基于聯(lián)通主義學(xué)習(xí)觀開展數(shù)學(xué)OMO教學(xué)
——以《因式分解》為例

□張娟萍

（杭州市上城區(qū)教育學(xué)院，浙江杭州310009）

“停課不停學(xué)”使教師邁出了在線教學(xué)的重要一步.在線教學(xué)是“權(quán)宜之計，更是變革趨勢”，線下課堂恢復(fù)后不可能被打回原形，OMO（ONLINE-MERGE-OFFLINE，線上線下融合）將成為教學(xué)的常態(tài).OMO教學(xué)是基于媒介、跨時空、交互方便的新型教學(xué)方式，它打破了傳統(tǒng)課堂教學(xué)教師主導(dǎo)的特點，海量資源供選擇.學(xué)生不僅僅是知識的消費者，更是知識的創(chuàng)造者.這種現(xiàn)狀就迫切要求有一個適應(yīng)和解釋數(shù)字化時代學(xué)習(xí)特征與規(guī)律的理論來提高OMO的整體質(zhì)量.據(jù)此引入聯(lián)通主義學(xué)習(xí)理論.它強調(diào)學(xué)習(xí)是連接專門節(jié)點和信息源的過程，是對知識的連接、重組、再造能力.

基于聯(lián)通主義學(xué)習(xí)觀，學(xué)生是聯(lián)通的節(jié)點；教師是課程的促進者、影響者和網(wǎng)絡(luò)資源塑造者.聯(lián)通的方式體現(xiàn)在學(xué)生與資源、他人的交互活動.教師設(shè)置學(xué)習(xí)項目，引入學(xué)生卷入學(xué)習(xí)過程，連通知識節(jié)點，基于創(chuàng)造生長知識，形成獲得知識的方法.筆者以《因式分解》為例加以說明.

一、基于項目學(xué)習(xí)的活動交互

聯(lián)通主義學(xué)習(xí)的核心是交互.OMO實現(xiàn)了人與人之間、人與知識資源之間、知識資源與知識資源之間的交互.教師拋出任務(wù)后，學(xué)生尋求方法，推導(dǎo)結(jié)論，共享表達，根據(jù)學(xué)生所有想法迭代得到共同結(jié)論.

（一）呈現(xiàn)學(xué)習(xí)任務(wù)

教師設(shè)計主題任務(wù)和活動，促進學(xué)生開展項目學(xué)習(xí).

由于線上學(xué)習(xí)資源量多、面廣、碎片化嚴重等問題，在線學(xué)習(xí)中學(xué)生存在注意力不集中、學(xué)習(xí)目標(biāo)性弱等現(xiàn)象，所以線上教學(xué)要注重對學(xué)習(xí)內(nèi)容和過程的微型化，把一個探究內(nèi)容細化為多個小的項目，這些小項目就是聯(lián)通主義學(xué)習(xí)理論中的知識節(jié)點.《因式分解》這一課的內(nèi)容，可以分解為如下項目：（1）復(fù)習(xí)整式的乘法，激活學(xué)生原有整式乘法的認知結(jié)構(gòu)，延伸思考：整式相乘得到多項式，那么反過來，多項式能否化成整式的積？（2）基于經(jīng)驗尋找策略：要進行因式的分解，有什么經(jīng)驗可以借鑒，促使學(xué)生搜索相關(guān)經(jīng)驗？（回顧分解因數(shù)）（3）辨析概念；（4）如何根據(jù)因式分解的原理，找到因式分解的方法？（5）如何對因式分解進行拓展和變式到數(shù)與圖形？（6）形成知識與連接方法的框圖.

（二）選擇聯(lián)通方式生成想法

學(xué)生置身于學(xué)習(xí)情境中，面對具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)時，會根據(jù)自己原有的知識經(jīng)驗，以不同的角度進行思考.

（1）確定關(guān)聯(lián)內(nèi)容.網(wǎng)絡(luò)環(huán)境充滿著復(fù)雜、重復(fù)率高、分布式廣的信息.學(xué)生在信息尋找和選擇中，聯(lián)想與之有關(guān)的內(nèi)容.

（2）節(jié)點之間發(fā)生碰撞，形成節(jié)點連接.學(xué)生發(fā)現(xiàn)信息間的關(guān)聯(lián)性，即為了保證內(nèi)容和信息的流通，高效發(fā)現(xiàn)知識和促進知識的生長，發(fā)現(xiàn)資源、活動與個人需求之間的關(guān)系，并表現(xiàn)出與學(xué)習(xí)材料和概念深度交互的愿望.聯(lián)通的機會越多，學(xué)生從方法、組織和系統(tǒng)設(shè)計中獲益越多.比如，回顧由因式之積到多項式，反過來由多項式到因式之積；乘法公式逆過來得到因式分解，那么乘法的一系列性質(zhì)逆過來，就是否得到了因式分解的所有類型？再比如，因式怎么分解？此問題用于回顧因數(shù)是怎么分解的.

（3）項目學(xué)習(xí)是探究問題的復(fù)雜聯(lián)通.學(xué)生面對復(fù)雜、未知的問題，獲取網(wǎng)絡(luò)中的相應(yīng)資源，思考并創(chuàng)造新的知識或形成問題的解決方案，形成自己的結(jié)論.但此時想法的可行性和全面性還不明確，需要建立連接和交流.

（三）討論交流、形成知識框架

有了想法需要得到共鳴和驗證，或者碰到困惑需要得到啟發(fā)，于是進行交互活動.

通過提問與回答或其他方式參與網(wǎng)絡(luò)對話，積累知識、方法與經(jīng)驗以及知識獲取途徑.

（1）學(xué)生出聲思考及思維優(yōu)化過程是一個互動并改進的過程.學(xué)生暴露知識生長、規(guī)律探究和方法提煉過程中的思維，即表達知識探究和思維發(fā)展的過程，同時也表達中間經(jīng)過的挫折以及如何突破、脫離困境，澄清自己的思路，同時也提供和優(yōu)化別人的思考路徑.比如，因式分解的對象是誰？結(jié)果怎么樣？從而明確因式分解后的每個因式都是整式的積形式.

（2）與其他同學(xué)聯(lián)通產(chǎn)生新話題，通過深層次的互動形成問題的新認識，吸引新的參與者持續(xù)地互動.這是一個開放、動態(tài)生長和不斷分化的過程.線上教學(xué)的優(yōu)點在于——隨時嵌入的互動，促使學(xué)生主動進入討論區(qū)，同跨越課堂邊界的更廣泛人群進行互動，學(xué)生發(fā)明和創(chuàng)造的題目、方法可以直接以文本呈現(xiàn)在“交流區(qū)”，教師可以迅速搜索得到不同類型不同思維角度的學(xué)生生成的東西，并及時展示，帶動其他學(xué)生思考和研究.

（3）項目學(xué)習(xí)中，對個人的思考過程和與學(xué)生的討論過程中產(chǎn)生的新的知識和獲取途徑進行整理，包括知識的類型及獲取途徑等.框架開放，可擴展形成的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并對其整個知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和每個知識節(jié)點進行評價，學(xué)生需要根據(jù)各個方面的意見再次對知識節(jié)點進行整理，形成思維導(dǎo)圖.

（4）嘗試提出問題.學(xué)生在交互過程中必然會析出問題，進而尋找節(jié)點，創(chuàng)新知識.比如因式分解有什么用處？怎么與其他知識聯(lián)系起來？學(xué)生是學(xué)習(xí)內(nèi)容的創(chuàng)造者，學(xué)生通過生長和創(chuàng)造學(xué)習(xí)內(nèi)容，完成新知識的增長.同時學(xué)生通過創(chuàng)造內(nèi)容與他人聯(lián)通，為了增進連接，他們還需要給原始資源提供反饋，從而實現(xiàn)更新“因式分解”知識和方法網(wǎng)絡(luò).

二、基于創(chuàng)造的知識生長

連接建立不是對已有信息或資源的重復(fù)，而是創(chuàng)造，即生成新知識的過程.強調(diào)建立與已有節(jié)點之間的連接，實現(xiàn)知識的流通.

（一）基于關(guān)聯(lián)創(chuàng)造新知

知識的生長性基于原始知識在交互中保持持續(xù)更新的狀態(tài)而發(fā)揮新的作用.學(xué)生接觸任務(wù)后會啟動相關(guān)默會知識，檢索和尋找的原材料，元素被篩選、評估和重組.比如：復(fù)習(xí)前一章整式乘法知識引出學(xué)生思考“因式分解”的概念.整式乘法主要涉及：單項式乘以多項式；多項式乘以多項式及特殊情況（多項式乘法公式）.列出整式乘法的這些式子結(jié)構(gòu)，學(xué)生體驗從左到右整式乘法的特征：由整式乘法得到多項式的結(jié)果；在此基礎(chǔ)上，由學(xué)生觀察從右到左式子的結(jié)構(gòu)特征，類比6=2×3分解質(zhì)因數(shù)，由學(xué)生對由多項式得到整式乘法結(jié)果的數(shù)學(xué)不同表達形式給以命名，由學(xué)生自己概括得到因式分解的概念.知識發(fā)生發(fā)展的路徑如圖1所示，由學(xué)生歸納得到因式分解概念；并由學(xué)生舉出例子，辨析概念理解的邊界；進一步由學(xué)生歸納出多項式的因式分解與整式乘法是兩種相反方向的恒等變形，是互逆過程，從而引導(dǎo)學(xué)生探索因式分解的方法.

圖1

（二）生長知識獲得方法

知識生長時學(xué)生把信息映射到現(xiàn)有知識與已有知識之間建立聯(lián)系的活動中，進行模式識別，明確配備的要素和模型.

引出學(xué)生思考因式分解方法時，先提出大的主題任務(wù)：你能得到哪些因式分解方法？由學(xué)生自己嘗試編題.將學(xué)生呈現(xiàn)的各種編題由學(xué)生進行歸類和補充，根據(jù)學(xué)生陳述之所以這樣編題的原因，從而引起學(xué)生發(fā)現(xiàn)：既然因式分解是整式乘法的逆運算，那么逆用整式乘法公式是否就可以找到因式分解的方法，還有整式乘法的探究方法和思路也可以提供因式分解探究的路徑.逆用單項式與多項式相乘a（b+m）=ab+am，即是分配律的逆運算，得到因式分解ab+am=a（b+m）（提公因式法）；逆用多項式與多項式相乘（m+b）（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+ma+bn+ba，得到因式分解mn+ma+bn+ba=m（n+a）+b（n+a）=（m+b）（n+a）（分組分解法）；逆用整式乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，得到因式分解x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）（十字相乘法）；逆用整式乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，得到因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）（平方差公式）；逆用整式乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2，得到因式分解a2+2ab+b2=（a+b）2（完全平方公式）.思考路徑如圖2所示.

圖2

引出因式分解的所有原形及其變式，由學(xué)生舉出相應(yīng)例子（在交流區(qū)），教師選擇例子，由學(xué)生分類、求解并歸納出相應(yīng)的特征.

很多教師在上課的時候會補充很多因式分解的方法和變式技巧，對學(xué)生而言猶如變魔術(shù)一般，增加學(xué)生學(xué)習(xí)負擔(dān)和畏難情緒.實際上，基于因式分解的本質(zhì)，逆用乘法運算的原理可以順利而便捷地理解因式分解這些方法、緣起和思考路徑.

（三）拓展延伸實現(xiàn)思維創(chuàng)新

聯(lián)通主義學(xué)習(xí)強調(diào)在學(xué)習(xí)過程中創(chuàng)造新的節(jié)點.學(xué)生探索到因式分解的方法和意義，會思考它的應(yīng)用價值.由學(xué)生嘗試編題，促使學(xué)生思考變式的一般途徑.

（1）在數(shù)字計算中，運用數(shù)學(xué)規(guī)律，往往有利于計算簡便，所以這類題，學(xué)生可以順暢地編出來.

（2）字母、整式、項數(shù)、次數(shù)的延伸.有整式乘法的經(jīng)驗，學(xué)生可以自發(fā)地在字母、整式、項數(shù)、次數(shù)等方面進行拓展，并自己展開驗證，發(fā)現(xiàn)運算方法.

（3）圖形的拓展.數(shù)形結(jié)合是學(xué)生學(xué)習(xí)任何一塊內(nèi)容后自然想到的一種意識.因式分解兩項乘積或其他結(jié)果涉及平方項，則常常與面積直接相關(guān)，所以由幾何圖形的面積表示很容易得到整式乘法與因式分解的關(guān)聯(lián).把代數(shù)恒等式與平面圖形結(jié)合起來，實現(xiàn)數(shù)結(jié)構(gòu)與形結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一.如根據(jù)圖形面積得到學(xué)過的整式乘法的乘法公式；或者根據(jù)兩個圖形的面積關(guān)系解釋相應(yīng)的乘法公式.

再比如，用如圖3所示的正方形和長方形卡片拼成一個面積為2a2+3ab+b2的長方形.

圖3

學(xué)生形成拓展的意識和一般方法：由數(shù)到式到圖形得到的拓展；嘗試把新知與其他知識結(jié)合，進一步為“分式運算；一元二次方程解法；二次函數(shù)與x軸交點”等新知識學(xué)習(xí)做好鋪墊，完成知識的創(chuàng)造與生成的過程.

三、基于聯(lián)通主義的方法形成

（一）探究因式分解的思考步驟和策略

學(xué)生聯(lián)通關(guān)聯(lián)知識，明確探究方法.如“把公共部分提出來”，會使學(xué)生聯(lián)想到逆用分配律的運算，由學(xué)生討論如何確定公因式，歸納得到了提公因式的方法和步驟：（1）確定應(yīng)提取的公因式：系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公因數(shù)；字母取多項式各項中都含有的相同字母的最低次數(shù)冪；當(dāng)首項系數(shù)為負時，常提取負因數(shù)，在提取“－”號時，余下的各項都變號，形成添括號法則.（2）用公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式；把多項式寫成這兩個因式的積形式.（3）因式分解的結(jié)果一定是幾個整式的乘積形式，多項式余下的各項不再含有公因式.

（二）形成知識結(jié)構(gòu)習(xí)得探究方法

學(xué)生跟已有的顯性化知識建立了比較深入的連接以后，要系統(tǒng)化梳理、表達、呈現(xiàn)和分享自己的觀點；按照規(guī)則編碼，節(jié)點和連接形成網(wǎng)絡(luò)，確保知識的傳輸和意義的轉(zhuǎn)換；歸納問題解決的一般方法，比如因式分解方法，如圖4.

圖4

（三）學(xué)習(xí)方法論的意義

整理的方法，形成框架結(jié)構(gòu)，形成一以貫之的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和一以貫之的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法——體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識發(fā)展的過程.

學(xué)生探究新知過程中，形成一般的研究經(jīng)驗：基于已有知識推導(dǎo)出所學(xué)知識；基于已有方法找到新知規(guī)律；基于新知規(guī)律拓展；研究或?qū)W習(xí)什么內(nèi)容，采用怎樣的方式和探究組織形式；所學(xué)知識可以跟哪些內(nèi)容結(jié)合、應(yīng)用在什么地方，從而將新知納入已有知識體系.依照這樣的方法探究策略，學(xué)生可以自己探究新的知識，這對學(xué)生知識的學(xué)習(xí)具有方法論的意義.

四、基于評價反思的思維力發(fā)展

聯(lián)通主義交互過程中，一個重要的環(huán)節(jié)是評價.在與他人持續(xù)的評價反饋中認知和情感不斷交織，促進知識結(jié)構(gòu)的生成和思維優(yōu)化、完善.

（一）交流反饋優(yōu)化思維

交流是學(xué)生暴露自己的思維、思維相互碰撞和逐步明晰問題思路的過程.教師可以通過對參與評論、留言、發(fā)表精華帖以及學(xué)生提出的問題數(shù)等統(tǒng)計數(shù)據(jù)探查學(xué)生的參與度和興趣點，并及時對自己的教學(xué)活動進行修改，提高教學(xué)的針對性和課堂互動的有效性.

將學(xué)生優(yōu)秀作品與評價發(fā)布到平臺，供學(xué)生借鑒，取長補短；學(xué)生也可通過網(wǎng)絡(luò)平臺，通過在線提問、留言等方式，參與同學(xué)之間、師生之間的互動，聽取師生建議，使學(xué)習(xí)更有針對性.

（二）評價學(xué)習(xí)效果

（1）量化評價.教師根據(jù)學(xué)習(xí)平臺上學(xué)習(xí)行為記載情況，如在線學(xué)習(xí)時長、平時測試結(jié)果、師生互動頻率等，記入平時成績，實現(xiàn)教學(xué)過程的監(jiān)控與評價；學(xué)生針對自我的學(xué)習(xí)情況對自己的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)效果、組織協(xié)作能力給予評定；學(xué)生互評，通過群組學(xué)習(xí)討論、團隊分工合作，團隊成員之間進行互評；思維導(dǎo)圖優(yōu)秀作品的貢獻、優(yōu)秀觀點和思維角度、觀點發(fā)言的積極性和提出問題、幫助別人糾正和改進策略等情況，實現(xiàn)教學(xué)效果過程與結(jié)果的綜合評價.

（2）積極度.在教學(xué)開展過程和練習(xí)反饋中，教師首先進行診斷性和形成性評價，為學(xué)生創(chuàng)造一個寬松的氛圍，注意合理表揚、發(fā)現(xiàn)閃光點，適當(dāng)激勵.創(chuàng)設(shè)相關(guān)的情境，鼓勵學(xué)生主動分享和表達，同時關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在的問題與障礙，及時加以解決并采取相應(yīng)的干預(yù)措施.

（3）知識掌握程度.利用網(wǎng)絡(luò)平臺組織學(xué)生在規(guī)定的時間內(nèi)完成規(guī)定內(nèi)容的測試，評價學(xué)生的知識點掌握情況.適時地設(shè)置通關(guān)檢測，如同學(xué)生經(jīng)歷電子游戲的通關(guān)過程，只有答對過關(guān)之后，才能繼續(xù)下一環(huán)節(jié)，不少學(xué)生為此上癮，欲罷不能.

（4）反思和提升.學(xué)生建立內(nèi)部認知網(wǎng)絡(luò)與外部知識網(wǎng)絡(luò)之間的連接，以及實踐之間連接的過程.在個體的反思總結(jié)的基礎(chǔ)上實現(xiàn)集體反思總結(jié).

平臺提供學(xué)生對教師的授課以及網(wǎng)絡(luò)平臺答疑、管理的滿意度等總體質(zhì)量測評功能，教師可以根據(jù)測評進一步反思.

（5）學(xué)生提交自己的作品.

（三）生成問題反思跟進

教師根據(jù)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，分別推送不同的課外任務(wù)，或者建立在線題庫，學(xué)生自行調(diào)取題目練習(xí)，隨后由系統(tǒng)打分保存.教師根據(jù)每個學(xué)生數(shù)據(jù)生成知識問題清單，掌握學(xué)生的問題和薄弱環(huán)節(jié)，對學(xué)生進行一對一、一對多的幫扶策略和針對性攻破，幫助學(xué)生進行全面的知識鞏固和任務(wù)解決、獲得能力.

教師和其他學(xué)生通過作品后的“評論與回復(fù)”功能就學(xué)生所提交作品展開評價與探討，實現(xiàn)交互功能.□◢