探究函數(shù)的對稱性及其應(yīng)用

引例：我們知道，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x+a）-b為奇函數(shù).

（1）求函數(shù)f（x）=x3-3x2圖象的對稱中心;

（2）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.

分析：先令h（x）=f（x+a）-b的形式，再利用h（x）是奇函數(shù)滿足-h（x）=h（-x），再來求出a，b的值，進(jìn)而得到對稱中心.

解答：f（x）=x3-3x2，

設(shè)h（x）=f（x+a）-b是奇函數(shù)，

則f（-x+a）-b=-[f（x+a）-b]，

∴f（-x+a）-b=-f（x+a）+b，

∴f（-x+a）+f（x+a）-2b=0，

∴（-x+a）3-3（-x+a）2+（x+a）3-3（x+a）2-2b=0，

∴6x2a+2a3-6x2-6a2-2b=0，

∴（6a-6）x2+2a3-6a2-2b=0，

∴6a-6=0，2a3-6a2-2b=0，

∴a=1，b=-2，即h（x）=f（x+1）-（-2）是奇函數(shù).

∴f（x）圖象的對稱中心是（1，-2）.

（2）類比上述推廣結(jié)論，得到：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x+a）為偶函數(shù).

例1 經(jīng)過函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，我們知道：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形”的充要條件是“y=f（x）為偶函數(shù)”.

（1）若f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=2x-1，求f（x）的解析式，并求不等式f（x）>f（2x-1）的解集;

（2）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組針對上述結(jié)論進(jìn)行探究，得到一個(gè)真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖形”的充要條件是“y=f（x+a）為偶函數(shù)”若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）=x2-1x.

（i）求g（x）的解析式.

（ii）求不等式g（x）>g（3x-1）的解集.

分析：（1）由函數(shù)對稱性得到f（x）在（0，+∞）上的解析式，進(jìn)而求出不等式的解集;

（2）（i）根據(jù)g（x+1）是偶函數(shù)得出g（x）在（-∞，1）上的解析式，（ii）根據(jù)單調(diào)性和對稱性列不等式得到解集.

解：（1）設(shè)x>0，則-x<0，則f（-x）=2（-x）-1=-2x-1，

又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=-2x-1，

所以f（x）=2x-1，x≤0，-2x-1，x>0.

因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，

所以f（x）>f（2x-1）等價(jià)于|x|<|2x-1|，即x2<（2x-1）2，解得x<13或x>1.

所以不等式的解集是{x|x<13或x>1}.

（2）（i）因?yàn)間（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以y=g（x+1）為偶函數(shù)，所以g（1+x）=g（1-x），

即g（x）=g（2-x）對任意x∈R恒成立.

又當(dāng)x<1時(shí)，2-x>1，

所以g（x）=g（2-x）=（2-x）2-12-x=x2-4x+4+1x-2.

所以g（x）=x2-1x，x≥1，x2-4x+4+1x-2，x<1.

（ii）當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）=x2-1x，

又∵g′（x）=2x+1x2>0，∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增.

又因?yàn)楹瘮?shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以g（x）>g（3x-1）等價(jià)于|x-1|>|3x-2|，

即（x-1）2>（3x-2）2，解得12

所以不等式的解集為{x|12

點(diǎn)評：本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.

例2 已知命題中：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”.

（1）試判斷命題p的真假？并說明理由;

（2）將函數(shù)g（x）=x3-3x2的圖象向左平移1個(gè)單位再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式并利用題設(shè)中的命題求函數(shù)g（x）圖象的對稱中心;

（3）求函數(shù)h（x）=log22x4-x圖象的對稱中心;

（4）已知命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b使得函數(shù)y=f（x+a）-b是偶函數(shù)”，判斷該命題的真假.如果是真命題，請給予證明;如果是假命題，請說明理由.并類比題設(shè)的命題對它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）.

分析：（1）證明充要條件需要從充分性和必要性兩個(gè)方面去證.

（2）先寫出平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2整理得y=x3-3x，由于函數(shù)y=x3-3x是奇函數(shù)，利用題設(shè)得，函數(shù)g（x）圖象的對稱中心.

（3）設(shè)h（x）=log22x4-x的對稱中心為P（a，b），由題設(shè)知函數(shù)h（x+a）-b是奇函數(shù)，從而求出a，b的值即可得出圖象對稱中心的坐標(biāo).

（4）此命題是假命題.舉反例說明即可.修改后的真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f（x+a）是偶函數(shù)”.

解析：（1）命題p為真命題.

充分性：若y=f（x+a）-b為奇函數(shù)，則f（a-x）-b=-f（a+x）+b即f（a-x）+f（a+x）=2b，

設(shè)M（x，y）為f（x）圖象上任一點(diǎn)，則M關(guān)于（a，b）的對稱點(diǎn)為N（2a-x，2b-y）.

∵f（2a-x）=f（a+（a-x））=2b-f（a-（a-x））=2b-f（x），

∴N在y=f（x）圖象上，即f（x）的圖象關(guān)于（a，b）對稱.

必要性：若f（x）的圖象關(guān)于（a，b）對稱，

設(shè)M（x，y）為f（x）圖象上任一點(diǎn)，則由上知：

f（2a-x）=2b-f（x），令x取x+a，則f（a-x）+f（a+x）=2b，

即f（a-x）-b=-f（a+x）+b，

∴y=f（a+x）-b為奇函數(shù)，

綜上命題為真.

（2）平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2，整理得y=x3-3x，

由于函數(shù)y=x3-3x是奇函數(shù)，由題設(shè)命題知，函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)是（1，-2）.

（3）設(shè)h（x）=log22x4-x的對稱中心為P（a，b），由題設(shè)知函數(shù)h（x+a）-b是奇函數(shù).

設(shè)f（x）=h（x+a）-b，

則f（x）=log22（x+a）4-（x+a）-b，

即f（x）=log22x+2a4-x-a-b.由于函數(shù)h（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

由不等式2x+2a4-x-a>0的解集關(guān)于原點(diǎn)對稱，

則-a+（4-a）=0，得a=2，

此時(shí)f（x）=log24+2x2-x-b，x∈（-2，2），

任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，

即log22（2+x）2-x-b+log22（2-x）2+x-b=0，

化簡得log42-2b=0，即2b=2，得b=1.

所以函數(shù)h（x）=log22x4-x圖象對稱中心的坐標(biāo)是（2，1）.

（4）此命題是假命題.

舉反例說明函數(shù)f（x）=x的圖象關(guān)于直線y=-x成軸對稱圖象，

但是對任意實(shí)數(shù)a和b函數(shù)y=f（x+a）-b，即y=x+a-b總不是偶函數(shù).

修改后的真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f（x+a）是偶函數(shù).”

點(diǎn)評：本小題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用.考查函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的對稱性等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

例3 如果函數(shù)f（x）滿足：對定義域內(nèi)的所有x，存在常數(shù)a，b，都有f（2a-x）+f（x）=2b，那么稱f（x）是“中心對稱函數(shù)”，對稱中心是點(diǎn)（a，b）.

（1）證明點(diǎn)（0，1）是函數(shù)f（x）=x+1x的對稱中心;

（2）已知函數(shù)g（x）=logmx-kx+2（m>0且m≠1，k>0）的對稱中心是點(diǎn)（0，0）.

①求實(shí)數(shù)k的值;

②若存在2<α<β，使得g（x）在[α，β]上的值域?yàn)閇logmm（β-1），logmm（α-1）]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：（1）求得f（x）+f（-x）=2，根據(jù)定義，即可得到函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱.

（2）①根據(jù)函數(shù)的定義，利用g（x）+g（-x）=0，即可求得k=2.

②由g（x）在[α，β]上的值域，得到方程組mβ2+（m-1）β-2m+2=0mα2+（m-1）α-2m+2=0，轉(zhuǎn)化為α，β為方程mx2+（m-1）x-2m+2=0的兩個(gè)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

解析：（1）由題意，函數(shù)f（x）=x+1x，

可得f（x）+f（-x）=x+1x+-x+1-x=2，

所以函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱.

（2）①因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=logmx-kx+2（m>0且m≠1，k>0）的對稱中心是點(diǎn)（0，0），

可得g（x）+g（-x）=0，即logmx-kx+2+logm-x-k-x+2=0，化簡得k2=4，解得k=2（k=-2舍）.

②因?yàn)?<α<β，∴1<α-1<β-1，可得m（α-1）

又因?yàn)閘ogmm（β-1）

所以g（x）=logmx-2x+2在[α，β]上單調(diào)遞減，

由g（x）在[α，β]上的值域?yàn)?/p>

[logmm（β-1），logmm（α-1）]，

所以logmβ-2β+2=logmm（β-1），logmα-2α+2=logmm（α-1），

即β-2=m（β-1）（β+2）α-2=m（α-1）（α+2），

即mβ2+（m-1）β-2m+2=0mα2+（m-1）α-2m+2=0，

即α，β為方程mx2+（m-1）x-2m+2=0的兩個(gè)根，且α>2，β>2，

令h（x）=mx2+（m-1）x-2m+2，

則滿足001-m2m>2Δ>0，解得0

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍（0，19）.

點(diǎn)評：本題主要考查了新定義，函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中正確理解新定義，合理利用函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解決問題的能力.

（作者：王芹，山東省棗莊市第二中學(xué)）