一道平面幾何奧賽題的空間推廣

　　摘 要：本文主要對第58屆白俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克決賽的一道平面幾何試題進(jìn)行了空間上的推廣，得到了如下結(jié)論：設(shè)P為四面體ABCD內(nèi)的任意一點，過P分別作面ABC、面BCD、面CDA、面DAB的平行平面截四面體所得截面分別為△A1B1C1，△B2C2D2，△C3D3A3，△D4A4B4，則有=3．
　　關(guān)鍵詞：平面幾何；空間；推廣；比值；定值
　　
　　第58屆白俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克決賽有如下一道平面幾何試題：
　　題 如圖1，設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，過I分別作AB，BC，CA的平行線A1B2，B1C2，C1A2，求++的值．
　　《中等數(shù)學(xué)》2009年增刊第92頁提供以上試題的解答，指出并證明了I為△ABC的任意一點時結(jié)論亦成立，現(xiàn)將其敘述成定理的形式．
　　定理1 如圖1，設(shè)I為△ABC內(nèi)的任意一點，過I分別作AB，BC，CA的平行線A1B2，B1C2，C1A2，則有++=2．
　　
　　圖1
　　筆者考慮四面體是否有類似的性質(zhì)，結(jié)論是肯定的，現(xiàn)敘述如下：
　　定理2 設(shè)P為四面體ABCD內(nèi)的任意一點，過P分別作面ABC、面BCD、面CDA、面DAB的平行平面截四面體所得截面分別為△A1B1C1，△B2C2D2，△C3D3A3，△D4A4B4，則有+++=3．
　　證明 設(shè)P到面ABC、面BCD、面CDA、面DAB的距離分別為md，ma，mb，mc，頂點D，A，B，C對應(yīng)的高分別為hd，ha，hb，hc．
　　因為面A1B1C1∥面ABC，所以四面體DABC∽四面體DA1B1C1． 從而=．
　　同理，=，=，=．
　　故χ=+++=+++
　　=4－+++．
　　設(shè)V為四面體的面積，則
　　3V=hdS△ABC=haS△BCD=hbS△CDA=hcS△DAB=mdS△ABC+maS△BCD+mbS△CDA+mcS△DAB．
　　于是，χ=4－+++=3． 即定理2得證．