注重知識結(jié)構(gòu) 引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)
——以《三角形中的范圍問題》為例

□龐仕林

（杭州第四中學(xué)，浙江杭州310002）

指向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課主要是優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，改善陳述性記憶系統(tǒng)效能，使知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化、簡約化，讓學(xué)生減少遺忘，加強(qiáng)知識聯(lián)系，培養(yǎng)知識遷移和轉(zhuǎn)化化歸能力，進(jìn)而在深度思考中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面以《三角形中的范圍問題》復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計為例，談一談教學(xué)過程和思考.

一、以題引入 回憶舊知

教師的課堂設(shè)計就像電影的劇本一樣，要拍出吸引人的電影，劇本一定要有吸引力.什么是“好劇本”呢？

首先，要有邏輯性，不能上下沒有任何聯(lián)系就橫空出世，這樣就容易讓觀眾（學(xué)生）云里霧里，搞不清方向.比如，本節(jié)復(fù)習(xí)課前面就是以舊知為基礎(chǔ)，通過演繹推理來解決問題，這樣的復(fù)習(xí)就不僅僅是回憶知識點，而且能對知識點加深認(rèn)識并且靈活運用.在此過程中學(xué)生明晰運算對象，選擇正確的算法，算出結(jié)果，從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

課堂開始，請學(xué)生獨立完成下面6道小題：

（3）在△ABC中，A=,B=，則C=_____________.

（4）在△ABC中，b2+c2-a2=bc,則A=_____________.

（5）在△ABC中，A=,b=1,c=2,則S△ABC=__________.

（6）如圖1，在△ABC中，a=1,A=，則△ABC外接圓的半徑R=__________.

圖1

【設(shè)計意圖】教師應(yīng)為提升學(xué)生的認(rèn)知水平而設(shè)計教學(xué).本堂課教師幫助學(xué)生預(yù)備和激活知識，用簡單題喚醒學(xué)生在本節(jié)課所用到的舊知，為學(xué)生對知識的靈活應(yīng)用鋪下臺階，從而進(jìn)入深度學(xué)習(xí).

其次，要有趣味性.進(jìn)入深度學(xué)習(xí)，問題要從情感上讓學(xué)生愿意接受，進(jìn)而有探究的欲望.本節(jié)課交代問題研究的背景，從而勾起學(xué)生研究的欲望.

師：根據(jù)圖2，請同學(xué)們對下面兩個問題進(jìn)行思考.

圖2

問題1：已知兩角一邊，三角形能否確定？

問題2：已知一邊一角，三角形能否確定？

問題背景：不定三角形.

【設(shè)計意圖】用熟悉的問題引出研究的問題，交代問題背景，引起學(xué)生探索的欲望，使學(xué)生能夠盡快進(jìn)入角色，為進(jìn)入深度學(xué)習(xí)打下情感基礎(chǔ).

最后，要有梯度，注意鋪設(shè)的臺階數(shù)和臺階的高度，這個主要取決于學(xué)生的實際水平.對于層次低一點的學(xué)生臺階數(shù)盡量多一點，臺階高度盡量低一點；對于層次高的學(xué)生，臺階數(shù)可以減少，臺階的高度也可以高一些.題目可以設(shè)置多問，讓學(xué)生一步步解決，最終解決最后一問，這樣學(xué)生能夠非常專注而且積極地投入到解決更復(fù)雜的問題中去.而深度學(xué)習(xí)向更高認(rèn)知水平邁進(jìn)，這一點在本堂課接下來例題設(shè)置的小問上能夠體現(xiàn)出來.

二、一題多解 認(rèn)識本質(zhì)

將解答例題的方法用來解決類似問題，是對學(xué)生真正理解該方法的評價標(biāo)準(zhǔn)之一，也是進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的評價標(biāo)準(zhǔn)之一.深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)內(nèi)容的有機(jī)整合，把多種知識和信息進(jìn)行聯(lián)系，通過學(xué)生的同化和順應(yīng)，與原有的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行深度融合[1].所以在課堂上，我們要將例題中學(xué)生所學(xué)到的方法，通過變式，引導(dǎo)學(xué)生深入分析出幾種不同方法進(jìn)行解答，真正理解該問題的本質(zhì)，使知識方法能夠發(fā)生遷移.例如，在本堂課中的例題先用常用的代數(shù)方法，然后再用幾何方法解釋代數(shù)方法，使其了解問題的本質(zhì)，進(jìn)而能夠進(jìn)行方法的遷移.為后面研究已知一邊及鄰邊問題，提供解決的策略.學(xué)生能夠通過例題的研究方法解決該變式問題，形成方法的遷移，進(jìn)而對該方法有深度的理解，從而對該方法能夠靈活運用.

例1如圖3，在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=,a=，

（1）求角B的取值范圍；

（2）求sinB+sinC的取值范圍；

（3）求b+c的 取 值范圍.

圖3

生1：（1）0＜B＜.

師：同學(xué)們，從上面計算過程來看，這兩邊之和取得最值時∠B的大小是多少呢？

生2：當(dāng)∠B為時取最大值，而且此時△ABC為等邊三角形，當(dāng)∠B接近0弧度時，就接近最小值.

師：這位同學(xué)回答很正確，我們借助幾何畫板，直觀來觀察一下.

（通過幾何畫板移動A點位置，觀察b+c的大小變化）

【設(shè)計意圖】要求學(xué)生深度學(xué)習(xí)，題目設(shè)置必須是促進(jìn)式的、層次性的、階梯式的.這道例題設(shè)置了3問，層層相扣，前一問為后一問搭橋，難度層層遞進(jìn)，由簡單到復(fù)雜.這道例題除了用代數(shù)的方法解之外，還要求用幾何的方法求解，利用幾何畫板演示，通過展示發(fā)現(xiàn)A點運動到BC弧的中點時達(dá)到最大，從而直觀地解釋代數(shù)方法，揭示問題的本質(zhì)，為知識遷移打下基礎(chǔ).

例2如 圖4，在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,,則△ABC面積的最大值是________.

圖4

生3：BC邊不變，當(dāng)A點到BC邊上的距離達(dá)到最大值時面積最大，且A在半徑固定的外接圓上運動，面積達(dá)到最大值時△ABC恰好為等邊三角形，

變式在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,AB=,C=,求△ABC面積的最大值（如圖5）.

圖5

生4：由畫圖可知，當(dāng)C點在圓上轉(zhuǎn)到離AB距離最大時面積達(dá)到最大，此時AB=AC，高h(yuǎn)就為C到AB的距離，所以Smax=|AB|h=.

【設(shè)計意圖】通過對問題本質(zhì)的認(rèn)識，將上題的求周長問題改為求面積問題，讓學(xué)生進(jìn)入一個看似新的環(huán)境，促使學(xué)生對內(nèi)容的有機(jī)整合，讓知識之間建立聯(lián)系，以達(dá)到記憶深刻及能夠遷移應(yīng)用.變式將角度變?yōu)殁g角，通過改變一個小條件，檢測學(xué)生對上述方法的掌握，從而達(dá)到靈活運用幾何方法的目的.必要時還可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解，使之達(dá)到拓展水平.

三、問題拓展 知識遷移

授魚還是授漁，數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁[2].所以我們要授之以漁，就必須滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生領(lǐng)悟，進(jìn)而能夠達(dá)到融會貫通，舉一反三之功效，這是進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的前提條件.筆者在本節(jié)課中，有意識地滲透數(shù)學(xué)思想方法，在例題中用圖形來解釋代數(shù)問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.另外在解決問題的過程中，將不熟悉問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，這又體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.正是有了這些思想方法的滲透，才使得知識遷移成為可能.

例3如圖6，在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,B=,c=1,

圖6

（1）求角C的取值范圍；

（3）求△ABC面積的取值范圍.

生6：第（3）問，S=a，當(dāng)越接近C角的最小值時，a邊會越大.當(dāng)越接近C角的最大值時，a邊會越小，所以面積的取值范圍為(,).

【設(shè)計意圖】將問題條件由已知邊及其對角遷移到已知一邊及其鄰角，求面積的最大值.學(xué)生通過前面的鋪墊，已經(jīng)具備解決該問題的方法，學(xué)生要解決這個新的問題需要將前面的知識和方法遷移過來，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，從而達(dá)到深度學(xué)習(xí)的最高認(rèn)知水平.

四、總結(jié)提升 優(yōu)化建構(gòu)

深度學(xué)習(xí)著重學(xué)習(xí)過程的反思.所以一堂完整的課，總結(jié)是必不可少的.通過總結(jié)，可以使自身的知識建構(gòu)得以圓滿.

師：請同學(xué)們對本堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容及解決問題策略進(jìn)行總結(jié).

生7：這節(jié)課主要針對的是三角形中的范圍問題，并用幾何法和代數(shù)法兩種方法，從中我領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合的解題策略和轉(zhuǎn)化與化歸的解題策略.

【設(shè)計意圖】通過總結(jié)加深對方法的理解，同時也引導(dǎo)學(xué)生對知識建構(gòu)反思，從而養(yǎng)成反思、調(diào)整、改造的良好習(xí)慣.

本堂課教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計中的各板塊聯(lián)系緊密，先喚起本堂課所用到的舊知，再交代研究問題的背景，然后再對常見的定外接圓求角和邊的范圍問題求解，最后過渡到已知一角及鄰邊的不熟悉問題求解，實現(xiàn)知識的遷移.學(xué)生從熟悉問題向不熟悉問題探索，思維也逐步向高階思維發(fā)展.發(fā)展學(xué)生的高階思維，有助于實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).同樣，深度學(xué)習(xí)也有助于高階思維的發(fā)展.另外，教學(xué)提倡深度學(xué)習(xí)，要深挖教材內(nèi)容的內(nèi)涵，找出知識間的聯(lián)系以及包含的數(shù)學(xué)思想方法，而且還需要根據(jù)學(xué)生的實際情況來安排內(nèi)容.□◢