纖維拉伸曲線上屈服點的求取

孔繁榮，甘粵發(fā)，陳莉娜

(河南工程學院 紡織工程學院，河南 鄭州 450007)

隨著生活水平的提高，人們對紡織制品服用性能的要求也越來越高，其中拉伸性能又是影響紡織制品耐用性和服用性的重要因素。纖維受到外力拉伸至斷裂時的性能通?？梢杂脙深愔笜藖砗饬?，即與拉伸曲線有關的指標和與斷裂點有關的指標。與斷裂點有關的指標有斷裂強力、斷裂強度與斷裂伸長率等，均反映纖維一次拉伸至斷裂時的性質，而在紡織加工和紡織品使用過程中，遇到更多的則是遠小于斷裂強力和斷裂伸長率的拉伸。為此，有必要研究它們在拉伸過程中的應力和應變情況，這就引出與拉伸曲線有關的其他指標[1]。

與拉伸曲線有關的指標有初始模量、屈服應力、屈服伸長率、斷裂功和斷裂比功等，其中屈服應力和屈服伸長率為纖維在拉伸中屈服點所對應的力與變形。屈服點是在拉伸曲線上伸長變形突然變得較為容易時的轉折點，一般屈服點高的纖維不易產生塑性變形，所以彈性和尺寸穩(wěn)定性較好[2]。紡織材料學課程各版本教材中一般給出3種求屈服點的方法，分別為曼列狄斯法(Meredith)、考潑倫法(Coplan)和角平分線法，但均未給出纖維具體屈服點的數據。于偉東[3]曾以羊毛為例對典型拉伸曲線上力學性能指標的算法進行了歸納，但并未給出最后的計算數據，所以也無法比較不同纖維屈服點的高低，進而從屈服變化角度來比較纖維的彈性與尺寸穩(wěn)定性?；诖?，本研究嘗試用MATLAB軟件對纖維的屈服點進行求取，比較幾種方法在求取屈服點時的適應性，為更好地使用屈服區(qū)域對纖維性能進行解釋提供一定參考。

1 纖維拉伸過程中屈服點的求取

圖1 滌綸纖維的實際拉伸曲線Fig.1 Actual tensile curve of polyester fiber

在纖維的典型拉伸曲線坡度從大變小的過程中，纖維對于變形的抵抗能力逐漸變弱，此轉折點即為屈服點。常見的屈服點求取方法有曼列狄斯法、考潑倫法、角平分線法，還可以根據拉伸曲線的坡度轉變用曲線方程的三階導數來求取轉變點，即三階導數法[4]。圖1為纖維在拉伸實驗中所得的應力-應變曲線，使用的實驗儀器為XQ-2型纖維強伸度儀，實驗材料為滌綸纖維。從圖1可以看出，當纖維被拉伸至斷裂點后有急速下降的部分，而本研究在求取屈服點時需要連接曲線的起始位置，所以在處理實驗數據時只截取斷裂點之前的拉伸數據。

1.1 屈服點的求取

1.1.1曼列狄斯法

曼列狄斯法求取屈服點是在拉伸曲線上連接起始點與斷裂點作一條直線，再作一條與此線平行且與拉伸曲線相切的直線，切點即所求的屈服點。將數據導入MATLAB軟件，定義拉伸起始點和斷裂點，將兩點連接繪制一條直線并得到直線的斜率。假設一條同斜率的直線，令該直線與原拉伸曲線相切，即與原曲線有且僅有一個交點，從而得出該點的坐標，即為屈服點。經MATLAB軟件運算后，在工作區(qū)輸出計算結果，所求屈服點位置為(18.60，8.69)，屈服應變?yōu)?8.60%，屈服應力為8.69cN/tex，如圖2所示。

1.1.2考潑倫法

考潑倫法是在屈服區(qū)域內找到兩個近似直線的區(qū)域并作兩條對應切線，兩切線相交于一點，通過此點作平行于坐標系X軸的直線，交拉伸曲線于新的一點，該點即為屈服點。

將數據導入MATLAB軟件，采用平均斜率法求取拉伸曲線上屈服點附近兩條切線的斜率。為得到拉伸曲線上屈服區(qū)域左側的切線(未至屈服區(qū)域)，在拉伸曲線1/4處到1/3處隨機選取10個點，將第1個點與第6個點、第2個點與第7個點，依次類推，直至第5個點與第10個點連接起來，得到5條直線及各自的斜率。再計算出5條直線斜率的平均值，將其作為曲線屈服區(qū)左側切線的斜率。用此斜率在曲線上繪制出切線，同理可得屈服區(qū)域右側切線，10個點的選擇范圍為拉伸曲線3/4處到2/3處。通過MATLAB軟件計算出兩條切線相交的點，作一條經過該點并平行于X軸的直線，交曲線于一點，此點即所求的屈服點，屈服點坐標為(21.30，9.18)，即屈服應變?yōu)?1.30%，屈服應力為9.18cN/tex，如圖3所示。

圖2 曼列狄斯法求取滌綸纖維的屈服點Fig.2 Calculation of yield point of polyester fiber by Meredith method

圖3 考潑倫法求取滌綸纖維的屈服點Fig.3 Calculation of yield point of polyester fiber by Coplan method

在屈服區(qū)域左右側選擇10個點時，嘗試過取其他的位置如1/2處、1/10處及其他鄰近屈服區(qū)域的位置，但繪制出來的兩條切線或無法相切，或在同側，導致無法求取相交點。結合纖維材料的典型拉伸曲線形狀，最終在1/4處和3/4處作切線并使兩條切線相交，從而完成屈服點的求取。

1.1.3角平分線法

角平分線法類似于考潑倫法，但在找到兩條與曲線相切的直線后，不是找經過交點平行于X軸的直線，而是找兩條直線相交后夾角的角平分線，并與拉伸曲線相交于一點，該點即為屈服點。

兩條切線的求取方法與考潑倫法一樣，但在求取角平分線時，利用MATLAB軟件在兩條切線上截取相等長度的兩段，并連接形成等腰三角形。該三角形中，AB=AC，如圖4所示。根據等腰三角形的中線性質，確定兩條相交直線的角平分線，并通過MATLAB軟件計算出與曲線相交的點，屈服點坐標為(18.82，8.73)，即屈服應變?yōu)?8.82%，屈服應力為8.73cN/tex，如圖5所示。

圖4 等腰三角形求取角平分線Fig.4 Obtaining bisector of angle by isosceles triangle

圖5 角平分線法求取滌綸纖維的屈服點Fig.5 Calculation of yield point of polyester fiber by angular bisector

1.1.4三階導數法

三階導數法是通過屈服點的定義來求取屈服點，對拉伸曲線方程進行3次求導，然后求出與X軸的交點，該點即對應的屈服點。三階導數需對拉伸曲線方程進行求導，但實驗儀器得到的拉伸曲線并沒有給出相應的方程，故將拉伸過程的實驗數據通過MATLAB軟件繪制出拉伸曲線，并進行曲線方程的擬合，再對擬合方程進行求導以得到屈服點。導入數據后，繪制拉伸曲線，選用Fourier方程進行擬合，如圖6所示。因為要進行3次求導，所以在次數項處選擇4次，即可得到完整的擬合方程，求導后得到與X軸的交點為12.819 2%，查找數據得屈服應變率為12.82%，屈服應力為5.78cN/tex。

1.2 求取方法的適應性

上述4種方法均可求取得到屈服點，但結果之間具有差異，其原因是纖維的拉伸過程中屈服變化為一個區(qū)域，并且4種方法的原理也不同。

曼列狄斯法是4種方法中最容易得到屈服點的方法，且對拉伸曲線形狀沒有要求。通過連接拉伸起始點與斷裂點即可求出兩點間的斜率，從而作一條斜率相同的直線相切于屈服點。

考潑倫法和角平分線法均比曼列狄斯法要復雜一些，前期確定兩條相切直線的方法相同。求取過程中為了確定兩條切線斜率，需要分別在曲線的1/4處和3/4處各取10個點，兩兩連接10個點得到5條直線的斜率，再使用5條直線的平均斜率得到拉伸曲線的切線，1/4處和3/4處為實驗中根據典型拉伸曲線的形狀和不斷實驗得到的經驗值，同時在每處的周圍只隨機選取10個點進行計算，所以結果存在一定的誤差。在求取過程中，有一些拉伸曲線與典型拉伸曲線形狀差異較大，曲線中的應力或應變有突然增加或減少的趨勢，或者纖維的拉伸過程較短，從曲線上看不出明顯的屈服變化，這會導致兩條切線無法相交，從而無法完成后續(xù)步驟以求取屈服點，如圖7所示。

圖6 Fourier擬合拉伸曲線Fig.6 Fitting tensile curve by Fourier

圖7 非典型拉伸曲線Fig.7 A typical tensile curve

三階導數法從原理上應該更接近屈服區(qū)域的起始位置，但該方法是基于拉伸曲線的方程式求導得到的，目前從拉伸實驗儀中只能得到拉伸的數據，無法直接得到原拉伸曲線的函數關系式，所以方程的擬合就決定了求導的結果，不同的纖維材料拉伸數據差異較大，所以采用此方法時選擇什么樣的函數進行擬合比較重要，但對原拉伸曲線的形狀并無要求。

2 結語

本研究提到的4種方法均可以得到纖維在拉伸過程中的屈服點，不同方法得到的具體值有所不同，并無可比性。曼列狄斯法的適應性較強，任何形狀的拉伸曲線均可繪制出切線，并求出屈服點；考潑倫法和角平分線法由于要在屈服區(qū)域兩側做切線，在實際求取時如果拉伸曲線的變化和典型拉伸曲線相差較大，或者本身屈服區(qū)域不明顯，則屈服點的求取較為困難；三階導數法需要采用纖維的原始拉伸數據進行拉伸曲線的擬合并獲取函數關系式，從而求導得到屈服點，擬合函數的選擇和擬合程度會直接影響屈服點的求取，但對纖維的拉伸過程并無要求，借助計算機可以快速準確地獲得屈服點。