探析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾何圖形建模

黃玉芳

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一便是幾何，它同時(shí)也是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分.學(xué)生在遇到很多種習(xí)題的時(shí)候都可以通過構(gòu)建圖形建模來幫助其實(shí)現(xiàn)知識(shí)的多元化認(rèn)知，從而順利找到破解之法，這對(duì)于初中教學(xué)具有特別重要的價(jià)值.本文將通過對(duì)初中數(shù)學(xué)幾何圖形建模的探析，對(duì)怎樣設(shè)計(jì)建模，建模以后又應(yīng)該怎么樣去培養(yǎng)學(xué)生建?；乃季S和數(shù)學(xué)思想進(jìn)行簡單分析.期望這對(duì)初中教學(xué)具有一定的幫助，盡量提高初中教學(xué)的質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】圖形建模;思維能力;數(shù)學(xué)思想

圖形建模就是指建立幾何圖形模型的整個(gè)過程，這其中包括對(duì)真實(shí)原型進(jìn)行提煉、抽象、簡單化，以及確立、檢驗(yàn)、解釋、應(yīng)用、向外拓展的過程.幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，是不能夠缺少的.而它里面的內(nèi)容都是在生活中尋找的各種原型，然后把這些實(shí)際物體的精髓從中剝離出來，這才有了教學(xué)內(nèi)容中的各種圖形.這些圖形可以幫助學(xué)生充分認(rèn)識(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)，在此方面它發(fā)揮了極為重要的作用.同時(shí)，它還具有很大的科研學(xué)習(xí)功能，可以鍛煉學(xué)生的空間想象能力以及在平時(shí)生活中的應(yīng)用能力，這對(duì)于學(xué)生的成長具有特別重要的價(jià)值.

一、把握?qǐng)D形建模之“形”

圖形建模并不歸屬于“張揚(yáng)”類型.對(duì)此，教師需要把握住它的特點(diǎn)，仔仔細(xì)細(xì)地研究教材的每一個(gè)字，而研究的范圍并不是指本節(jié)課需要講的內(nèi)容，還需要認(rèn)真研究與它有關(guān)的一切內(nèi)容，深度挖掘需要研討問題以外的知識(shí)，深度研究知識(shí)內(nèi)層的聯(lián)系.然后，在此基礎(chǔ)之上，教師在學(xué)生腦海里已經(jīng)存在的認(rèn)識(shí)體系的基礎(chǔ)之上幫助他們進(jìn)行新的知識(shí)體系的設(shè)計(jì)和建設(shè)，讓各種知識(shí)鏈條不斷向四周擴(kuò)散、延伸，從而建立起更為豐富、成熟的知識(shí)體系，把握住數(shù)學(xué)圖形建模的“形”，這是教學(xué)的關(guān)鍵之處.

1.做好建模之前的一系列準(zhǔn)備工作

圖1建模的準(zhǔn)備工作在整個(gè)建模的建設(shè)過程中起著至關(guān)重要的作用.在這個(gè)過程中，我們可以適當(dāng)加入情境和問題環(huán)節(jié)，通過這幾個(gè)環(huán)節(jié)來請(qǐng)出今天的“主角”，讓學(xué)生從中獲得一些問題.比如，在解決以下問題時(shí)，學(xué)生會(huì)認(rèn)為沒學(xué)過相關(guān)知識(shí)，不知道怎么去尋找整個(gè)問題的突破口.例如：如圖1，已知正方形 ABCD的邊長為 4，點(diǎn) E 為 BC 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) P 為對(duì)角線 AC 上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB 的最小值為.

在解決這個(gè)問題的過程中，學(xué)生要突破“怎樣才算最小”“模型建構(gòu)的依據(jù)”“為什么最小”等思維障礙，并在充分直觀感知、分拆重組和操作的基礎(chǔ)上通過觀察、歸納、類比產(chǎn)生模型特征的猜想，然后對(duì)產(chǎn)生的模型進(jìn)行合乎邏輯的理性思考與檢驗(yàn)，對(duì)模型進(jìn)行修改，最終建立模型.

此時(shí)，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀題目，然后把握住題目當(dāng)中所給的各種有效信息，從這些有效信息當(dāng)中尋找到突破點(diǎn).在模型的準(zhǔn)備階段，教師應(yīng)該盡量減輕難度，為學(xué)生提供比較完整的信息鏈條，從而幫助學(xué)生能夠?qū)W會(huì)怎樣去建模.

2.建模的建設(shè)與檢驗(yàn)

在這個(gè)重要的過程里面，教師必須讓學(xué)生充分應(yīng)用以前學(xué)習(xí)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，然后再引導(dǎo)他們進(jìn)行建設(shè)的整個(gè)過程，其中包括實(shí)際操作、懷疑、交流并說出自己的想法、檢驗(yàn)想法.以上面的問題為例，教師可以引入問題：如圖2，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.問：牧馬人到河邊什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

此時(shí)，學(xué)生可以輕松、簡單地發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵點(diǎn)（圖3）.在已知直線上尋找與同側(cè)兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，方法是對(duì)其中一個(gè)點(diǎn)作軸對(duì)稱變換，把同側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)點(diǎn)，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最值，這可歸結(jié)為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離之和的最小值”的問題的數(shù)學(xué)模型.

教師要讓學(xué)生知道在遇到不知道該怎么辦的難題時(shí)，可以通過這種辦法，把原本比較復(fù)雜的圖形，變成自己所熟悉的圖形.

3.圖形建模的求解與確立

初中學(xué)習(xí)階段的學(xué)生需要學(xué)會(huì)分析題目、比較與之前所遇到的問題的差別、概括出這類問題的解決辦法等方面的技能，從而幫助自己能夠更快更好地建設(shè)出正確的建模，獲得最終的答案，進(jìn)一步將這些知識(shí)內(nèi)化成屬于自己的知識(shí).比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)了“最短路徑問題”知識(shí)以后，教師可以適當(dāng)提出一些相關(guān)的問題，讓學(xué)生把這些問題當(dāng)成課后題來完成.例如：如圖4，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點(diǎn)，且AE=3，點(diǎn)Q為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則△BEQ周長的最小值為.

教師可以引導(dǎo)學(xué)生將題目中的條件與實(shí)際建設(shè)出來的圖形進(jìn)行對(duì)比和分析，讓他們按照多方面的想法進(jìn)行思考，然后讓他們對(duì)自己提出的想法進(jìn)行檢驗(yàn)，最后尋找到這道題的真實(shí)答案.這種一步一個(gè)腳印的方法可以很好地達(dá)到建設(shè)建模的目的，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解建模的核心所在.這里要求△BEQ周長的最小值，由于EB是定值（為1），其實(shí)質(zhì)就是求EQ+BQ值的最小值，這時(shí)就又把問題轉(zhuǎn)化為前面的飲馬問題了.（圖5）因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，所以DE的長即為EQ+BQ的最小值，利用勾股定理就可以算出其值為5，進(jìn)而求得△BEQ周長的最小值為6.

二、領(lǐng)會(huì)圖形建模之“神”

教師授課的最終目的是讓學(xué)生學(xué)到知識(shí)，完善他們的素養(yǎng)，從而幫助他們更好的發(fā)展.在圖形建模的學(xué)習(xí)當(dāng)中，教師不應(yīng)該只是讓學(xué)生學(xué)習(xí)建模的內(nèi)層體系，最主要的還是通過這種方法來達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的建模式的思維方式，從而更好地進(jìn)行學(xué)習(xí)方面的研究，培養(yǎng)學(xué)生的思考能力和數(shù)學(xué)化的思維能力.

1.展開有圖形建模的思維

要想讓學(xué)生學(xué)會(huì)怎樣利用這種思維去思考問題，就必須要讓他們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)生活中受到教師的熏陶，這個(gè)過程是無形的，是悄悄進(jìn)行的.對(duì)此，教師可以通過為學(xué)生設(shè)計(jì)建?；闹v課方式來幫助他們更好地形成這種體系，培養(yǎng)他們?cè)诶硇苑矫娴哪芰?

教師在教授“最短路徑問題”相關(guān)的內(nèi)容時(shí)，可以充分發(fā)揮建模化的教學(xué)方法.在孩子們充分理解軸對(duì)稱，兩點(diǎn)之間線段最短有關(guān)知識(shí)以后，教師可以在黑板上畫出如圖6所示圖形，然后再在直線l上任意選擇一點(diǎn)P，連接PA和PB.然后，教師可以問學(xué)生：這時(shí)PA和PB的和一定最小嗎？如果你覺得不是，那么你該如何找出點(diǎn)P呢？如果你覺得是，那你又有什么證據(jù)呢？你又該如何操作證明呢？可以讓學(xué)生自己嘗試著去畫一畫，找一找，并且肯定有的學(xué)生能夠畫出來，而有的學(xué)生無從下筆，此時(shí)，教師可以讓他們進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)交流，會(huì)的學(xué)生把自己的想法以及操作流程講述給不會(huì)的學(xué)生，這樣既能夠增加他們對(duì)此的理解能力，還可以增進(jìn)彼此的友誼.在會(huì)的學(xué)生講完以后，其他學(xué)生可以質(zhì)疑他的方法，提出自己的疑惑：為什么這樣做以后，點(diǎn)P就是我們要找的點(diǎn)呢？怎么樣才能盡可能減少操作過程中的失誤呢？在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)遇到很多種畫法，他們可以對(duì)這些畫法進(jìn)行比較分析，然后選出自己心中心儀的那個(gè)方案.對(duì)此，教師可以向他們提問：你是怎么思考的？應(yīng)用了我們以前學(xué)過的哪些知識(shí)點(diǎn)？其實(shí)，簡單的畫圖并沒有太大的說服力，這個(gè)時(shí)候需要依靠他們之前學(xué)過的知識(shí)體系，回答教師的問題.學(xué)生可以通過自己畫的圖，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)來解釋和分析作圖的依據(jù)，或者還可以利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊來解釋這樣作圖找出的P點(diǎn)使得PA和PB的和一定最小.經(jīng)過這樣別開生面、與眾不同的學(xué)習(xí)過程，相信他們一定會(huì)印象深刻，在其中所學(xué)到的知識(shí)也更加不容易忘記.在以后碰到別的應(yīng)用題的時(shí)候，他們?cè)僖膊粫?huì)糾結(jié)這個(gè)問題，而是直接跳到下一步.他們做題的速度與準(zhǔn)確度都會(huì)有一個(gè)很好的提升.最為關(guān)鍵的一點(diǎn)是他們?cè)谝院笥龅较囝愃频膯栴}時(shí)，一定能夠快速而準(zhǔn)確地設(shè)計(jì)出圖形建模.

2.領(lǐng)悟圖形建模蘊(yùn)藏的思想方法

建模主要是依靠腦海中的想象所構(gòu)建出來的，簡單來說就是理解的過程.學(xué)生在設(shè)計(jì)建模的時(shí)候，教師應(yīng)該主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)建模再進(jìn)一步地向外延伸和拓展，制造出新的建模，通過這種方法來達(dá)到培養(yǎng)他們思維能力的目的.必要的時(shí)候，教師可以讓他們?nèi)ピO(shè)計(jì)一些建模，時(shí)間一長，他們的思維能力也會(huì)有很大的提高，數(shù)學(xué)思想自然而然也會(huì)跟著有所提高.這對(duì)于他們未來的發(fā)展都是很有好處的.因此，教師一定要特別重視這方面的訓(xùn)練力度.

三、總結(jié)反思

我覺得我們需要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)反思：

1.要在課本例題以及課后習(xí)題上面用心

如果一個(gè)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)毫無興趣，那么，他在學(xué)習(xí)的過程中也不會(huì)感覺到快樂，甚至還會(huì)把這項(xiàng)工作視為在接受折磨.我們可以利用基本圖形的建模，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和分辨這些圖形，猜想遇到這樣的基本條件，有哪些圖形是能夠滿足它們的，從細(xì)節(jié)部位慢慢地向深層次靠近，并訓(xùn)練他們能夠保持清晰的頭腦來分辨推理圖形，這個(gè)過程完全符合學(xué)生的興趣喜好，就像他們特別喜歡看《名偵探柯南》一樣.學(xué)生天生就對(duì)推理的事情比較感興趣，因此，他們會(huì)覺得這個(gè)過程是特別有趣的，自然而然也不會(huì)反感這類訓(xùn)練.我們可以通過對(duì)書上例題進(jìn)行解析，對(duì)課后習(xí)題的處理找尋其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)一步鞏固學(xué)生所學(xué)的知識(shí)理論，加強(qiáng)對(duì)基本教學(xué)以及技能的訓(xùn)練.我們必須要對(duì)教材里出現(xiàn)過的例題以及習(xí)題進(jìn)行更高層次的利用和剖析，通過一題多種變化形式、一題多種解答方法、多種類型的題同一種解法去挖掘出規(guī)律，鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)參與到探尋之中，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，從而培養(yǎng)其使用所學(xué)知識(shí)去解決問題的能力.

2.要全面深入地了解學(xué)生

學(xué)生一直都是學(xué)習(xí)工作的主角，任何教師都無法代替他們?nèi)W(xué)習(xí)知識(shí).因此，教師必須要充分了解和掌握他們的學(xué)習(xí)情況，發(fā)現(xiàn)他們?cè)趯W(xué)習(xí)中存在的最大問題，還要時(shí)刻關(guān)注他們的行為舉止以及思想表現(xiàn)情況，同時(shí)也要了解他們知識(shí)儲(chǔ)備的情況.對(duì)此，教師可通過學(xué)生做題、回答問題來了解和掌握他們的思維動(dòng)向、思維靈活以及思考的全面究竟處于一個(gè)怎樣的水平.學(xué)生通過平面圖形的學(xué)習(xí)，可以幫助他們構(gòu)建出圖與形之間的關(guān)聯(lián)，創(chuàng)建出符合基本圖形的建模，從中挖掘出問題的最佳解法，在這個(gè)過程中還能夠很好地培養(yǎng)他們的幾何圖形直觀感受力以及空間想象能力，幫助他們?cè)谟龅綀D形題的時(shí)候，能夠馬上意識(shí)到自己需要根據(jù)這道題所提供的信息設(shè)計(jì)一個(gè)建模，通過運(yùn)用圖形與空間想象能力去分析問題，然后從中探索到解決問題的方法.

四、結(jié)語

在初中學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生必須通過建模這種方式的訓(xùn)練，教師也需要適時(shí)地引導(dǎo)他們從“形似”到最終的“神似”.這樣不僅可以幫助學(xué)生學(xué)到更多的知識(shí)，還能夠間接培養(yǎng)他們的思維能力與數(shù)學(xué)邏輯能力.這對(duì)他們都是一筆不小的財(cái)富.教師對(duì)此一定要把握好力度.

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