帶折現(xiàn)率多險種離散時間風險模型的破產(chǎn)問題

于 莉,詹曉琳，王青芳

(1.合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,安徽 合肥 230009)

(2.上海第二工業(yè)大學理學院,上海 201209)

1 引言

文獻[1]討論了帶有常利率下的離散時間保險風險模型的破產(chǎn)前盈余分布等破產(chǎn)問題.文獻[2]研究獨立同分布利率下的離散時間風險模型中破產(chǎn)概率的問題.文獻[3]在具有Markov利率的條件下,討論得出了離散時間風險模型的破產(chǎn)概率滿足的微積分方程及廣義的Lundberg不等式.文獻[4]研究理賠總量具有相關條件下的離散時間風險模型,通過對經(jīng)典模型的修正得到了破產(chǎn)發(fā)生時刻和最終破產(chǎn)概率的定義,并通過鞅方法得到了最終破產(chǎn)概率的Lundberg上界.文獻[5]考慮理賠服從二維一階自回歸結(jié)構(gòu)常利率的雙險種二維離散風險模型,通過概率中的鞅方法得到最終破產(chǎn)概率的倫德伯格型不等式進而獲得其上界,并結(jié)合數(shù)值分析說明了參數(shù)對于破產(chǎn)概率上界的影響.文獻[6]探討具有馬爾科夫性利率的離散時間風險模型中破產(chǎn)赤字和破產(chǎn)前盈余的聯(lián)合分布以及最終破產(chǎn)概率的破產(chǎn)問題.文獻[7]研究利率服從m階自回歸時離散時間風險模型的破產(chǎn)前最大盈余分布等破產(chǎn)問題.文獻[8]通過遞推方法和全概率公式,研究帶有折現(xiàn)率離散時間風險模型中的破產(chǎn)概率、破產(chǎn)后赤字、破產(chǎn)前盈余及其它們聯(lián)合分布所滿足的微積分方程.文獻[9]在離散時間保險金融風險模型中假設凈虧損量和風險資產(chǎn)的隨機貼現(xiàn)因子都服從同一分布下得到改進的有限時間破產(chǎn)概率漸近公式.文獻[10]研究理賠量滿足一階自回歸模型,利用數(shù)學歸納法得出廣義離散時間風險模型中破產(chǎn)前盈余的分布等破產(chǎn)問題.文獻[11]研究索賠過程服從復合二項過程的雙險種離散時間風險模型,得到了罰金期望函數(shù)、破產(chǎn)概率滿足的積分方程以及有限時間內(nèi)破產(chǎn)概率、破產(chǎn)時刻分布的遞推公式.文獻[12]對比在相依理賠量經(jīng)典離散時間風險模型和帶有雙險種和折現(xiàn)率的相依理賠量離散時間風險模型下的破產(chǎn)持續(xù)時間和盈余首次穿過給定水平x的時刻分布.文獻[13]考慮帶馬爾科夫利率的雙險種復合雙二項模型離散風險模型破產(chǎn)概率.本文在文獻[4,8,10,12]基礎上將模型推廣為帶有折現(xiàn)率、多險種及理賠量一階自回歸結(jié)構(gòu)的廣義離散時間風險模型,利用概率論和數(shù)學遞推法得到了破產(chǎn)概率、破產(chǎn)后赤字、破產(chǎn)前盈余及其它們聯(lián)合分布所滿足的微積分方程,最后結(jié)合數(shù)據(jù)分析此類模型更具有實際意義.

假定保險公司經(jīng)營k個險種Aj(j=1,2,···,k),在所考慮的時間期間內(nèi)有固定折現(xiàn)率δ,保費在每個時期期初收取而理賠在每個時期的期末支付,則在時刻n(n=0,1,2,···)保險公司累積盈余折現(xiàn)到初始時刻的盈余為

其中cj表示第j個險種的單位時間內(nèi)保費收入量,{Xi,1,i=1,2,···},{Xi,2,i=1,2,···},...{Xi,k,i=1,2,···}是k個獨立同分布的隨機變量序列,Xi,j表示在(i?1,i]時間內(nèi)第j個險種的理賠支出,并假定期望值E(Xi,j)<∞,而個險種的理賠量均滿足AR(1)模型表示初始盈余.同時考慮k

其中|aj|<1,且{Wi,j,i=1,2,···}是獨立同分布的隨機變量序列,這里記W0,j=ω0,j.為了后面討論的方便,把滿足上述條件的廣義離散時間破產(chǎn)模型記為模型(I).

2 主要結(jié)果和證明

2.1 破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)后赤字聯(lián)合分布

保險公司的經(jīng)營情況（包括財務情況和賠付能力情況）是保險人和投保人都極為重視的事情,為此我們對破產(chǎn)前的盈余分布進行討論是很重要一部分內(nèi)容范疇,在考察破產(chǎn)前盈余分布時,首先來考慮破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)后赤字的聯(lián)合分布,由聯(lián)合分布再來推出其相應的邊際分布.

推論2.2由破產(chǎn)后赤字分布定義,可知其滿足下式

在定理2中令h=0,有因為當h=0時,按定義,即表示保險公司在T時刻破產(chǎn)了,也就是說此時表示破產(chǎn)后的赤字分布,滿足破產(chǎn)后赤字分布的定義.

推論2.3在定理2中令h=0,m=0就得到了破產(chǎn)概率滿足的方程

因為當h=0,m=0時,按定義,即表示保險公司在T時刻破產(chǎn)了,也就是說此時滿足破產(chǎn)概率的定義.

2.2 破產(chǎn)前最大盈余的分布

下面還要介紹一個對保險公司經(jīng)營比較重要的指標,即破產(chǎn)前最大盈余的分布.破產(chǎn)前最大盈余分布能告訴我們什么時候進行合理最有效的投資,這是保險人和投保人都十分關切的問題,對于保險公司賠付能力和收入提高是很有必要的問題.

定理 3在模型(I)修正的模型下,其破產(chǎn)前最大盈余分布滿足下面的積分方程

證由破產(chǎn)前最大盈余分布的定義可得

這里

當n≥3,由數(shù)學歸納法可得

3 數(shù)值分析

從例子中可以看出,險種越多保費收入也會增多,當理賠支出分別服從指數(shù)分布和均勻分布時,由破產(chǎn)概率的上界表達式發(fā)現(xiàn)其隨著險種的增多是變小的,保險公司擴充營業(yè)險種是合理的.圖1給出了當理賠量服從參數(shù)為1的指數(shù)分布時,破產(chǎn)概率的上界受折現(xiàn)率的影響情況,圖2當理賠量服從[0,50]均勻分布時,破產(chǎn)概率上界受折現(xiàn)率的影響,可以看出當理賠量服從不同分布時破產(chǎn)概率的上界影響是不同的,趨勢正好相反,所以應結(jié)合實際數(shù)據(jù)判斷理賠量的分布,更加具有實際意義.圖3破產(chǎn)概率受理賠量指數(shù)分布參數(shù)λ的影響,圖4破產(chǎn)概率受理賠量均勻分布參數(shù)a的影響,發(fā)現(xiàn)均隨著參數(shù)的變大,破產(chǎn)概率變小,進而取合適的參數(shù)可以控制破產(chǎn)概率較小的上界,并且當理賠量服從指數(shù)分布時破產(chǎn)概率上界受參數(shù)影響的更加明顯.

4 結(jié)論

本文在多險種理賠量具有一階自回歸結(jié)構(gòu)的離散時間風險模型下,引入折現(xiàn)率因素,得出破產(chǎn)前盈余分布和破產(chǎn)后赤字的聯(lián)合分布所滿足的遞推關系式,進而得到破產(chǎn)前盈余分布、破產(chǎn)后赤字和破產(chǎn)概率所滿足的表達式,然后給出破產(chǎn)前最大盈余分布所滿足的積分公式,最后結(jié)合模型考慮當險種A和險種B的理賠量分布均服從指數(shù)分布和均勻分布時,得到保險公司的破產(chǎn)前盈余、破產(chǎn)赤字和破產(chǎn)概率的具體表達式,并通過數(shù)據(jù)模擬說明了多險種和折現(xiàn)率對破產(chǎn)概率影響,并說明模型引入這兩個因素的實際意義.后期可以討論當理賠量推廣到滿足二階甚至是n階自回歸結(jié)構(gòu),保費收入是隨機變量的廣義風險模型,針對保險公司的數(shù)據(jù)做出分析,給出實際分析.