基于問題驅(qū)動下的高三數(shù)學復(fù)習課設(shè)計

【摘 要】基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法是數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，而數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展必將突出數(shù)學思想，積累基本活動經(jīng)驗，塑造學生健全的人格。高三數(shù)學復(fù)習課要讓學生既能溫習功課、回歸教材、體驗真題，又能保持良好的心態(tài)，還能感悟世界觀、人生觀、價值觀和榮辱觀，以問題驅(qū)動推進教學。

【關(guān)鍵詞】問題驅(qū)動;核心素養(yǎng);高三數(shù)學;回歸教材

【作者簡介】王思儉，正高級教師，特級教師，江蘇省蘇州中學學術(shù)委員會主任。

【基金項目】國家社會科學基金“十三五”規(guī)劃2016年度立項課題“基于核心素養(yǎng)的書院制育人模式的實踐研究”（BHA160149）

一、提出問題

新一輪課程改革和高考改革的核心是課堂教學不僅注重傳授知識、培養(yǎng)能力、啟迪思維，還要把社會主義核心價值體系融入國民教育體系中，引導學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀、榮辱觀，即實現(xiàn)立德樹人的宗旨。在高三復(fù)習階段，教師不僅要引導學生回歸課本，溫習功課，還要幫助學生調(diào)整心態(tài)，領(lǐng)悟生命的意義。

但在教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)很多教學不容樂觀，學生仍在進行大量的猜題、押題等訓練，這樣既不能緩解學生的心理壓力，也不能提高學生的學習成績，反而增加了學生的焦慮和恐懼心理，降低了學生的體能，影響學生真實水平的發(fā)揮。鑒于此，筆者以蘇州市名師共同體高中數(shù)學教師執(zhí)教的一節(jié)“橢圓中三角形的面積的研究”現(xiàn)場觀摩課為例，旨在倡導高三的復(fù)習應(yīng)回歸教材，在問題驅(qū)動下，引導學生從教材習題的訓練中鞏固知識，尋求分析問題和解決問題的策略，培養(yǎng)學生數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)，同時，滲透數(shù)學文化中生命的意義，實現(xiàn)立德樹人的功能。

二、基于問題驅(qū)動下的高三數(shù)學復(fù)習課設(shè)計

（一）學情分析

本節(jié)課的授課對象是江蘇省蘇州中學高三某班的學生，該班的數(shù)學學習成績排在年級的第3～4名，學生的學習熱情很高，解決問題的思路較多，思維也較為活躍，但容易忽視基礎(chǔ)題，不重視教材。對于簡單的問題，學生容易做錯;對于比較復(fù)雜的問題，學生有思路，但怕麻煩，他們常常糾結(jié)于方法的選擇;對于情境新穎的問題，學生基本能讀懂題意，但不能形成連貫的解題路徑。

（二）設(shè)計理念及教學目標

1設(shè)計理念

哈爾莫斯說：“問題是數(shù)學的心臟?！盵1]問題是數(shù)學思想的源泉，是數(shù)學思維的動力。在數(shù)學課堂教學中，沒有問題就沒有學生的思維活動，有了問題，學生的好奇心才能被激發(fā)，思維才能得到發(fā)展。數(shù)學就是在問題的不斷提出與解決中發(fā)展的，數(shù)學的概念、公式、定理也都是因解決問題的需要而產(chǎn)生。

愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。”高三復(fù)習課也是如此，需要教師基于學情，利用問題驅(qū)動，激發(fā)學生深入思考。因此，教師要創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}情境，合理地提出問題，開展數(shù)學研討交流，驅(qū)動數(shù)學知識、思想方法有機融合，達到保溫增分的目標?；趩栴}驅(qū)動下的教學設(shè)計路線如圖1所示。

2教學目標

（1）對一道教材習題進行探究，總結(jié)一類問題的求解思路，鞏固已有的知識基礎(chǔ)，讓學生了解高考數(shù)學試題的命制過程，深入理解教材，增強學習信心，提升數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。

（2）突出數(shù)學方法的選擇意識，增強學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，強化數(shù)學研討交流的意識，提升數(shù)學建模素養(yǎng)。

（3）以代數(shù)、幾何視角探究橢圓內(nèi)三角形面積的主要過程，讓學生體驗其中的數(shù)學思想，提升對解析幾何問題的認識和解題能力，提高數(shù)學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

（三）教學過程

上好高三數(shù)學復(fù)習課不容易，尤其是高三數(shù)學微專題復(fù)習課更是難上加難。教學目標如何定位、問題如何選取、解題策略如何鞏固、數(shù)學思想如何滲透、解題能力如何提高、數(shù)學思維如何突破等，這些問題都需要教師潛心研究、靜心思考。在課堂教學中，學生會有很多的問題生成，必定會超出教學的預(yù)設(shè)，教師如何駕馭課堂，使預(yù)設(shè)與生成都能有效地促進學生的數(shù)學思維，這是對廣大教師教學能力的極大考驗。

1基礎(chǔ)性問題的研究

問題是課堂教學的載體，教師通過提出問題來引導學生，對數(shù)學活動進行調(diào)控，指導學生自我監(jiān)控。問題也是學生學習的素材，是學生思維活動的原動力，為學生思考、探究、交流和有意義的建構(gòu)指明了方向。而對基本問題的研究，有利于學生認識到理解數(shù)學概念、學習新方法的必要性，如利用三角形的穩(wěn)定性與可變性，激發(fā)學生的求知欲，促進學生在圓錐曲線中研究三角形的面積問題。根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容，筆者設(shè)計了以下基礎(chǔ)性問題。

師：平行四邊形和三角形哪個具有穩(wěn)定性？

生（齊）：三角形。

師：對，所以同學們既要有三角形的穩(wěn)定性，又要有三角形面積的最大值（即在一定條件下收效最大），以飽滿的精神，昂揚的斗志，堅韌的毅力完成高三數(shù)學的學習與研究。

（教師語畢，教室充滿笑聲和掌聲。）

【設(shè)計意圖】用三角形的穩(wěn)定性作為問題驅(qū)動，既能緩解學生的心理壓力，又能提出本節(jié)課的核心問題——三角形面積最值。

當在聽到學生小聲議論“在什么條件下能求出三角形面積的最大值呢？”時，筆者順勢引導學生思考下面的問題。

問題1 已知雙曲線x264-y236=1的焦點為F1、F2，點P在雙曲線上，且∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面積。

該題是蘇教版高中數(shù)學選修1-1第40頁的第9題，同時也是選修2-1第42頁第9題的改編題，題目只是把“PF1⊥PF2”這個條件改成了“∠F1PF2=90°”。

【設(shè)計意圖】教師引導學生探索教材中某一類基本問題的求解策略，旨在從不同的視角激發(fā)學生的探究興趣。利用教材中的典型問題以及高考的高頻問題作為問題驅(qū)動，不僅能增強學生的問題意識，還能提高學生提出問題的能力，從而引導學生重視教材、回歸教材。

2可變性問題的研究

著名數(shù)學家波利亞說：“我們經(jīng)常需要通過試驗對問題做各種修改，我們必須一再地變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止。”“如果不‘變化題目，我們幾乎不能有什么進展”，[2]這也是高考命題的思路。在課堂教學中，不僅要有好的問題，而且還要有好的結(jié)構(gòu)，即具有可變性，形成問題的序列化，也就是一個問題的解決導致新問題的產(chǎn)生，由這些變式題組成問題串。鑒于此，筆者設(shè)計了以下可變性問題。

師：如果將上述問題1的∠F1PF2=90°改成∠F1PF2=60°，那么問題如何解決呢？

生1：很簡單，只需使用余弦定理就可以計算得到面積是363。

師：其他同學還有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：三角形的面積和∠F1PF2有一定的關(guān)聯(lián)。

師：我們一起來探究一下，不妨設(shè)∠F1PF2=θ。

（推導過程省略）

生3：S=b2cotθ2。

生4：橢圓中也有類似的結(jié)論。

生5：對，如果沒有記錯的話應(yīng)該是S=b2tanθ2。

（推導過程略）

師：好，那今天我們就來研究橢圓中的三角形面積問題。

（教師板書變式題，即問題2至問題4。）

問題2 已知橢圓x225+y29=1的焦點為F1、F2，P是橢圓上的動點，則△F1PF2面積的最大值是??? 。

該題鞏固了上述學生探究得出的結(jié)論，同時將靜態(tài)問題變?yōu)閯討B(tài)問題，培養(yǎng)學生直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

問題3 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦點為F1、F2，點P在橢圓上，若△F1PF2面積的最大值是12a2，則橢圓的離心率為??? 。

該題利用橢圓中的焦點三角形面積取得最大值的條件，進一步挖掘了橢圓中幾何量之間的關(guān)系，這不僅鞏固了橢圓中焦點三角形的面積公式，也訓練了學生的直觀想象能力。

問題4 已知橢圓x225+y216=1的焦點為F1、F2，在橢圓上能否找到一點P，使得△F1PF2的面積為13？

該題是已知三角形面積求點的坐標，不僅訓練了學生的運算能力，而且培養(yǎng)了學生的逆向思維和批判性思維能力。教師只有充分了解學生的起點狀態(tài)，準確把握學生的學習需求，在學生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計問題，才能真正實現(xiàn)問題驅(qū)動。因此，變式教學能使學生更好地理解教材、活用教材，創(chuàng)造性地解決情境新穎的綜合性問題。

3探究性問題的研究

在探究性問題的研究過程中，教師通過發(fā)揮學生的主體作用，給學生提供展示自我思考或互評的平臺，從而培養(yǎng)學生獨立思考、主動參與、質(zhì)疑思辨等學習習慣。因此，筆者根據(jù)上述橢圓中三角形面積的基本問題設(shè)計如下探究性問題。

問題5 如圖2，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，A（-a，0），B（0，-b），原點到直線AB的距離為255。

（1）求橢圓E的方程。

（2）若點P是橢圓上第一象限的點，直線PA，PB分別交y軸，x軸于D，C點，求四邊形ABCD的面積。

師：請同學們思考一下這些問題：如何求橢圓方程？四邊形ABCD有什么特征？四邊形ABCD的面積如何表示，是否隨著點P的變化而變化。

生1：利用橢圓與直角三角形斜邊上的高的幾何性質(zhì)求出橢圓方程為x24+y2=1，設(shè)點P的坐標，再求出點C、D的坐標，將四邊形分割成兩個直角三角形，求出其面積為2，即四邊形ABCD的面積為ab。

生2：由于四邊形面積與動點P無關(guān)，但△PAB的面積是變化的，因此問題可以改為求△PCD面積的最大值。只要作AB的平行線與橢圓相切，利用判別式為0即可。

生3：利用導數(shù)寫出切線方程，繼而求出切點P 2，22，即可求出最大值為2-1。

生4：這其實就是偏導函數(shù)思想。

師：很好。同學們不僅解決了問題，而且衍生出新的問題、新的方法。

【設(shè)計意圖】在課堂上，很多綜合性問題的解題方法是教師設(shè)計好的，學生往往都是聽和記，較少主動參與探索問題。問題驅(qū)動的教學模式是改善這種關(guān)系的有效途徑，其調(diào)動了學生的積極性，培養(yǎng)和發(fā)展了學生的獨立思考和創(chuàng)造能力。如由四邊形的面積為定值引發(fā)學生對一般情況的思考，繼而提出新的問題，即求△PCD面積的最大值及解決問題的途徑。因此，問題驅(qū)動是通過解決一系列的小問題逐步達成，并按照“發(fā)現(xiàn)問題—解決問題—發(fā)現(xiàn)新問題—再解決問題”來推進教學的。

問題6 如圖3，已知橢圓E：x22+y2=1上點P（x0，y0），過點P的直線l與橢圓E有且只有一個公共點，l與x軸交于點M，與y軸交于點N。

（1）求證：l的方程為x0x2+y0y=1。

（2）若點P在第一象限時，求△MON面積的最小值，以及此時點P的坐標。

（3）若直線l與圓O：x2+y2=2交于兩點A、B，求△AOB面積的最大值。

【設(shè)計意圖】在課堂上，教師不能只是把問題的答案直接告訴學生，而是要想著怎樣設(shè)問，學會傾聽學生的想法和思維過程。問題驅(qū)動下的教學不僅給師生提供了交流的平臺，將師生活動整合到提出問題、解決問題的過程中，學生在解決問題的過程中，體驗到成功的喜悅，提高了學習興趣。

在提出問題6后，教師出示以下變式題，即問題7，引導學生分析解題思路。

問題7（變式題） 如圖4，已知橢圓E：x22+y2=1上點P，過點P的直線l與橢圓E有且只有一個公共點，且與圓O：x2+y2=2交于A、C兩點，過點P與l垂直的直線M與圓O交于B、D兩點。

（1）若P1，22，求四邊形ABCD的面積。

（2）求四邊形ABCD面積S的最大值。

【設(shè)計意圖】當面對情境新穎的問題時，學生往往容易束手無策，這就需要教師教會學生如何思考，讓學生學會不斷轉(zhuǎn)化問題，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，然后再轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能解決的或者比較容易解決的問題。數(shù)學化的過程就是靈活運用數(shù)學思想方法的過程，教師在教學過程中應(yīng)突出思想與方法，讓學生學會反思、體會與感悟。

三、教學反思

學生數(shù)學素養(yǎng)水平的達成不是一蹴而就的，它具有階段性、連續(xù)性和整合性等特點。因此，在高三復(fù)習的教學中，教師應(yīng)根據(jù)學生提出的問題組織內(nèi)容，設(shè)定數(shù)學素養(yǎng)達成目標和層次，使學生的核心素養(yǎng)落到實處。

（一）回歸教材，溫故基礎(chǔ)知識

數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，數(shù)學學習的唯一正確方法是讓學生進行“再創(chuàng)造”，也就是說，由學生本人把學習的東西實現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是為學生的發(fā)展創(chuàng)造條件、引導探索[3]。因此，在復(fù)習教學中，教師注重利用已有的知識同化和順應(yīng)新知識，讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)生和生成過程，使學生的學習潛能得以提升。教師要從教材中精心選題，創(chuàng)設(shè)適合學生的寬松的交流氛圍，讓學生經(jīng)歷問題辨析、相互交流，自主提出求解的策略，自覺回顧所涉及的知識與方法，領(lǐng)悟數(shù)學的本源。例如在本節(jié)課伊始，教師以教材中的原題帶領(lǐng)學生回顧數(shù)學知識的本源，滲透數(shù)學核心素養(yǎng)。再如由基本問題引導學生通過簡單問題的解決，抽象出一般問題。在得到了兩組三角形面積的數(shù)值之后，發(fā)現(xiàn)三角形面積大小可能和虛軸長有關(guān);當變換角度時，三角形的面積又有一定的變化，說明其和頂角也有關(guān)，因此，對雙曲線甚至是橢圓中焦點三角形的面積進行觀察、分析和論證后，分別得到S=b2cotθ2和S=b2tanθ2兩個結(jié)論，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。

（二）回歸基本，溫故思想方法

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版） 》著重強調(diào)要提高學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，以及分析問題和解決問題的能力。通過問題的解決，揭示其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，從中提煉出基本的數(shù)學思想方法，關(guān)注知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導學生利用這些思想方法發(fā)現(xiàn)新的問題。如在解析幾何的復(fù)習教學中，教師要引導學生重視函數(shù)與方程思想及解析法等的運用，將幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題幾何化，體現(xiàn)直觀想象的核心素養(yǎng)。因此，在高三數(shù)學復(fù)習課中，教師要精選典型例題，引發(fā)師生、生生之間相互交流和討論，讓其經(jīng)歷變式、拓展的過程，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，自主地提出新問題、解決新問題，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)、創(chuàng)造能力和科學嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)[4]。

（三）回歸真題，溫故命題意圖

數(shù)學高考題注重回歸數(shù)學本源，特別是最后沖刺階段，學生不要做偏、難、怪的題目，也不要做所謂的“新題”，應(yīng)研究高考真題的命題意圖，研究試題考查的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本解題經(jīng)驗，突出數(shù)學本質(zhì)，立足通性通法，規(guī)避巧法。北京大學周民強教授曾說：“技重于練，巧重于悟?！盵4]教師要加強學生的習題演練，讓學生形成基本技能，提升關(guān)鍵能力，領(lǐng)會命題意圖，規(guī)范答題。如在解題中，不少學生直接利用類比方法寫出在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上點P（x0，y0）處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1，教師應(yīng)及時向?qū)W生指出，這在高考閱卷中是會被扣分的，即使是圓的問題也不能直接使用。

參考文獻：

[1]涂榮豹.數(shù)學教學設(shè)計原理的構(gòu)建：教學生學會思考[M].北京：科學出版社，2018.

[2]王思儉.怎樣學會數(shù)學思考[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

[3]涂榮豹，寧連華，徐伯華.中學數(shù)學教學案例研究[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[4]任子朝.從能力立意到素養(yǎng)導向[J].中學數(shù)學教學參考（上旬），2018（5）：1.

（責任編輯：陸順演）