數(shù)缺形時(shí)少直觀 形少數(shù)時(shí)難入微
——《數(shù)與形》教學(xué)實(shí)踐與思考

王陳亮

【教材與學(xué)情分析】

數(shù)形結(jié)合思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，涉及到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)領(lǐng)域。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！睌?shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”等抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化。

《數(shù)與形》是人教版六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中的內(nèi)容。本課旨在讓學(xué)生通過(guò)自主探究圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，嘗試應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題，感悟數(shù)與形的廣泛聯(lián)系，同時(shí)在利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的過(guò)程中感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

【教學(xué)過(guò)程】

一、前測(cè)導(dǎo)入，梳理回顧

師：同學(xué)們，“數(shù)與形”一直伴隨著我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，課前，我們進(jìn)行了回顧與整理，下面請(qǐng)大家一起來(lái)欣賞同學(xué)們的作品。

課件依次出示：

出示圖1：

師：從作品中哪里看到了數(shù)與形？

生：在加減計(jì)算中，往往用圖來(lái)解釋計(jì)算的算理。

出示圖2：

師：你看到數(shù)與形了嗎？

生：用線段圖幫助解決行程問(wèn)題。

出示圖3：

師：這里又用到了哪些數(shù)與形？

生1：用數(shù)字或者算式表示圖形的規(guī)律。

生2：還可以用圖形表示打電話問(wèn)題中所用時(shí)間的規(guī)律。

師：在前面所學(xué)習(xí)的計(jì)算、解決問(wèn)題、探索規(guī)律等問(wèn)題中，有時(shí)用圖形表示數(shù)的規(guī)律，有時(shí)用數(shù)描述圖形的規(guī)律。今天這節(jié)課我們將繼續(xù)研究“數(shù)與形”。

【設(shè)計(jì)思考：學(xué)生對(duì)于“數(shù)與形”的知識(shí)有著零散的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)又是學(xué)習(xí)本課知識(shí)的重要經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。在課前安排前測(cè)整理學(xué)過(guò)的“數(shù)與形”的知識(shí)，教學(xué)中基于學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)呈現(xiàn)學(xué)生的前測(cè)材料，并且分類呈現(xiàn)，更有利于學(xué)生從整體上回顧“數(shù)與形”的知識(shí)，也有利于學(xué)生對(duì)本課知識(shí)的學(xué)習(xí)?！?/p>

二、活動(dòng)推進(jìn)，探究新知

1.設(shè)置懸念，激發(fā)探究。

（課件依次出示零散1 個(gè)、3個(gè)、5 個(gè)、7 個(gè)小正方形）

師：如果繼續(xù)出示，你猜我會(huì)出示幾個(gè)小正方形？

生：9 個(gè)。

師：剛才一共出示了幾個(gè)小正方形？

引出算式：1+3+5+7=16。

出示小精靈的對(duì)話：還可以用4×4 或42表示。

師：你知道是為什么嗎？

2.活動(dòng)一：溝通算式和圖形之間的關(guān)系。

活動(dòng)一：

請(qǐng)你在方格中畫圖表示加法算式，又能用42表示。

（1）用彩筆在方格圖上畫圖表示。

（2）典型展示。

活動(dòng)一：“1+3+5+7”與“42”

請(qǐng)你在下面的方格中畫圖表示上面的算式，又能用42表示。

師：這幾種畫法各有什么優(yōu)點(diǎn)？你更欣賞哪一種？

生1：我欣賞第2 種，很容易看出依次增加2 個(gè)。

生2：我最喜歡第3 種。既能清楚地看出1+3+5+7 個(gè)圖形，還能清楚地看出4×4 或者42。

3.研究數(shù)和形的規(guī)律。

（請(qǐng)學(xué)生板演用小正方形擺一擺。進(jìn)一步溝通數(shù)和形之間的關(guān)系）

師：如果一層一層往里剝，又能得到哪些正方形？算式如何表示？（借助課件依次出示）

師：觀察下面圖中的數(shù)和形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：加數(shù)越來(lái)越多，正方形也越來(lái)越大。

生2：有幾個(gè)加數(shù)，和就是幾的平方。

師：如果繼續(xù)一層一層地往外包，又會(huì)得到哪些正方形？你能想象出來(lái)嗎？

思考：如果再包兩層，最外層有幾個(gè)正方形？

生：按照順序思考。

師：有沒(méi)有不一樣的思考？

（引導(dǎo)學(xué)生從層數(shù)與個(gè)數(shù)的角度思考，結(jié)合統(tǒng)計(jì)表進(jìn)行研究）

4.活動(dòng)二：層數(shù)、最外層個(gè)數(shù)和總數(shù)之間的關(guān)系。

交流展示：

依次展示3 份不同層次的作業(yè)。

我想包10 層?！?/p>

我想包100 層?！?/p>

我想包n 層。

師：用算式如何表示呢？

吃過(guò)早飯，我就去看二丫，給她帶了碗鍋巴粥。一進(jìn)門，金寶就把我拉到一邊，紅著眼睛說(shuō)：“已經(jīng)水米不進(jìn)了。”

生：如果是包n 層，最外層是2n-1 個(gè)正方形。算式是：1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2。

【設(shè)計(jì)思考：在數(shù)與形的新知探究環(huán)節(jié)如何設(shè)計(jì)上，我預(yù)設(shè)過(guò)幾種不同的方式，比如出示幾個(gè)不同個(gè)數(shù)小正方形拼成的大正方形，讓學(xué)生用數(shù)表示，或是出示等差數(shù)列的連加算式，讓學(xué)生用形去表示，效果都不甚理想，最后在專家的指導(dǎo)下，采取了用懸念引入的方式，激發(fā)學(xué)生探究的欲望。新知的展開上，通過(guò)預(yù)設(shè)兩個(gè)大活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中去探究、去交流、去分享，再引導(dǎo)梳理，既溝通了數(shù)和形之間的關(guān)系，同時(shí)又基于形的研究拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，效果較好?！?/p>

三、分層練習(xí)，拓展思維

1.變式練習(xí)。

學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，校對(duì)反饋。

2.發(fā)散練習(xí)。

出示5×5 個(gè)小圓點(diǎn)。

師：今天我們從這樣的角度構(gòu)造，得到了25=1+3+5+7+9 的算式。

師：還能設(shè)計(jì)其他構(gòu)造，用不同的式子表示嗎？

經(jīng)過(guò)交流，選擇出正確的算式。

接著教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：剩下的3 道算式該用怎樣的形去表示呢？

繼續(xù)引導(dǎo)思考：

（結(jié)合學(xué)生的交流，逐步揭示答案）

3.認(rèn)識(shí)“形數(shù)”。

師：上面認(rèn)識(shí)的這些數(shù)都是正方形數(shù)。

4.拓展認(rèn)識(shí)。

三角形數(shù)、五邊形數(shù)、八邊形數(shù)、四面體數(shù)。

介紹畢達(dá)哥拉斯的“形數(shù)”。

【設(shè)計(jì)思考：本課的練習(xí)體現(xiàn)了層次性，從基本練習(xí)到開放練習(xí)，再到拓展練習(xí)，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。同時(shí)體現(xiàn)了練習(xí)的整合性，一個(gè)5×5 的正方形圖，從不同角度進(jìn)行挖掘，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美。教學(xué)中在充分認(rèn)識(shí)正方形數(shù)后，接著又讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了三角形數(shù)、五邊形數(shù)……充分展示了數(shù)學(xué)的美感?！?/p>

四、課堂小結(jié)，暢談體會(huì)

出示華羅庚關(guān)于“數(shù)與形”的名言（略）。

師：請(qǐng)結(jié)合這節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀愕母惺堋?/p>

生：數(shù)用形表示會(huì)更加直觀，形用數(shù)去描述會(huì)更加入微。

生：利用好數(shù)與形的知識(shí)，可以更好地幫助我們解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

師：（小結(jié)）希望同學(xué)們今后碰到一個(gè)問(wèn)題時(shí)，能從數(shù)和形的角度一起思考。

【設(shè)計(jì)思考：在課的最后出示我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的名言，讓學(xué)生暢談收獲和感受。由于有了前面的學(xué)習(xí)和交流，當(dāng)問(wèn)學(xué)生在讀了這首小詩(shī)后有什么感受時(shí)，學(xué)生話匣子打開了，侃侃而談，表達(dá)得非常精彩！】

【教學(xué)反思】

一、前測(cè)——為教學(xué)導(dǎo)航

《數(shù)與形》一課是人教版教材六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中的內(nèi)容，雖然是一節(jié)新課的教學(xué)內(nèi)容，但是卻一直伴隨在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。在本課教學(xué)前，安排了一個(gè)前測(cè)整理的活動(dòng)，讓每位學(xué)生回憶自己在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有關(guān)“數(shù)與形”的知識(shí)。有了課前的整理復(fù)習(xí)，為學(xué)生后續(xù)新課的學(xué)習(xí)做好了鋪墊，因此，在本節(jié)課的教學(xué)就基于學(xué)生的前測(cè)展開，從課堂的教學(xué)效果來(lái)看是非常好的。

二、活動(dòng)——助推教學(xué)深入

本節(jié)課的教學(xué)，基于學(xué)習(xí)活動(dòng)展開學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在一節(jié)課中努力設(shè)置兩到三個(gè)大活動(dòng)，讓學(xué)生在這樣的大活動(dòng)中理解數(shù)學(xué)知識(shí)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。比如在課的一開始通過(guò)連續(xù)出示小正方形，得到算式：1+3+5+7=16，還可以寫成4×4 或者42，你知道這究竟是為何嗎？引導(dǎo)學(xué)生深入思考，同時(shí)提供《學(xué)習(xí)單》讓學(xué)生去表示，從而讓學(xué)生自主探索，弄清數(shù)和形之間的關(guān)系。再比如借助正方形的研究得出幾個(gè)數(shù)和正方形的關(guān)系后，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入思考，你還想包幾層？最外層有幾個(gè)正方形，一共有幾個(gè)正方形？讓學(xué)生在活動(dòng)中探究規(guī)律?，F(xiàn)在的課堂趨勢(shì)是提倡大活動(dòng)、大問(wèn)題，一節(jié)課精心預(yù)設(shè)幾個(gè)大問(wèn)題，避免瑣碎的乒乓式的交流，這樣也使學(xué)生的討論學(xué)習(xí)更加充分。

三、數(shù)與形——拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

本課的主題就是“數(shù)與形”，基于數(shù)與形之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。比如，這樣的形可以用什么數(shù)表示？這樣的算式又會(huì)是哪一個(gè)形呢？在這些各種關(guān)系的探索中，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不斷深入。比如，在探索了5×5 正方形和算式之間的關(guān)系之后，如果再包兩層是怎樣的正方形？最外層有幾個(gè)正方形？一共有幾個(gè)正方形？讓學(xué)生結(jié)合形去思考數(shù)和形之間的規(guī)律。再比如在5×5 的小圓圈點(diǎn)陣圖中，不同的構(gòu)造可以表示成不同的加法算式，接著繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，如果不同的構(gòu)造，可以表示出哪些形，哪些數(shù)和形是相對(duì)的等等，在數(shù)和形關(guān)系的不斷交流中，將學(xué)生的思考引向深入。