明確三條主線，攻克高考復(fù)數(shù)

■廣東省梅縣東山中學(xué) 鐘國城

復(fù)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，其在高考數(shù)學(xué)試題中主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度為基礎(chǔ)或中等，主要考查基本概念和運(yùn)算，考查同學(xué)們對數(shù)學(xué)知識的理解與運(yùn)算求解能力。高考數(shù)學(xué)對復(fù)數(shù)的考核要求是：理解復(fù)數(shù)的基本概念；了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義；會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算。因此，復(fù)數(shù)主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算等內(nèi)容。

一、明確三條主線

1.考查復(fù)數(shù)的基本概念

這部分內(nèi)容主要考查復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)相等及共軛復(fù)數(shù)等相關(guān)知識，試題常常與復(fù)數(shù)的運(yùn)算相結(jié)合，一般屬于基礎(chǔ)題范疇。

例 1（2020年武漢質(zhì)量檢測）已知復(fù)數(shù)z=（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則a=（ ）。

解析：由題可得，z=（1+2i）（1+ai）=1+ai+2i+2ai2=1-2a+（a+2）i，則a+2=0，即a=-2。故選D。

例 2（2020年廈門質(zhì)量檢測）若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

解析：由題可得=0，即a=2。故選D。

評注：上面兩個題目均以復(fù)數(shù)的分類為背景，考查復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算法則，難度不大，求解方法也比較常規(guī)。事實(shí)上，對于復(fù)數(shù)的分類有如下兩個結(jié)論：①（a+bi）（c+di）為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)?ad+bc=0；②（a+bi）（c+di）為純虛數(shù)為純虛數(shù)?ac-bd=0。利用上述兩個結(jié)論，可以快速得到答案，如例1，根據(jù)結(jié)論①，得a+2=0，即a=-2；例2，根據(jù)結(jié)論②，得a-2=0，即a=2。

例 3（2020年河南6月大聯(lián)考）已知復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=1-i，若3-2i=mz1+nz2（m，n∈R），則mn=（ ）。

解析：由題可得，mz1+nz2=m（1+i）+n（1-i）=m+n+（m-n）i=3-2i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得故選D。

評注：此題考查復(fù)數(shù)相等的充要條件與運(yùn)算法則，需要注意的是復(fù)數(shù)雖不能比較大小，但可以相等，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別相等。

例 4（2020年福州質(zhì)量檢測）若z=1+i，則=（ ）。

A.0 B.2 C.2i D.-2i

解析：由題可得，故選D。

評注：此題考查共軛復(fù)數(shù)與運(yùn)算法則，兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)即兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等、虛部互為相反數(shù)。事實(shí)上，兩個互為共軛復(fù)數(shù)有這樣一個性質(zhì)對于此題，可利用此性質(zhì)進(jìn)行求解。

2.考查復(fù)數(shù)的幾何意義

這部分內(nèi)容主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點(diǎn)或向量表示，復(fù)平面上的點(diǎn)或向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)可用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示，復(fù)數(shù)的模等相關(guān)知識，試題以基礎(chǔ)題或中等題為主。

例 5（2020年貴陽一模）復(fù)數(shù)z=（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：由題可得2+i，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為（2，1），即在第一象限。故選A。

例 6（2020年北京卷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2），則i·z=（ ）。

A.1+2i B.-2+i

C.1-2i D.-2-i

解析：由題可得，z=1+2i，則i·z=i（1+2i）=-2+i。故選B。

評注：上述兩題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，即代數(shù)形式的復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系。對于例5，也可以利用結(jié)論（1±i）2=±2i進(jìn)行求解。另解：根據(jù)上述結(jié)論，得=2+i，易得答案為A。

3.考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算

這部分內(nèi)容主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除四則運(yùn)算及加法、減法的幾何意義等相關(guān)知識，屬于簡單題。

例 7（2020年洛陽二測）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1-i）=2，其中i為虛數(shù)單位，則z-1=（ ）。

A.i B.-i

C.1+i D.1-i

解析：由題可得所以z-1=i。故選A。

評注：此題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查同學(xué)們的計算能力。復(fù)數(shù)的除法法則類似于分母有理化運(yùn)算，其實(shí)就是利用性質(zhì)將分母中的復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，可以稱之為“分母實(shí)數(shù)化”。另外，此題也可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件及結(jié)論（1+i）（1-i）=2進(jìn)行求解。另解一：設(shè)z=a+bi，a，b∈R，則z（1+i）=（a+bi）（1-i）=a+b+（b-a）i=2，所以故z=1+i，所以z-1=i。另解二：根據(jù)結(jié)論（1+i）（1-i）=2，得z（1-i）=2=（1+i）（1-i），則z=1+i，所以z-1=i。

二、攻克高考復(fù)數(shù)

1.回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)

復(fù)數(shù)是基礎(chǔ)內(nèi)容，考查形式穩(wěn)定，因此，在復(fù)習(xí)時，同學(xué)們需認(rèn)真回歸教材，以上述三條主線為指導(dǎo)，從整體上認(rèn)識相關(guān)知識，把握重點(diǎn)內(nèi)容，掌握教材中出現(xiàn)的例題、習(xí)題，達(dá)到融會貫通。

2.重視概念，小題小做（或巧做）

數(shù)學(xué)是玩概念的，復(fù)數(shù)更是如此，在復(fù)習(xí)時，圍繞上述三條主線，學(xué)會表達(dá)，學(xué)會說題，做到能夠陳述并理解重要的概念。復(fù)數(shù)均以小題出現(xiàn)，且難度較小，因此，更要強(qiáng)化利用概念指導(dǎo)解題的意識，重視相關(guān)結(jié)論與性質(zhì)的應(yīng)用，做到小題小做，甚至是巧做。

3.活用思想，靈活解題

在復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化對問題的分析，學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，優(yōu)化解題思路，例如，復(fù)數(shù)的加法、減法與乘法運(yùn)算類似于多項式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算類似于分母有理化（其實(shí)可以稱為“分母實(shí)數(shù)化”），做到減少出錯的可能，提升分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力，達(dá)到靈活解題的目的。