一道不等式題的多解、變式與推廣

　　摘 要：本文對(duì)一道典型的不等式問題進(jìn)行了深入討論，得到它的7種解法、兩種變式以及一種推廣，展現(xiàn)了一題多解、一題多變?cè)诮虒W(xué)中的作用，有助于開拓學(xué)生的思路，訓(xùn)練學(xué)生的思維，提升學(xué)生的解題能力，開發(fā)學(xué)生的解題智慧.
　　關(guān)鍵詞：不等式；多解；變式；推廣
　　
　　如果說探索一道題目的多種解法的目的在于開拓思路、訓(xùn)練思維、發(fā)展思維的廣闊性，那么對(duì)問題的變式探究，則有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識(shí).選擇基礎(chǔ)性強(qiáng)、解題方法典型、又能一題多解或一題多變的題目，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，進(jìn)行多解探索，獲取不同的解法，進(jìn)行變式探究，使問題得以拓展延伸，從而使看似平淡的問題獲得較好的教學(xué)效果.
　　題目 若不等式+≤a對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
　　解法一：因?yàn)閤，y>0，所以已知不等式可變?yōu)閍≥. 又因?yàn)閍>0，所以a2≥. 而x+y≥2，故≤=2，因此a2≥2，即a≥，實(shí)數(shù)a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法二：+≤a?圳a≥=. 由不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，得a≥max=. 當(dāng)y=x時(shí)，實(shí)數(shù)a取最小值，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法三：因?yàn)閥>0，所以已知不等式可化為+1≤a. 設(shè)=tanθ，θ∈0，，則tanθ+1≤a，即tanθ+1≤. 于是a≥sinθ+cosθ=sinθ+.
　　又因?yàn)閟inθ+的最大值為1，此時(shí)θ=，所以a≥，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法四：因?yàn)閤，y>0，所以已知不等式可變?yōu)閍≥. 設(shè)u==+，而，∈（0，1），且2+2=1，故可設(shè)=sinα，=cosα，α∈0，，則u=sinα+cosα=sinα+≤，當(dāng)α=時(shí)取等號(hào). 因此，a≥，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法五：因?yàn)閤，y>0，所以已知不等式可變?yōu)閍≥，設(shè)u=，m=（，），n=（1，1），由m?n=m?ncosθ≤m?n，得+≤?，當(dāng)m與n同向時(shí)取等號(hào)，可得u=≤，故a≥，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法六：令u=，=t（t>0），則u2=g（t）=2=.
　　g′（t）=，由t>0可得函數(shù)g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減. 因此，gmax（t）=g（1）=2，故u2≤2，所以u(píng)≤，于是a≥，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法七：令u=，=p，=q（p>0，q>0），則u=. 于是u可以看成定點(diǎn)P（1，1）到動(dòng)直線l：px+qy=0（p>0，q>0）的距離. 如圖1，由幾何性質(zhì)可知定點(diǎn)P到動(dòng)直線l的距離的最大值就是點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，為，所以u(píng)≤. 因此，a≥，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為［，+∞）.
　　變式一 ?搖若不等式+≤a對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
　　解：因?yàn)閤，y>0，所以已知不等式可變?yōu)閍≥． 又a>0，所以a2≥，因x，y是任意正實(shí)數(shù)，所以2=2≤λx+（其中λ為正常數(shù)），故≤=． 現(xiàn)只要下列等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都成立，（1+λ）x+1+y=k（2x+y），所以1+λ=21+，即λ=2，所以k=，故a2≥，即a≥，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，+∞．
　　變式二 若不等式+≤a對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
　　同變式一的解法可以求得a≥==，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，+∞.
　　推廣 若不等式+≤a（其中m，n為正常數(shù)）對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
　　解：同變式一，即a2≥，因2=2≤λx+（其中λ為正常數(shù)），故≤=，現(xiàn)只要n（1+λ）=m1+，即（nλ－m）（λ+1）=0，又λ>0，故λ=.
　　因此，=，所以a2≥，即a≥，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，+∞.
　　教學(xué)中要經(jīng)常強(qiáng)化常規(guī)思路、常規(guī)方法， 不斷培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和解題的毅力、信心. 解決一個(gè)問題不能僅滿足于得到結(jié)論，要善于對(duì)問題進(jìn)行解法探究、變式探究，要注重一題多解、一題多變，要注重解題反思，要充分挖掘問題的本質(zhì)、揭示問題的精髓. 正如羅增儒教授所言：我們以典型試題為載體研究解題，不僅僅是為了考試多得分、得高分. 在我們看來，包括解題反思在內(nèi)的數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的核心內(nèi)容，數(shù)學(xué)解題的思維實(shí)質(zhì)是發(fā)生數(shù)學(xué)，而不僅僅是“規(guī)則的簡單重復(fù)”或“操作的生硬執(zhí)行”，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可替代的實(shí)質(zhì)活動(dòng). 解題活動(dòng)的核心價(jià)值是掌握數(shù)學(xué)，解題是一種最貼近數(shù)學(xué)思維的實(shí)質(zhì)性活動(dòng)，是掌握數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”的關(guān)鍵途徑.