幾個(gè)無(wú)理不等式的加權(quán)與變式

　　摘 要：本文主要運(yùn)用柯西不等式、結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2009年第12期刊載的《幾個(gè)優(yōu)美的無(wú)理不等式》一文進(jìn)行加權(quán)推廣及并得到變式.
　　關(guān)鍵詞：柯西不等式；無(wú)理不等式；單調(diào)性；加權(quán)推廣；變式
　　
　　《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2009年第12期刊載了《幾個(gè)優(yōu)美的無(wú)理不等式》（下文稱其為文）一文，文中運(yùn)用了均值不等式及契比雪夫不等式證明了幾個(gè)優(yōu)美的無(wú)理不等式，本文將運(yùn)用柯西不等式、結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)《幾個(gè)優(yōu)美的無(wú)理不等式》一文進(jìn)行加權(quán)推廣并得到變式. 現(xiàn)以定理的形式陳述如下：
　　引理 設(shè)x，y，z∈R+，則≥++.
　　引理證明略.
　　對(duì)《幾個(gè)優(yōu)美的無(wú)理不等式》的定理1進(jìn)行加權(quán)推廣，則有如下定理：
　　定理1 設(shè)a，b，c，λ∈R，且a+b+c=1，則++≥.
　　證明 由柯西不等式，得++≥，又由引理，得++≤=，由上兩不等式，定理1得證.
　　類似定理1的證明，我們有如下定理：
　　定理2 設(shè)a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.
　　定理2即為《幾個(gè)優(yōu)美的無(wú)理不等式》定理2的加權(quán)推廣.
　　對(duì)《幾個(gè)優(yōu)美的無(wú)理不等式》定理3進(jìn)行加權(quán)推廣，則有如下：
　　定理3 設(shè)a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.
　　證明 由柯西不等式，得++≥，又由引理，得++≤，
　　故++≥=.
　　由柯西不等式，易得a2+b2+c2≥（a+b+c）2=，
　　易知，f（x）=（λ>0）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，結(jié)合f（x）的單調(diào)性，有++≥≥=.
　　類似定理3的證明，我們有如下定理：
　　定理4 設(shè)a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.
　　定理5 設(shè)a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.
　　定理4及定理5分別是《幾個(gè)優(yōu)美的無(wú)理不等式》中定理4及定理5的加權(quán)推廣.
　　對(duì)本文定理3進(jìn)行變式，可得到如下：
　　定理6 設(shè)a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.
　　證明 由柯西不等式，得++≥，
　　又由引理，得++≤，
　　故++≥.
　　由均值不等式，易得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
　　從而++≥=.
　　由柯西不等式，易得a2+b2+c2≥（a+b+c）2=，
　　易知f（x）=（λ>0）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
　　結(jié)合f（x）的單調(diào)性，有++≥≥=.
　　類似定理6的證明，我們還可以得如下定理：
　　定理7 設(shè)a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.