二維混合矢量磁滯模型數(shù)值模擬的改進(jìn)方法

李丹丹，喬振陽，朱聰聰，吳宇翔，李永建

(1.鄭州輕工業(yè)大學(xué)建筑環(huán)境工程學(xué)院，鄭州 450001；2.省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(河北工業(yè)大學(xué))，天津 300130)

電工磁性材料廣泛應(yīng)用于電機(jī)、變壓器等電氣設(shè)備，對磁性材料的磁特性進(jìn)行精確模擬，進(jìn)而可以對電氣設(shè)備的內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，從而提升設(shè)備的運(yùn)行效率[1]。

1935年，Preisach提出了Preisach模型[2]，使用Preisach磁滯算子和Preisach分布函數(shù)來模擬磁滯特性；文獻(xiàn)[3]通過對Preisach磁滯模型的離散化，建立了超磁致伸縮驅(qū)動器的Preisach磁滯數(shù)學(xué)模型；1948年，Stoner等[4]提出了Stoner-Wohlfarth(S-W)模型，認(rèn)為粒子磁化過程的平衡狀態(tài)應(yīng)滿足能量最小原理。此外，常見的磁滯模型還有Jiles-Atherton(J-A)模型、Enokizono-Soda(E-S)模型、Play模型和Energetic模型等[5-8]。1992年，F(xiàn)riedman等[9]將S-W模型和Mayergoyz的矢量Preisach模型進(jìn)行了擴(kuò)展，提出了混合磁滯模型的思想。近年來，混合磁滯模型得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。Michelakis等[10]結(jié)合經(jīng)典Preisach模型和S-W模型提出了一種適用于單疇單軸粒子的混合矢量磁滯模型，后來又將該模型擴(kuò)展到了三維情況下[11]；Chang等[12]以S-W模型為基礎(chǔ)，采用Preisach分布函數(shù)計(jì)算矯頑力和相互影響場；Cardelli等[13]和Torre等[14]提出了Preisach-Stoner-Wohlfarth(PSW)模型，使用網(wǎng)絡(luò)場來確定磁化強(qiáng)度的方向和大小。隨后Cardelli等[15-16]又提出了DPC(Della Torre，Pinzaglia and Caredelli)模型，并使用DPC模型分析單個單疇粒子的磁化特性。文獻(xiàn)[17-18]提出了一種新的矢量磁滯算子定義方法，建立了基于軟磁復(fù)合材料的二維混合矢量磁滯模型；文獻(xiàn)[19]提出了基于J-A/S-W模型的混合矢量磁滯模型，以S-W模型得出的三維各向異性的向量作為 J-A 模型的輸入。對磁滯模型的研究有利于了解材料磁滯特性，為先進(jìn)電工磁性材料的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供幫助。此外，磁滯損耗模型是計(jì)算磁損耗的常用方法之一[20]，對磁滯損耗模型的研究也有利于為研究磁損耗提供新方法。

二維混合矢量磁滯模型已經(jīng)能夠得到交變場和旋轉(zhuǎn)場下的磁滯特性，但是所得到的曲線并不能完全閉合，模擬精度也有待提高。為此，從各向同性磁滯算子的單位磁化強(qiáng)度計(jì)算出發(fā)，結(jié)合S-W模型星形判定法則得出了改進(jìn)后的二維混合矢量磁滯模型的表達(dá)式。給出了二維混合矢量磁滯模型的模擬步驟。并分別在交變激磁和旋轉(zhuǎn)激磁條件下對軟磁復(fù)合材料的模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果進(jìn)行了對比。

1 二維混合矢量磁滯模型

二維混合矢量磁滯模型是基于二維矢量磁滯算子建立的。根據(jù)S-W模型的最小能量原理將磁滯算子定義為由粒子磁化場產(chǎn)生的等勢線包圍的封閉區(qū)域。根據(jù)S-W星形判定法則[21]，若外加磁場在算子外部，磁化方向?yàn)橥饧哟艌鏊诘拇帕€方向；若外加磁場在算子內(nèi)部，則磁化方向固定為其進(jìn)入算子時的方向，直至外場穿出磁滯算子時發(fā)生巴克豪森躍變，磁化方向轉(zhuǎn)至穿出點(diǎn)處的磁力線方向上。外加磁場進(jìn)入算子時的點(diǎn)為Preisach模型的開場閾值，離開算子時的點(diǎn)為關(guān)場閾值，開關(guān)閾值與矯頑力場有關(guān)。

當(dāng)考慮相互影響場的作用時，各向同性磁滯算子的等勢線方程為

(1)

式(1)中：e為能量參數(shù)；θ為磁化強(qiáng)度M與x軸的夾角；Hix、Hiy為磁滯算子的中心點(diǎn)坐標(biāo)。

模型使用許多磁滯算子來模擬磁性材料內(nèi)部的磁疇，而磁滯算子的分布情況由Preisach分布函數(shù)表示。總磁化強(qiáng)度可以表示為

dHixdHiyde

(2)

式(2)中：P為分布函數(shù)；Q為單位磁化強(qiáng)度。

在二維混合矢量磁滯模型中，關(guān)鍵參數(shù)有：與矯頑力場有關(guān)的能量參數(shù)(e)、相互影響場(Hi)和算子數(shù)量(N)。

2 改進(jìn)的數(shù)值模擬方法

由分析可知，二維混合矢量磁滯模型中的能量參數(shù)e控制磁滯算子的大小，各向異性磁滯算子為圓形，故可用r=-e表示磁滯算子的半徑。從單個磁滯算子磁化強(qiáng)度的計(jì)算開始，結(jié)合S-W星形判定法則，從而建立各向同性磁滯算子單位磁化強(qiáng)度的表達(dá)式，如式(3)和圖1所示。進(jìn)一步再考慮算子數(shù)量以及相互影響場的影響，逐步實(shí)現(xiàn)對磁特性的模擬。

圖1 二維各向同性磁滯算子單位磁化強(qiáng)度矢量的計(jì)算Fig.1 Calculation of the unit magnetization vector of a two-dimensional isotropic hysteresis operator

(3)

式(3)中：H為施加的外場；Hi為相互影響場，可以分解到二維坐標(biāo)軸方向；min為磁場軌跡進(jìn)入算子時的單位磁化強(qiáng)度。

在圖1中，Hin為外加場穿入算子時的磁場強(qiáng)度，Hout為外加場穿出算子時的磁場強(qiáng)度。當(dāng)外加場未穿入算子時，其單位磁化強(qiáng)度為m1，在進(jìn)入算子后單位磁化強(qiáng)度保持進(jìn)入時的磁化強(qiáng)度min不變，直至外場穿出算子時躍變?yōu)閙out。

根據(jù)式(3)所示的單位磁化強(qiáng)度矢量計(jì)算方法，考慮相互影響場時單個磁滯算子和施加交變磁場時對應(yīng)的磁滯回線如圖2所示。其中Hix=0.2，Hiy=-0.2，θ=45°，r=-e=1，圖2中虛線為外加磁場的磁化路徑 (-1.5，1.5)—(1.5，-1.5)—(-1.5，1.5)，實(shí)線為磁滯算子等勢線。

圖2 考慮相互影響場時單個磁滯算子和施加交變磁場時對應(yīng)的磁滯回線Fig.2 A single isotropic hysteresis operator and the hysteresis loop when alternating magnetic field are applied with interaction field are considered

由圖2可知，影響單個磁滯算子磁滯回線的參數(shù)有算子的大小r和相互影響場Hi?？紤]多個算子的共同作用時，總的磁化強(qiáng)度計(jì)算式如式(4)所示，因此算子的數(shù)量N也是影響磁滯回線的參數(shù)之一。

(4)

每個磁滯算子均具有單位磁化強(qiáng)度，在施加外場后，所有的磁滯算子都將受到外場的影響，因而宏觀上所得到的磁化強(qiáng)度等于所有磁滯算子磁化強(qiáng)度的矢量和。

3 數(shù)值模擬步驟

二維混合矢量磁滯模型的模擬需要明確磁滯算子的分布規(guī)律，目前以高斯分布和洛倫茲分布較為常見[22-23]。提出了一種新的關(guān)于算子分布情況的確定方法，該方法認(rèn)為磁滯算子的半徑大小與其數(shù)量成反比，即磁滯算子越小其數(shù)量越多。該假設(shè)更加考慮了磁滯算子之間的相互作用，且更加接近磁性材料的物理本質(zhì)，但從某種意義上講也符合高斯分布函數(shù)。

改進(jìn)的數(shù)值模擬過程采用網(wǎng)格點(diǎn)法，首先考慮一定磁場強(qiáng)度下會對磁化產(chǎn)生影響的區(qū)域，再對這個區(qū)域進(jìn)行平面離散，得到的每個點(diǎn)即為磁滯算中心點(diǎn)的坐標(biāo)；其次對于每個中心點(diǎn)，尋找其距離區(qū)域邊緣的最短距離，將最短距離離散即可得到每個磁滯算子所考慮的半徑的大??；再次，將施加的外磁場離散化，得到外場的磁化路徑；最后對外場的每個點(diǎn)，計(jì)算所有考慮的磁滯算子對其的磁化影響，即可得模擬的曲線。具體數(shù)值模擬步驟如下。

(1)定義一個相互影響場平面，并將其離散為nxny個點(diǎn)，平面邊界大小均為HB，每個磁滯算子的中心點(diǎn)坐標(biāo)為(Hix，Hiy)。

(2)從磁滯算子中心點(diǎn)(Hix，Hiy)到平面邊界HB的最短距離為R，計(jì)算公式為

R=min{|Hix-HB|,|Hix+HB|,|Hiy-HB|,

|Hiy+HB|}

(5)

(3)將式(5)中的R離散便可以得到所考慮的半徑r，由此可得出半徑r的磁滯算子數(shù)目nr。因此磁滯算子的個數(shù)可由式(6)計(jì)算得出。其中，對于每個中心點(diǎn)(Hix，Hiy)，nr的取值依賴于r和HB的大小。因此對于施加不同大小的外場的情況下，算子的總數(shù)不是一個恒定值。

(6)

(4)對施加的外磁場進(jìn)行離散，得到磁化路徑Hx和Hy。在計(jì)算磁化強(qiáng)度時，外加場是作為輸入量進(jìn)行離散的。

(5)計(jì)算每個外場離散點(diǎn)(Hx，Hy)關(guān)于N個磁滯算子的磁化強(qiáng)度(mx，my)，則最終M為

(7)

式(7)中：mj為離散點(diǎn)關(guān)于第j個算子的單位磁化強(qiáng)度；Ms為材料的飽和磁化強(qiáng)度；1/a為修正系數(shù)。

當(dāng)外場最后一個離散點(diǎn)的磁化強(qiáng)度(Mend)不等于起始點(diǎn)的磁化強(qiáng)度(M1)時，將Mend設(shè)為M1并重復(fù)式(1)～式(5)，直到Mend=M1，從而確保了模擬曲線的閉合。通過上述數(shù)值模擬步驟，將輸入的外加磁場轉(zhuǎn)化為輸出的磁化強(qiáng)度后，即可得到模擬的磁化曲線，實(shí)現(xiàn)對磁滯特性的數(shù)值模擬。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的有效性，將模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比。實(shí)驗(yàn)采用的軟磁復(fù)合材料是SOMALOYTM500，其最大磁通密度為2.1 T (100 kA/m)，剩磁0.25 T，矯頑力250 A/m，測量樣品為22 mm3的立方體。實(shí)驗(yàn)采用的測量裝置為河北工業(yè)大學(xué)的三維磁特性測量裝置[24-25]。由于實(shí)驗(yàn)中測量的物理量為磁通密度矢量和磁場強(qiáng)度矢量，而模型中使用的物理量為磁化強(qiáng)度矢量(M)和磁場強(qiáng)度矢量(H)，因此需要使用式(8)對物理量進(jìn)行轉(zhuǎn)化。根據(jù)SI標(biāo)準(zhǔn)，將磁通密度矢量B和磁化強(qiáng)度矢量M以T為單位表示，磁場強(qiáng)度矢量H以A/m為單位進(jìn)行表示。

B=μ0(H+M)

(8)

式(8)中：μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7T·m/A。

4.1 交變磁化

在交變激磁場下對軟磁復(fù)合材料的磁特性進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬結(jié)果與測量結(jié)果的對比如圖3所示，nx=ny=10，最短距離(R)的步長為0.01。由于測量結(jié)果在x和y兩個方向呈現(xiàn)出近似的磁特性，因此僅以y方向?yàn)槔M(jìn)行驗(yàn)證。

圖3 交變激磁條件下模擬結(jié)果與測量結(jié)果的對比Fig.3 Comparison of simulated results and measured ones under alternating excitation field

分析表明，改進(jìn)方法在低磁通密度和低頻率交變磁場下計(jì)算的磁滯回線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。但通過對比圖3(a)和圖3(b)，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)方法的模擬精度隨著實(shí)驗(yàn)控制的磁通密度的增加而降低。同時，通過對比圖3(a)和圖3(c)，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)方法的模擬精度隨著頻率的增加而降低。在高磁通密度和高頻率的激磁條件下，模擬效果有所下降，模擬結(jié)果容易出現(xiàn)誤差，原因是隨著磁通密度的增加，材料內(nèi)部被磁化的顆粒情況過于復(fù)雜，需要進(jìn)一步對算子的分布規(guī)律進(jìn)行研究。

此外，由于施加的激勵是兩個方向同時施加的，但是在建模時將兩個方向獨(dú)立開來進(jìn)行計(jì)算的，忽略了一個方向的激勵對另一個方向磁化的影響，這也是模擬效果出現(xiàn)誤差的原因之一。但是由于二維模型的磁特性描述目前仍存在不足，導(dǎo)致建模相對困難，因此關(guān)于二維動態(tài)磁滯模型仍需要進(jìn)一步研究。

4.2 旋轉(zhuǎn)磁化

同樣地，在圓形旋轉(zhuǎn)磁場下對軟磁復(fù)合材料的磁特性進(jìn)行數(shù)值模擬，旋轉(zhuǎn)激磁條件下的磁特性通常用二維磁化強(qiáng)度Mx、My描述。在此，首先控制外加磁場為輸入量將模擬的磁化強(qiáng)度與測量結(jié)果對比，再控制磁化強(qiáng)度為輸入量將模擬的磁場強(qiáng)度與測量結(jié)果對比。所得的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比如圖4所示，旋轉(zhuǎn)場的頻率為5 Hz，nx=ny=10，最短距離(R)的步長為0.01。

圖4 旋轉(zhuǎn)激磁條件下模擬結(jié)果與測量結(jié)果的對比Fig.4 Comparison of simulated results and measured ones under rotational excitation field

為了更加精確地模擬軟磁復(fù)合材料的磁特性，采用最小二乘法將每組曲線模擬結(jié)果的修正系數(shù)進(jìn)行了擬合，擬合公式為關(guān)于磁通密度峰值Bmax的多項(xiàng)式，從而可以動態(tài)地精確模擬任意激磁頻率條件下軟磁復(fù)合材料的旋轉(zhuǎn)磁特性。

對比結(jié)果表明，改進(jìn)方法在低磁通密度和低頻率旋轉(zhuǎn)勵磁場下的模擬效果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。其中圖4(b)為改進(jìn)方法的逆運(yùn)算，利用磁化強(qiáng)度計(jì)算外加磁場。通過對比圖4(a)和圖4(b)可以看出，利用外加磁場計(jì)算磁化強(qiáng)度時，改進(jìn)方法的仿真精度較高；而當(dāng)采用磁化強(qiáng)度計(jì)算外加磁場時，模擬效果隨外加磁場的增大而減小。原因是隨著磁化強(qiáng)度或磁場強(qiáng)度的增加，模型參數(shù)逐漸不能確切反映材料內(nèi)部磁疇的真實(shí)分布狀態(tài)，需要對模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

5 結(jié)論

通過對二維混合矢量磁滯模型數(shù)值模擬的改進(jìn)，得到以下結(jié)論。

(1)從各向同性磁滯算子的單位磁化強(qiáng)度計(jì)算出發(fā)，得出了改進(jìn)后的二維混合矢量磁滯模型的數(shù)值模擬方法。

(2)給出了二維混合矢量磁滯模型的數(shù)值模擬步驟，理論上給出的模擬步驟也可擴(kuò)展到各向異性情況。

(3)數(shù)值模擬結(jié)果表明，改進(jìn)后的數(shù)值模擬方法可以得到閉合的磁特性曲線，且模擬精度也有所提高。

(4)通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可以得知，提出的改進(jìn)的數(shù)值模擬方法在低磁通密度和低頻率下的模擬效果較好。