2020年全國(guó)Ⅲ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題解法研究

欒功

[摘 要]利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是歷年高考數(shù)學(xué)壓軸題的考查熱點(diǎn)，重點(diǎn)研究2020年全國(guó)Ⅲ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法，以給教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)提供借鑒與幫助.

[關(guān)鍵詞]全國(guó)Ⅲ卷;導(dǎo)數(shù)壓軸題;解法研究

[中圖分類號(hào)] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058（2020）32-0001-04

一、 試題呈現(xiàn)

題目：（2020年全國(guó)Ⅲ卷21）設(shè)函數(shù)[fx=x3+bx+c]，曲線[y=fx]在點(diǎn)[12， f12]處的切線與[y]軸垂直.

（1）求[b];（2）若[fx]有一個(gè)絕對(duì)值不大于[1]的零點(diǎn)，證明：[fx]所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于[1].

二、 試題分析

試題嚴(yán)格依據(jù)中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系命制，全面考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，及邏輯推理能力、分析與解決問(wèn)題能力、運(yùn)算求解能力等.從高考評(píng)價(jià)體系的“四翼”來(lái)講，第（1）問(wèn)的命制立足于基礎(chǔ)性，給出定點(diǎn)處的切線求[b]的值，設(shè)問(wèn)方式常見(jiàn)，在教材習(xí)題和歷年高考試題中都有體現(xiàn). 第（2）問(wèn)的命制體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，以基本概念零點(diǎn)為問(wèn)題情境綜合考查考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，設(shè)問(wèn)較以往有新意，打破了刷題的怪圈.該問(wèn)的解決需要綜合利用函數(shù)的特征和函數(shù)的單調(diào)性，從多角度考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，對(duì)考生的邏輯推理能力、分析與解決問(wèn)題的能力都提出了較高的要求.

三、 解法探究

評(píng)注：解法9從不完全三次方程[x3+px+q=0]的判別式入手，結(jié)合卡爾丹公式及三次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題，在判斷三次方程根的個(gè)數(shù)時(shí)有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，但在根的求解和范圍探究時(shí)對(duì)考生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求都較高.

試題逐步設(shè)問(wèn)，由淺入深，尤其是第（2）問(wèn)的考查層次分明，重點(diǎn)突出，為不同層次的學(xué)生提供了廣闊的思維空間，使學(xué)生理性思維的廣度和深度得以展示.教師在高三備考中深入研究真題的多種解法，有利于進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和思維能力.

（責(zé)任編輯 黃春香）