二面角求法賞析

　　摘 要：求二面角的大小是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，本文歸納了常見的求解二面角的方法，通過對問題探索與解法反思不斷提高解題能力.
　　關(guān)鍵詞：二面角求法；定義法；三垂線定理；向量法；射影面積法
　　
　　求二面角的大小是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，因此我們得引起高度重視.只有在平時學(xué)習(xí)中多積累有關(guān)二面角的題型和掌握常見求解二面角的方法才能在問題探索與解法反思中不斷提高解題能力. 本文就求二面角的方法作如下歸納，供讀者借鑒與參考.
　　
　　方法一 利用二面角的平面角的定義求作平面角
　　利用二面角的平面角的定義，過棱上某一點(diǎn)作垂直于棱的平面，該平面與二面角的兩個半平面的交線所成的平面角即是二面角的平面角.一般地，可以經(jīng)過棱上的特殊點(diǎn)，如中點(diǎn)、分點(diǎn)、端點(diǎn)等作平面.
　　例1 （2010重慶理）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).
　　
　　圖1
　?。?）求直線AD與平面PBC的距離；
　?。?）若AD=，求二面角A―EC―D的平面角的余弦值.
　　解：（1）略.
　?。?）過D作DF⊥CE，交CE于F；過點(diǎn)F作FG⊥CE，交AC于G，則∠DFG為所求二面角的平面角.
　　由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，所以AD⊥平面PAB.
　　故AD⊥AE，從而DE==. 在Rt△CBE中，有CE==.由CD=知△CDE為等邊三角形，故F為CE的中點(diǎn)，且DF=CD?sin=. 因為AE⊥平面PBC，所以AE⊥CE. 又由FG⊥CE知FGAE，從而FG=，且G點(diǎn)為AC的中點(diǎn). 連結(jié)DG，則在Rt△ADC中，DG=AC==.
　　因此cos∠DFG==，即二面角A-EC-D的平面角的余弦值為.
　　例2 （2010天津理）如圖2，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，CF=AB=2CE，AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.
　　（1），（2）略；（3）求二面角A1－ED－F的正弦值.
　　
　　圖2
　　解：（1），（2）略.
　?。?）設(shè)AB=1，連結(jié)A1N，F(xiàn)N. 由（2）知DE⊥平面ACF，所以DE⊥NF，DE⊥A1N，故∠A1NF為二面角A1―ED―F的平面角. 易知Rt△CNE∽Rt△CBA. 所以=. 又AC=，所以CN=. 在Rt△NCF中，NF==，在Rt△A1AN中，NA1==. 連結(jié)A1C1，A1F. 在Rt△A1C1F中，A1F ==.
　　在Rt△A1NF中，cos∠A1NF==，所以sin∠A1NF=. 故二面角A1―ED―F正弦值為.
　　
　　方法二 利用三垂線法作平面角
　　我們把用三垂線定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法稱為三垂線法. 其作圖模型為：
　　如圖3，在二面角α-l-β中，過平面α內(nèi)一點(diǎn)A作AO⊥平面β，垂足為O，過點(diǎn)O作OB⊥l于B（或過A點(diǎn)作AB⊥l于B），連結(jié)AB（或OB），由三垂線定理（或逆定理）知AB⊥l（或OB⊥l），則∠ABO為二面角α-l-β的平面角．
　　
　　 圖3
　　作圖過程中，作出了兩條垂線AO與OB（或AB），后連結(jié)AB（或OB）.
　　這一過程可簡記為“兩垂一連”，其中AO為“第一垂線”． “第一垂線”能否順利找到或恰當(dāng)作出是用三垂線法作二面角的平面角的關(guān)鍵，在具體解題過程中有以下幾種情況：
　　1． 善于利用圖中已有的“第一垂線”
　　例3 （2010安徽理）如圖4，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H為BC的中點(diǎn).
　　?搖?搖（1）（2）略；（3）求二面角B－DE－C的大小.
　　
　　圖4
　　解：（1）（2）略.
　?。?）因為EF⊥FB，∠BFC=90°，所以BF⊥平面CDEF. 在平面CDEF內(nèi)過點(diǎn)F作FK⊥DE，交DE的延長線于K，則∠FKB為二面角B－DE－C的平面角. 設(shè)EF=1，則AB=2，F(xiàn)C=，DE=.
　　又EF∥DC，所以∠KEF=∠EDC， sin∠KEF=sin∠EDC=，且FK=EF?sin∠KEF=，因此tan∠FKB==，從而∠FKB=60°，即二面角B－DE－C的大小為60°.
　　2． 借助第三個平面，作“第一垂線”
　　例4 （2010四川理）已知正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為1，點(diǎn)M是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對角線BD′的中點(diǎn).
　?。?）略；（1）求二面角M－BC′－B′的大小；（3）略.
　　
　　圖5
　　解：（1）略.
　?。?）取BB′的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN⊥平面BCC′B′.過點(diǎn)N作NH⊥BC′于H，連結(jié)MH，則由三垂線定理得BC′⊥MH，從而∠MHN為二面角M－BC′－B′的平面角. 因為MN=1，NH=BNsin45°=，所以在Rt△MNH中，tan∠MNH==2.
　　故二面角M－BC′－B′的大小為arctan2.
　?。?）略.
　　例5 （2010全國Ⅱ卷文）如圖6，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC=BC，AA′=AB，D為BB′的中點(diǎn)，E為AB′上的一點(diǎn)且AE=3EB′.
　?。?）略；（2）設(shè)異面直線AB′與CD的夾角為45°，求二面角A′－AC′－B′的大小.
　　解：（1）略.
　?。?）因為DG∥AB′，所以∠CDG為異面直線AB′與CD的夾角，故∠CDG=45°.
　　設(shè)AB=2，則AB′=2，DG=，CG=，AC=.
　　作B′H⊥A′C′，H為垂足.因為底面A′B′C′⊥平面AC′，所以B′H⊥平面AC′. 過H作HK⊥AC′，K為垂足，連結(jié)B′K.
　　由三垂線定理得B′K⊥AC′.所以∠B′KH為二面角A′－AC′－B′的平面角.
　　又B′H==，HC′==，AC′=. 由相似知=，所以HK=，故tan∠B′HK==.
　　因此二面角A′－AC′－B′的大小為arctan.
　　
　　方法三 利用線線角
　　欲求α，β兩平面所成的二面角，可找分別與α，β兩平面垂直的兩直線，記為a，b，則直線a，b所成的角或其補(bǔ)角為α，β兩平面所成的角. 此法是把求面面角的問題轉(zhuǎn)化為求線線角的問題.
　　例6 （2010陜西理）如圖7，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn).
　　（1）證明：PC⊥平面BEF；
　?。?）求平面BEF與平面BAP夾角的大小.
　　解：（1）略.
　?。?）因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC. 又因為四邊形ABCD為矩形，所以AB⊥BC. 又PA∩AB=A，故BC⊥平面BAP. 由（1）知PC⊥平面BEF，故PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的夾角.
　　在△PBC中，PB=BC，∠PBC=90°，故∠PCB=45°，即平面BEF與平面BAP的夾角為45°.
　　
　　 方法四 利用向量求二面角的大小
　　利用兩個半平面的法向量或利用在兩個半平面內(nèi)都垂直棱的兩個向量的夾角求二面角的大小. 向量的夾角方向性，向量的夾角可能是二面角的大小也可能是其補(bǔ)角，用平面的法向量求時也是如此，特別是未給出二面角的棱時，用向量求角更有利.
　　策略一，利用在兩個半平面內(nèi)都垂直棱的兩個向量的夾角.
　　例7 如圖8所示，空間四邊形PABC中，∠APC=90°，∠APB=60°，PB=BC=4，PC=3，求二面角B－PA－C的余弦值.
　　
　　
　　圖8
　　解：作BD⊥AP，D為垂足.因為 CP⊥AP，所以二面角B－PA－C的大小等于<，>.
　　在Rt△PBD中，BD=PB?sin∠DPB=2，DP=PB?cos∠DPB=2.
　　因為=++，所以2=2+2+2+2?+2?+2?，即42=（2）2+22+32+2×2×3cos<，>. 解得cos<，>= －，cos<，>=，即二面角B－PA－C的余弦值為.
　　策略二，利用平面的法向量求解.
　　設(shè)n1是平面α的法向量，n是平面β的法向量. ①若兩個平面的法向量如圖9所示的示意圖，則n1與n2之間的夾角就是欲求的二面角；②若兩個平面的法向量如圖10所示的示意圖，設(shè)n1與n2之間的夾角為θ，則兩個平面的二面角為π－θ.
　　例8 如圖11，四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SCD與平面SAB所成二面角的大小.
　　
　　圖11
　　解：平面SAB的法向量是，平面SCD的法向量可設(shè)為n=λ+μ+.
　　因為SA⊥平面ABCD，所以?=0，?=0，?=0.
　　又AB⊥AD，AB⊥BC，故?=0，?=0.
　　由n?=（λ+μ+）?（++）=－λ2+λ?+μ2=－λ+λ+μ=λ+μ=0，又n?=（λ+μ+）?（－）=2－λ2=1－λ=0，所以λ=4，μ=－1，故n=4－+，因此n?=（4－+）?=42=1.
　　因為n2=（4－+）2=162+2+2=6，所以n=.
　　設(shè)θ表示平面SCD與平面SAB所成二面角，則cosθ==，所以θ=arccos.
　　
　　方法五 利用坐標(biāo)法求二面角的大小
　　所謂坐標(biāo)法，就是建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角兩個半平面的法向量m，n，則m，n兩向量所成的角或其補(bǔ)角的大小就是二面角的大小.此法是高考求二面角的常用方法，思維簡單但有一定計算量，因此要求學(xué)生有較高的運(yùn)算能力，運(yùn)用此法時要清楚二面角為銳角或鈍角.
　　例9 （2010江西）如圖12，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2.
　?。?）求直線AM與平面BCD所成的角的大小；
　　（2）求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值.
　　
　　圖12
　　解：（1）略.
　?。?）取CD中點(diǎn)O，連結(jié)OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD. 又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC，BO，OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
　　因為OB=OM=，所以C（1，0，0），M（0，0，），B（0，－，0），A（0，－，2）. 易得=（－1，0，），=（－1，－，2），設(shè)平面ACM的法向量為n1=（x，y，z），由n1⊥n1⊥ 得－x+z=0，－x－y+2z=0，解得x=z，y=z. 取n1=（，1，1）. 又平面BCD的法向量為n=（0，0，1），則cos==. 設(shè)所求二面角為θ，則sinθ==.
　　例10 （2010湖北文）如圖13，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.
　?。?）設(shè)P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上且AB=3AQ，證明：PQ⊥OA；
　?。?）求二面角O―AC―B的平面角的余弦值.
　　解：（1）略.
　　（2）過O作ON⊥AO交AB于N，以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA，ON，OC為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A（1，0，0），C（0，0，1），B－，，0. 因為P為AC的中點(diǎn)，所以P，0，. 記平面ABC的法向量為n=（n1，n2，n3），由n⊥，n⊥，且=（1，0，－1）得n1－n3=0，－n1+n2=0，故可取n=（1，，1）.
　　又平面OAC的法向量為e=（0，1，0），所以cos==.
　　設(shè)所求二面角為θ，則cosθ=.
　　
　　 方法六 利用射影面積法求二面角的大小
　　已知△ABC的邊BC在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)A?埸α. 設(shè)△ABC的面積為S，它在平面α內(nèi)的射影面積為S1，且平面α與△ABC所在的平面所成的二面角為θ，則cosθ=，再根據(jù)θ的范圍求θ.
　　例11 （2010浙江理）如圖14，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，AE=BE=AF=FD=4. 沿直線EF將△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.
　?。?）求二面角A′－FD－C的余弦值；
　?。?）略.
　　解：（1）取線段EF的中點(diǎn)H，AF的中點(diǎn)G，連結(jié)A′G，A′H，GH.
　　?搖?搖因為A′E=A′F及H是EF的中點(diǎn)，所以A′H⊥EF.
　　又因為平面A′EF⊥平面BEF，所以A′H⊥平面BEF. 由題有FD=6，A′H=2，GH=2，A′G=2. 設(shè)二面角A′－DH－C的大小為θ，則cosθ=====.
　　故二面角A′－FD－C的余弦值為.