用不同的數(shù)學(xué)方法解決同一個(gè)物理問題

圣寶建

摘 要：數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的，使得物理需要依附數(shù)學(xué)而得以發(fā)展。有時(shí)候，人們可以借助數(shù)學(xué)方法來將一些較為復(fù)雜的物理問題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題。筆者介紹了利用數(shù)學(xué)里的導(dǎo)數(shù)思想求一元函數(shù)的最值和三元平均值不等式求最值的方法定理，并利用這兩種不同的數(shù)學(xué)方法巧妙地解決了物理學(xué)靜電場(chǎng)中的“等量的兩個(gè)同種正電荷連線中垂線上最大電場(chǎng)強(qiáng)度”的問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);最大電場(chǎng)強(qiáng)度;導(dǎo)數(shù);三元平均值不等式

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：The extensive application of modern mathematics in physics makes physics develop depending on mathematics.Sometimes，people can use mathematical methods to transform some more complex physical problems into simpler mathematical problems.In this paper，the author introduces how to use the idea of derivative to find the inequality of the maximum value and the mean value inequality of three variables in mathematics，and how to use these two different methods to ingeniously transform the "maximum electric field intensity problem on the vertical line of two equal positive charge lines" in physics electrostatic field into the problem of finding the maximum value of the function in mathematics.

Key words：mathematics;maximum electric intensity;derivative;mean value inequality of three variables in mathematics

偉大的數(shù)學(xué)家拉格朗日曾經(jīng)說過，他不用畫一張圖，就可以用數(shù)學(xué)分析的方法來解決力學(xué)中所有的問題。由此可見，這兩門學(xué)科之間關(guān)系密切。筆者利用導(dǎo)數(shù)和三元平均值不等式這兩種不同的方法巧妙地將物理學(xué)靜電場(chǎng)中“等量的兩個(gè)同種電荷連線中垂線上最大電場(chǎng)強(qiáng)度的問題”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)里求一元連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最大值問題，并得到了相同的結(jié)果。

1 問題的提出

物理學(xué)中的電場(chǎng)強(qiáng)度是一個(gè)既有大小又有方向的矢量，單個(gè)的點(diǎn)電荷在真空中的電場(chǎng)的計(jì)算，直接套用電場(chǎng)強(qiáng)度的決定式[1]公式即可，而在空間中同時(shí)存在多個(gè)（本文只討論兩個(gè)）點(diǎn)電荷，這時(shí)在空間某點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度便是兩個(gè)點(diǎn)電荷共同作用的結(jié)果，考慮到電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量性，我們可以用數(shù)學(xué)里矢量的疊加法則—平行四邊形法則來解決，所以，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)該等于兩個(gè)點(diǎn)電荷各自在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和。為了描述方便，本文只介紹電荷量相等的兩個(gè)正電荷（負(fù)電荷類似）共同作用在P點(diǎn)時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度的最大值問題[2]的兩種不同的數(shù)學(xué)求解方法。

假設(shè)點(diǎn)P位于兩個(gè)帶有等量的同種正電荷的點(diǎn)電荷M、N連線的垂直平分線上（如下圖），如下圖所示，求M和N在P點(diǎn)處共同產(chǎn)生的最大電場(chǎng)強(qiáng)度（可以簡(jiǎn)稱場(chǎng)強(qiáng)）。

我們知道，正電荷M和N各自在它們連線的中點(diǎn)O處會(huì)產(chǎn)生大小相等但方向相反的電場(chǎng)強(qiáng)度，所以，當(dāng)P點(diǎn)恰好位于O點(diǎn)時(shí)，此時(shí)M和N在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，是個(gè)定值，沒必要討論。下面我們探討P點(diǎn)不在O點(diǎn)時(shí)的情況。由于同種電性的電荷相互排斥，所以O(shè)點(diǎn)處附近的電場(chǎng)線非常稀疏，但電場(chǎng)強(qiáng)度并不為零，考慮到在等量的同種正電荷M和N的連線的垂直平分線上，從O點(diǎn)到無窮遠(yuǎn)處，電場(chǎng)線是先變得密集后變得稀疏，那么電場(chǎng)強(qiáng)度是先變強(qiáng)再變?nèi)醯?，從而，電?chǎng)強(qiáng)度的最大值是客觀存在的，筆者在下文中給出了兩種不同的數(shù)學(xué)求解方法。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 真空中的點(diǎn)電荷形成的場(chǎng)強(qiáng)E的計(jì)算公式[3]

2.2 極值的判定定理[4]

2.3 最值的判定定理[4]

2.4 三元平均值不等式[5][6]

3 問題的兩種數(shù)學(xué)解決方法

由物理對(duì)稱性可知，在兩個(gè)電性相同、電量相等的點(diǎn)電荷的連線的中點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，且P點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)是沿著中垂線遠(yuǎn)離場(chǎng)源電荷且方向是豎直向上和豎直向下的，因?yàn)樯舷聦?duì)稱，所以豎直向上的合場(chǎng)強(qiáng)和豎直向下的合場(chǎng)強(qiáng)是等大的，故只需考慮豎直向上的情況即可。而由預(yù)備知識(shí)可知，在中垂線上距離O點(diǎn)無窮遠(yuǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小也為零，所以，由公式（1）及矢量合成的平行四邊形法則可知，從O點(diǎn)起，P沿著中垂線逐漸遠(yuǎn)離O點(diǎn)的過程中，P點(diǎn)處的合場(chǎng)強(qiáng)是先增大后減小，方向沿中垂線背離O點(diǎn)。所以，P點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)EP有最大值。下面我們給出兩種不同的數(shù)學(xué)解決方法。

4 結(jié)語

由上面解決問題的過程，我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)和物理是相互滲透的，物理問題里滲透著數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)思想和方法在物理中有獨(dú)到的應(yīng)用，這兩大學(xué)科之間的關(guān)系真的非常密切，在好多方面都是相輔相成的。我們?cè)诮鉀Q一些物理問題時(shí)，如果能做到抓住問題的本質(zhì)、處理得當(dāng)，是可以把比較復(fù)雜甚至無法下手的物理問題輕松地轉(zhuǎn)化為比較熟悉的數(shù)學(xué)問題的，是可以降低解決問題的難度的。文中，筆者在探討等量的同種正電荷連線的垂直平分線上的點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度的最大值問題時(shí)，就是運(yùn)用物理概念和公式把問題的本質(zhì)剖析出來，建立電場(chǎng)強(qiáng)度這樣一個(gè)以距離為自變量的連續(xù)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求電場(chǎng)強(qiáng)度連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最值問題，然后分別借助于一元函數(shù)微積分學(xué)里的導(dǎo)數(shù)和不等式中的三元均值不等式巧妙地解決了文中提出的物理問題，所得結(jié)果也是一致的。

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