Schrdinger-Virasoro代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu)

王美娜,唐孝敏

(黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱150080)

1 引言

Poisson代數(shù)源于對(duì)Poisson幾何的研究,自然出現(xiàn)于哈密頓力學(xué),且是量子群研究的中心.簡單來說,一個(gè)Poisson代數(shù)(A,?,[?,?]),就是同時(shí)帶有代數(shù)和李代數(shù)兩種結(jié)構(gòu)的代數(shù),且這兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)之間要滿足Leibniz法則.

鑒于Poisson幾何與數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系,使它受到了許多研究者的關(guān)注.其中以Lichnerowicz[1]和Weinstein[2]最為具有代表性.近年來,隨著Poisson代數(shù)的發(fā)展,其結(jié)構(gòu)問題得到了一些新成果,例如,文獻(xiàn)[3]研究了扭Heisengerg-Virasoro代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[4]研究了Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[5]研究了Toroidal李代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[6]研究了擴(kuò)張仿射李代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[7]確定了李代數(shù)W(2,2)上的Poisson結(jié)構(gòu),并改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]中的結(jié)果.另外,文獻(xiàn)[8]得到Lie理論中一類Poisson結(jié)構(gòu)的構(gòu)造,文獻(xiàn)[9]研究了Hall代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[10]研究了張量代數(shù)上一種帶辮子的Poisson結(jié)構(gòu).

近20年,Poisson代數(shù)引起了越來越多的研究人員的關(guān)注,并在結(jié)構(gòu)理論和表示理論方面取得了很多結(jié)果.Schrdinger-Virasoro代數(shù)是一類重要的無限維李代數(shù),在數(shù)學(xué)和物理學(xué)的許多分支中都有著廣泛的應(yīng)用.許多研究者研究了(廣義)Schrdinger-Virasoro代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示理論等,見文獻(xiàn)[11]和[12]等,但其Poisson結(jié)構(gòu)的研究尚未實(shí)現(xiàn).本文將研究Schrdinger-Virasoro代數(shù)上的Poisson 結(jié)構(gòu).

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)主要介紹相關(guān)李代數(shù)及Poisson代數(shù)的基本概念.

定義2.1[11]Schr?dinger-Virasoro代數(shù)SV是一個(gè)無限維李代數(shù),具有C-基{Ln,Yn,Mn|n∈Z},且滿足如下李關(guān)系式

記SVi為由{Li,Yi,Mi}所張成的三維向量空間.SV關(guān)于Cartan子代數(shù)CL0有分解SV=⊕i∈ZSVi.

定義2.2[3]Poisson代數(shù)(A,?,[?,?])是域C上的一個(gè)向量空間A,同時(shí)具有代數(shù)乘法?和李代數(shù)乘法[?,?],且滿足Leibniz法則:[z,x?y]=[z,x]?y+x?[z,y],?x,y,z∈A.若乘法?滿足結(jié)合律,則稱Poisson代數(shù)是結(jié)合的;若乘法?滿足交換律,則稱Poisson代數(shù)是交換的.

3 李代數(shù)SV上的Poisson結(jié)構(gòu)

本節(jié)將給出Schr?dinger-Virasoro代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu).注意到本文討論的是非結(jié)合Poisson結(jié)構(gòu),推廣了結(jié)合的情形.

引理3.1若在李代數(shù)SV上存在一個(gè)代數(shù)乘積?,使得(SV,?,[?,?])成為一個(gè)Poisson代數(shù),則SVi?SVj?SVi+j,?i,j∈Z.

證對(duì)任意的x∈SVi,y∈SVj,有

即x?y∈SVi+j.因此,對(duì)任意的i,j∈Z,都有SVi?SVj?SVi+j.

定理3.2SV上的任何Poisson結(jié)構(gòu)都具有如下形式

?m,n∈Z,其中c1∈C.

證根據(jù)引理3.1易知Mm?Mn∈CMm+n,由此可假設(shè)

下面分10步來證明定理.