淺談從一元微積分到多元微積分的過(guò)渡

楊衛(wèi)星

【摘要】眾所周知，高等數(shù)學(xué)的主體部分是微積分學(xué)，包括一元微積分學(xué)和多元微積分學(xué)，其中多元微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文介紹了從一元微積分向多元微積分過(guò)渡的類(lèi)比法、化繁為簡(jiǎn)法、找不同法、數(shù)形結(jié)合法和整合法.以上方法可以幫助學(xué)生較輕松地完成多元函數(shù)微積分學(xué)的學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);一元微積分;多元微積分

【基金項(xiàng)目】本文得到了北京化工大學(xué)理學(xué)院2019年本科教育教學(xué)改革專(zhuān)項(xiàng)研究項(xiàng)目的資助.

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

高等數(shù)學(xué)是理工科院校的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，各個(gè)院?；旧隙荚诖笠簧舷聝蓚€(gè)學(xué)期開(kāi)設(shè)高等數(shù)學(xué)課程，它的學(xué)時(shí)基本上在80到120不等.它是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)階段接觸的第一門(mén)重要課程，也是學(xué)生普遍認(rèn)為較難掌握的課程.

高等數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容是微積分學(xué)，包括一元微積分學(xué)和多元微積分學(xué).其中一元微積分學(xué)主要講授一元函數(shù)的極限和連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理、微分的應(yīng)用、不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用.多元微積分學(xué)主要講授多元求導(dǎo)法則、多元微分的應(yīng)用、二重積分、三重積分、重積分的應(yīng)用、曲線(xiàn)積分、曲面積分等內(nèi)容.對(duì)于一元微積分學(xué)，因?yàn)閷W(xué)生有高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以他們相對(duì)好理解它.但是，等到學(xué)習(xí)多元微積分學(xué)時(shí)，多數(shù)學(xué)生會(huì)覺(jué)得很抽象，不好理解，不好掌握.這是因?yàn)閺囊辉瘮?shù)到多元函數(shù)，空間結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，函數(shù)自變量的變化范圍由一維空間擴(kuò)展到了n維空間，所有的問(wèn)題變得復(fù)雜了很多，研究問(wèn)題的思維方式也變得復(fù)雜了，所有熟悉的結(jié)論和性質(zhì)都得經(jīng)受挑戰(zhàn)，一元微積分學(xué)中已經(jīng)被大家接受的定理和結(jié)論，在多元微積分學(xué)中，多數(shù)不再成立.

筆者多年從事高等數(shù)學(xué)一線(xiàn)教學(xué)工作，一直在思考高等數(shù)學(xué)改革的方向和道路.他對(duì)于如何從一元上升到多元，有很深的體會(huì)和理解.他經(jīng)過(guò)多年的嘗試，總結(jié)和摸索出了一些經(jīng)驗(yàn)和方法，這些經(jīng)驗(yàn)和方法可以幫助學(xué)生順利完成從一元微積分到多元微積分的過(guò)渡.

二、一元微積分到多元微積分的過(guò)渡方法

（一）類(lèi)比法

在講授多元微積分學(xué)時(shí)，筆者始終以一元微積分為主線(xiàn)和基礎(chǔ)，將其和多元進(jìn)行對(duì)比和分析，抓住本質(zhì)上相同的一面，講清楚不同的一面，使學(xué)生很自然地把多元看成一元的延伸和推廣，降低學(xué)習(xí)新知識(shí)的難度.每講到一個(gè)新的概念和知識(shí)點(diǎn)，筆者都會(huì)帶著學(xué)生先把一元微積分中相對(duì)應(yīng)的概念復(fù)習(xí)一下，看看從一元推廣到多元，是怎樣的思路，哪些是保持不變的部分，哪些是產(chǎn)生變化的部分，產(chǎn)生變化的原因是什么.這樣可以引領(lǐng)學(xué)生真正學(xué)懂和理解知識(shí)，而不是死記硬背一些公式和定理.

比如，在講解多元函數(shù)求極值時(shí)，筆者會(huì)跟學(xué)生一起回顧一元函數(shù)極值的相關(guān)內(nèi)容，包括極值的定義、極值的必要條件、必要條件的幾何解釋、極值的充分條件，然后再引導(dǎo)學(xué)生得出二元函數(shù)中的上述內(nèi)容.很自然地，學(xué)生總結(jié)出一元和多元中，極值的定義是相同的，極值的必要條件是類(lèi)似的，極值的幾何意義是差不多的，但極值的充分條件在多元函數(shù)中復(fù)雜了很多.學(xué)生先用類(lèi)比法把極值的概念從一元推廣到二元，二元函數(shù)的極值必要條件和充分條件掌握好之后，他們就可以很輕松地把相關(guān)知識(shí)點(diǎn)推廣到三元及以上，從而很輕松地完成這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí).

再比如，講解二重積分的定義和性質(zhì)這一節(jié)時(shí)，先回顧定積分的定義和性質(zhì).學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)從定積分到二重積分，只是積分區(qū)域發(fā)生了變化，從一維的區(qū)間推廣到了平面區(qū)域.積分的實(shí)質(zhì)是一樣的，定義方法也是一樣的，都是分割、代替、近似和、求極限這四步.二重積分的性質(zhì)和定積分的性質(zhì)幾乎也是一樣的，學(xué)生可以自己寫(xiě)出二重積分的所有性質(zhì)，包括線(xiàn)性性質(zhì)、區(qū)域可加性、不等式性質(zhì)、絕對(duì)可積性、估值不等式以及積分中值定理等.

學(xué)生理解了從定積分向二重積分的推廣之后，他們?cè)诮處熤v到三重積分以及曲線(xiàn)積分和曲面積分時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)所有積分之間的類(lèi)比關(guān)系，所有的積分定義方式都是一樣的，都是積分定義的四步走，積分的性質(zhì)也是類(lèi)似的.這樣，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，雖然越往后知識(shí)越難，但是運(yùn)用了類(lèi)比法，就會(huì)越學(xué)越輕松.

在講到積分的物理應(yīng)用時(shí)，也要經(jīng)常使用類(lèi)比法.比如求質(zhì)量這個(gè)話(huà)題，可以貫穿整個(gè)積分學(xué).如果物體所占區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，求質(zhì)量要用二重積分計(jì)算;如果物體所占區(qū)域?yàn)榭臻g區(qū)域，求質(zhì)量要用三重積分計(jì)算;如果物體所占區(qū)域?yàn)榭臻g弧段或者平面弧段，求質(zhì)量要用第一類(lèi)曲線(xiàn)積分計(jì)算;如果物體所占區(qū)域?yàn)榭臻g曲面，求質(zhì)量要用第一類(lèi)曲面積分計(jì)算.類(lèi)似的講法還有求質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及求引力.

學(xué)生學(xué)習(xí)到重積分和曲線(xiàn)積分以及曲面積分時(shí)，普遍感覺(jué)到吃力和困難，因?yàn)檫@部分內(nèi)容不僅理論知識(shí)深?yuàn)W難懂，計(jì)算量又偏大，還需要學(xué)生有一定的空間想象能力.現(xiàn)在的學(xué)時(shí)很緊張，學(xué)生基本上一節(jié)課要學(xué)習(xí)一種新的積分，包括這種積分的引例、概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用，這樣會(huì)讓學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)難上加難.老師只有合理應(yīng)用類(lèi)比法，順應(yīng)學(xué)生的理解能力，讓學(xué)生從定積分出發(fā)去理解多重積分，才能幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)中的困難和心理上的恐懼，順利完成多元函數(shù)積分學(xué)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí).

在教師這樣講授一段時(shí)間后，學(xué)生的思維和學(xué)習(xí)習(xí)慣得到了很大的訓(xùn)練.在高數(shù)下冊(cè)的后期，筆者會(huì)找一些知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生自己完成上面表1中的導(dǎo)圖，使學(xué)生自主地完成從一元到多元的過(guò)渡分析，讓學(xué)生自己試著寫(xiě)出新的概念和相應(yīng)的定理、結(jié)論.當(dāng)學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)自己可以推導(dǎo)出書(shū)本上高高在上的定理時(shí)，他們就會(huì)收獲很強(qiáng)的學(xué)習(xí)自信心.這種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維訓(xùn)練會(huì)讓學(xué)生受益終身，比背幾個(gè)公式、解幾個(gè)題目重要得多.

現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材雖然普遍分上下兩冊(cè)進(jìn)行，但是上下冊(cè)從知識(shí)體系到理論框架都高度統(tǒng)一，因此類(lèi)比法是一種非常好的學(xué)習(xí)多元微積分的方法.

（二）化繁為簡(jiǎn)

教師在講解多元函數(shù)微積分學(xué)時(shí)，如果直接講最抽象的n元函數(shù)的情形，學(xué)生會(huì)直接蒙圈，完全不能理解.所以筆者每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是先從二元函數(shù)入手，因?yàn)閺囊辉蕉琴|(zhì)變的過(guò)程，二元到多元是量變的過(guò)程，只要能順利地把知識(shí)點(diǎn)從一元推廣到二元，就是最關(guān)鍵的突破，也是問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在.學(xué)生只要經(jīng)歷了從一元到二元的突破，就可以很輕松地把二元的知識(shí)推廣到多元，從而順利地得到n元函數(shù)的相關(guān)結(jié)論.

比如教師在講多元函數(shù)極限的概念時(shí)，如果直接寫(xiě)n重極限的定義，學(xué)生根本聽(tīng)不懂.筆者會(huì)先介紹點(diǎn)函數(shù)的概念，即把n元函數(shù)統(tǒng)一寫(xiě)成f（P）的形式，這樣n元函數(shù)就很神奇地化為一元函數(shù)了！這種寫(xiě)法的好處就是可以直接把一元函數(shù)的定義搬來(lái)使用，輕松得到n重極限的定義.小小的一個(gè)工作，對(duì)于學(xué)生理解抽象的概念卻是個(gè)大大的幫助.學(xué)生會(huì)感到多元函數(shù)的極限定義與一元函數(shù)的極限定義在形式上是一樣的，只要把相應(yīng)的鄰域描述改變一下，并沒(méi)有什么難學(xué)之處.

再比如教師在講解多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，如果死板教條，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這一節(jié)有太多的情況和類(lèi)型，有太多的定理和結(jié)論.函數(shù)關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，尤其是多元函數(shù)再加復(fù)合函數(shù)，更讓學(xué)生摸不著頭腦.教師在講解這部分內(nèi)容時(shí)，要從最簡(jiǎn)單的情況入手去分析，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析函數(shù)關(guān)系，并且畫(huà)出變量關(guān)系圖.學(xué)生只要抓住了變量之間的關(guān)系，就可以順著關(guān)系圖利用鏈?zhǔn)椒▌t去求導(dǎo)，而不用非得對(duì)號(hào)入座去找相應(yīng)的定理.學(xué)生掌握了化繁為簡(jiǎn)法，就可以較為輕松地面對(duì)復(fù)雜的復(fù)合求導(dǎo)問(wèn)題了.

這種方法符合學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和人類(lèi)的思維習(xí)慣，越是難理解的知識(shí)，教師就越得用最簡(jiǎn)單的方法給學(xué)生講解，只有化繁為簡(jiǎn)，化難為易，才能讓學(xué)生不被多元函數(shù)嚇倒.

（三）找不同

從一元函數(shù)微積分過(guò)渡到多元函數(shù)微積分，有一些結(jié)論和性質(zhì)是一致的，有一些結(jié)論是變化的.對(duì)于不變的地方，學(xué)生會(huì)很順利地掌握和接受.所以在授課時(shí)，筆者讓學(xué)生更加關(guān)注變化的地方.

比如在多元函數(shù)求極值的講解中，極值的必要條件筆者會(huì)一帶而過(guò)，而極值的充分條件筆者會(huì)詳細(xì)講解.因?yàn)槎嘣瘮?shù)極值的必要條件幾乎和一元函數(shù)中的結(jié)論相同，而多元函數(shù)極值的充分條件卻有了很大的變化.

再比如由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義推廣到多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，求導(dǎo)的方法沒(méi)有太大的變化，求偏導(dǎo)的實(shí)質(zhì)就是固定其他變量對(duì)一個(gè)變量求導(dǎo)，這跟一元函數(shù)求導(dǎo)的實(shí)質(zhì)是相同的.但是一些性質(zhì)有了很大的變化，一元函數(shù)中可導(dǎo)等價(jià)于可微，二者可以推出連續(xù).但是在多元函數(shù)中，可微和可導(dǎo)不再等價(jià)，而有了強(qiáng)弱之分，可導(dǎo)也不再能推出連續(xù).筆者會(huì)讓學(xué)生多關(guān)注這些變化的地方，集中精力學(xué)習(xí)這些產(chǎn)生變化的知識(shí)點(diǎn).

找不同這種方法，首先可以讓學(xué)生建立新舊知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，其次可以讓學(xué)生很快抓住重點(diǎn)，而不是眉毛胡子一把抓，反而不知道該從哪里學(xué)起.

（四）數(shù)形結(jié)合法

所謂數(shù)形結(jié)合，是指把所要刻畫(huà)的數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形相結(jié)合，從而方便學(xué)生去理解問(wèn)題.數(shù)形結(jié)合這種方法能夠使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化和生動(dòng)化，從而把抽象思維變成形象思維.這樣能大大降低問(wèn)題的難度.

教師在講解多元微積分學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)借助幾何圖形理解問(wèn)題，用數(shù)形結(jié)合的方法學(xué)習(xí).比如理解多元函數(shù)極值的必要條件，可以用畫(huà)圖的方式說(shuō)明，其幾何意義就是在極值點(diǎn)處有水平的切平面，直觀的圖形展示會(huì)比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更好讓學(xué)生理解.在講解重積分以及曲線(xiàn)積分和曲面積分時(shí)，筆者每個(gè)例子都會(huì)畫(huà)圖展示，這樣可以更直觀地解決問(wèn)題，而且筆者要求學(xué)生寫(xiě)作業(yè)時(shí)也要每個(gè)題目都配上相應(yīng)的圖形.經(jīng)過(guò)這樣的訓(xùn)練，學(xué)生的空間思維得到了很好的訓(xùn)練，學(xué)生的解題能力大大增強(qiáng).

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)軟件可以幫助教師和學(xué)生更加方便地繪制圖形，使他們充分使用數(shù)形結(jié)合法去學(xué)習(xí).比如在講解空間曲面中的馬鞍面時(shí)，學(xué)生看到它的方程根本不能理解，不知道是什么樣的曲面，筆者會(huì)利用軟件展示它的圖形和空間結(jié)構(gòu)，這樣學(xué)生就可以了解這種雙曲拋物面的內(nèi)部架構(gòu)了.還有，教師如果有方便的教具，也可以大大提高課堂效率，幫助學(xué)生理解復(fù)雜的空間圖形.比如，在講解二重積分的計(jì)算時(shí)，筆者會(huì)把面包片作為教具，讓學(xué)生觀察到二重積分是如何化為累次積分的.

（五）整合法

高等數(shù)學(xué)上下冊(cè)的內(nèi)容看似章章獨(dú)立，內(nèi)容繁雜，但其實(shí)很多知識(shí)點(diǎn)都可以加以整合.教師可以把上下冊(cè)的內(nèi)容整理成一個(gè)完整的體系和脈絡(luò)，這樣可以方便學(xué)生掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，有助于學(xué)生在備考碩士研究生時(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí).

比如在講定積分的應(yīng)用時(shí)，學(xué)生學(xué)會(huì)了求平面圖形的面積，但需要分直角坐標(biāo)、參數(shù)方程、和極坐標(biāo)三種情況運(yùn)用不同的公式去計(jì)算.在學(xué)完二重積分后，筆者會(huì)告訴學(xué)生以后求面積不需要再記住那么多的情況和公式，都統(tǒng)一為一種方法，那就是A=dσ.同樣的道理，求空間立體圖形的體積，學(xué)生先后學(xué)過(guò)了用定積分計(jì)算，用二重積分計(jì)算以及用三重積分計(jì)算，筆者給學(xué)生統(tǒng)一為只用一個(gè)公式V=dΩ去計(jì)算.類(lèi)似的整合還可以用在求弧長(zhǎng)，求曲面的面積，以及在物理的應(yīng)用中求物體的質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和引力.

經(jīng)過(guò)這樣的整合，學(xué)生會(huì)感覺(jué)到如釋重負(fù)，因?yàn)樗麄儾恍枰涀∧敲炊鄰?fù)雜的計(jì)算公式了，而且他們看到了知識(shí)之間的聯(lián)系，知識(shí)點(diǎn)不再是一盤(pán)散沙，而是一個(gè)完整的系統(tǒng).所以，學(xué)生掌握了這樣的學(xué)習(xí)方法之后，會(huì)越學(xué)越輕松，越學(xué)越愛(ài)學(xué)，沉迷于數(shù)學(xué)之美、理論之精妙.

三、結(jié)語(yǔ)

高等數(shù)學(xué)中最主要的內(nèi)容就是微積分學(xué).其中的一元微積分學(xué)有中學(xué)的知識(shí)做基礎(chǔ)，相對(duì)好理解.但是多元微積分學(xué)是學(xué)生從未接觸過(guò)的知識(shí)，需要學(xué)生更多的抽象思考能力和概括能力.學(xué)生普遍感覺(jué)多元微積分學(xué)偏難，不好理解和掌握.如果教師生硬地直接講新的知識(shí)點(diǎn)和概念，那么將不利于學(xué)生的學(xué)習(xí).筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，摸索和總結(jié)出一套方法，讓學(xué)生順利完成從一元微積分學(xué)到多元微積分學(xué)的過(guò)渡，達(dá)到了事半功倍的效果.

這套方法就是上面介紹的類(lèi)比法、化繁為簡(jiǎn)法、找不同法、數(shù)形結(jié)合法以及整合法.筆者經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)試驗(yàn)，感到效果不錯(cuò)，向大家推廣開(kāi)來(lái).

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