(2+1) 維Boussinesq方程的黎曼theta函數(shù)周期波解

王 輝，蘇 婷

(河南工程學(xué)院 理學(xué)院, 河南 鄭州 451191)

對非線性方程精確解的探討在整個非線性物理現(xiàn)象的研究中占有重要地位。例如在流體力學(xué)、等離子體和彈性介質(zhì)中觀察到的波動現(xiàn)象通?？捎社娦蝧ech解和扭結(jié)形tanh行波解模擬出來。這些非線性方程的精確解(如果有的話)有助于數(shù)值解的驗證，并且有助于解的穩(wěn)定性分析。在過去的幾十年中，這些方法取得了顯著的進(jìn)展，如著名的逆散射變換[1-2]、貝克隆變換和達(dá)布變換[3-5]、李群方法[6-7]、Hirota雙線性方法[8-11]、穿衣方法[12-14]、Painleve分析[15-16]等。

1 問題的提出

著名的Boussinesq方程是描述淺水中色散和非線性的一類波動方程，該方程的色散關(guān)系介于淺水中的非色散、非線性長波與Stoke色散波之間，故它在水波運動、早期氣體預(yù)測、海洋環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。Ma等[17]利用第2個Wronskian公式研究了(1+1)維Boussinesq方程，得到了各種解。文獻(xiàn)[18]中的Wazwaz研究了六階(1+1)維Boussinesq方程的多孤子解。Yang等[19]應(yīng)用Riccati展開法研究了廣義(2+1)維Boussinesq方程。

本研究將要介紹一個新的六階(2+1)維Boussinesq方程：

(1)

方程(1)描述的也是一個淺水波。在第2節(jié)中，通過適當(dāng)變換得到了該方程的雙線性形式，借助于擾動法，可以得到該方程的一孤子解。在第3節(jié)中，利用黎曼theta函數(shù)性質(zhì)和雙線性導(dǎo)數(shù)法，進(jìn)一步得到了該方程的黎曼theta函數(shù)周期波解，并且在最后研究了這個周期波解的漸近性質(zhì)。

2 雙線性形式

為了得到方程(1)的雙線性形式，首先引入一個變換：

u=2(lnρ)xx。

(2)

將變換(2)代入方程(1)中并且積分兩次，則方程(1)就變成如下雙線性形式：

(3)

式中：c為積分常數(shù)。算子D在文獻(xiàn)[9]中定義為

(4)

式(4)中的m、n為非負(fù)整數(shù)。對于指數(shù)函數(shù)，D有如下重要結(jié)論：

(5)

取c=0，求方程(3)的一孤子解。利用擾動法，設(shè)

ρ=1+ερ1+ε2ρ2+ε3ρ3+…,

(6)

式中：ε是一個小參數(shù)。

令

ρ1=expθ1，θ1=k1x+p1y+ω1t+θ10，

(7)

(8)

3 黎曼theta函數(shù)周期波解及漸近性態(tài)

根據(jù)方程(1)的雙線性導(dǎo)數(shù)形式，借助多維黎曼theta函數(shù)性質(zhì)，可以得到方程(1)的黎曼theta函數(shù)一周期波解，并且在最后討論了該解的漸近性態(tài)。

3.1 黎曼theta函數(shù)周期波解

結(jié)合代數(shù)幾何知識[20]，黎曼theta函數(shù)形式如下：

(9)

式中：n=(n1,…，nN)，ζ=(ζ1，…，ζN),τ是一個對稱矩陣且有正定的虛部,ζj=kjx+ρjy+ωjt+ζj,j=1,…,N。

接下來求一周期波解，取N=1,則式(9)就簡化為

(10)

將式(10)代入式(3)中，有

(11)

事實上，

(12)

(13)

取一些記號：

(14)

則式(12)和(13)就簡化為

D11(ω2+2p2)+D12c+D1=0，D21(ω2+2p2)+D22c+D2=0，

(15)

(16)

(17)

因此，得到了黎曼theta函數(shù)周期波解

(18)

圖 1和圖2分別表示上述黎曼theta函數(shù)周期波解(18)在某一時刻的三維圖像與沿著x軸方向的二維平面曲線(用Mathematica軟件繪制)，其中k1=2、p1=4、ω1=6、τ=2i、θ01=0、t=10。

圖1 周期波解的三維圖像Fig.1 The one-periodic solution in 3

圖2 周期波解沿著x軸方向的圖像Fig.2 The one-periodic solution along x-axis

3.2 黎曼theta函數(shù)周期波解的漸近性態(tài)

本節(jié)驗證前面得到的一孤子解(8)正好是黎曼theta函數(shù)周期解(18)的漸近結(jié)果。

定理1當(dāng)Imτ→∞方程(3)的周期波解(9)趨近類似于式(8)形式的單子孤解時，

(19)

(20)

證明記r=eπiτ，則v、vx及vxx可以寫成如下形式(Imτ→∞)：

借助于變換(2)，可以得到形式為式(18)的解。下面驗證式(19)和式(20)成立。事實上