)，k ≤n-1）相反符號的特征值（這里記為μ11,μ12,μ13,…,μ1k），其和與μ1相抵或。從而有

不難看出定理2改進(jìn)了定理1。同時(shí)，推論1、推論2亦可相應(yīng)地改進(jìn)為推論3、推論4。

推論3設(shè)A ∈Cn×n，則，其中

推論4設(shè)A ∈Cn×n，則，其中

另外，容易計(jì)算AA*-A*A 的第i 個(gè)對角元dii=αi-βi，其中，與推論1和推論3相同，且，故還可有如下估計(jì)。

推論5設(shè)A ∈Cn×n，則，其中

最后將實(shí)際估計(jì)時(shí)常用的式（3）與推論5做一個(gè)簡單的分析比較。在式（2）中，AA*-A*A的第i個(gè)對角元dii=αi-βi，其中αi，βi與推論5相同。當(dāng)2時(shí)，推論5將優(yōu)于式（3），其余情況則式（3）比推論5更好。