隨機(jī)變延遲微分方程平衡方法的收斂性和穩(wěn)定性

包學(xué)忠, 胡 琳, 郭慧清

(江西理工大學(xué) 理學(xué)院, 江西 贛州 341000)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

設(shè)(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是完備概率空間,σ-域流{Ft}t≥0滿足通常條件(即遞增右連續(xù)且F0包含F(xiàn)中所有 P0集). 設(shè)W(t)=(W1(t),W2(t),…,Wm(t))T是完備概率空間上的m維Wiener過(guò)程,F: [0,T]×d×d→d,G: [0,T]×d×d→d×m均為Borel-可測(cè)函數(shù), 考慮It意義下的隨機(jī)變延遲微分方程:

(1)

(2)

假設(shè)函數(shù)F,G以及初值函數(shù)φ(t)滿足下列條件：

(H1)(Lipschitz條件) 存在正常數(shù)K, 使得對(duì)任意的X1,X2,Y1,Y2∈d及t∈[0,T], 有

(3)

(H2)(線性增長(zhǎng)條件) 存在正常數(shù)L, 使得對(duì)任意的X,Y∈d及t∈[0,T], 有

(4)

其中u=F,G;

(H3)φ(t)是H?lder連續(xù)的, 即存在正常數(shù)L1, 使得

(5)

(H4) 延遲函數(shù)τ(t)是Lipschitz連續(xù)的, 即存在一個(gè)Lipschitz常數(shù)L2, 使得

(6)

(H5) 對(duì)任意的x,y∈d,t,s≥0, |t-s|<1, 有

(7)

引理1[7]若條件(H2)成立, 則方程(1)的解滿足

(8)

此外, 對(duì)任意0≤s,t≤T, 有

(9)

其中Q2=2L(4Q1+T+1).

2 平衡方法的收斂性

對(duì)時(shí)間區(qū)間[0,T]作等步長(zhǎng)劃分, 分點(diǎn)記為ti=ih(i=0,1,…,N), 步長(zhǎng)h=T/N. 針對(duì)方程(1)考慮如下平衡方法：

(10)

其中

(11)

對(duì)n=0,1,…,N, 有0≤qn∈, 0≤γn<1.

為方便, 將式(10)改寫(xiě)成以下形式：

(12)

其中d×d矩陣函數(shù)

(13)

這里C0,C1是一致有界的, 即存在常數(shù)Q3>0, 使得

(14)

D(x)=I+β0C0(x)+β1C1(x)

是可逆的, 且滿足

|(D(x))-1|≤H<∞.

(15)

引理2[7]假設(shè)條件(H2)～(H4)成立, 則對(duì)任意的s∈[tn,tn+1), 0≤n≤N-1, 有

(16)

其中Q4=2(Q2+L1)(L2+1).

引理3[8]x∈d,ω∈Ω, F(x,ω)與F相互獨(dú)立, 且有E(F(x,ω))=φ(x). 如果ξ是F-可測(cè)的, 則E(F(ξ,ω)|F )=φ(ξ).

定義1平衡方法(12)的局部誤差隨機(jī)變量序列{δn+1,n=0,1,…,N-1}定義為

其全局誤差隨機(jī)變量序列{εn,n=1,2,…,N}定義為

εn=x(tn)-Yn.

(18)

定義2如果p2≥1/2,p1≥p2+1/2, 且

(19)

(20)

定義3如果

(21)

下面給出方程(1)的Euler方法數(shù)值格式：

(22)

為證明方便, 將Euler方法的數(shù)值格式(22)改寫(xiě)為以下形式：

(23)

其中

引理4[7]應(yīng)用于方程(1)的Euler方法是p1=3/2階均值相容和p2=1階均方相容的.

引理5若式(3),(4),(15)成立, 則平衡方法(10)-(11)均值相容階為3/2, 均方相容階為1.

證明： 首先證明平衡方法(10)-(11)的均值相容階為3/2. 由引理4知, Euler方法的均值相容階為3/2, 則

其中:

Q5=2k0Q1+KQ2+2KQ4;

由式(25),(26)得

由式(27)得

(28)

將式(28)代入式(27)得

由式(29)得

注意到x(tn)為Ftn-可測(cè), 且ΔWn與Ftn獨(dú)立, 利用引理3得

(33)

(34)

其中Q7=2Q5+2Q6. 故平衡方法(10)-(11)是3/2階均值相容的.

下面證明平衡方法(10)-(11)的均方相容階為1. 由引理4可得

其中

將式(36)代入式(35)得

其中Q10=2Q8+2Q9.

下面證明平衡方法(10)-(11)的均方收斂性.

定理1假設(shè)式(3),(4),(15)成立, 則平衡方法(10)-(11)在網(wǎng)格點(diǎn)上的均方收斂階為p=1/2.

證明： 根據(jù)全局誤差(18)的定義, 有

εn+1=x(tn+1)-Yn+1=δn+1+εn+Rn,

(38)

其中

由式(38)得

(40)

下面估計(jì)式(40)中各項(xiàng). 根據(jù)引理5可知, 平衡方法(10)-(11)的均方相容階為1, 從而

(41)

由條件期望的性質(zhì)以及平衡方法(10)-(11)的均值相容階為3/2, 可得

由C(x(tn),x(tn-τ(tn)))的性質(zhì), 易得

(44)

且當(dāng)h<1時(shí), 有

(45)

從而

其中:

Q11=12H2(T+m)K;Q12=8H2(T+m)K;

由式(3),(13)～(15),(39),(43),(47),(48)得

根據(jù)引理1、 式(44),(45),(49)及不等式(a+b)2≤2a2+2b2, 得

由式(50)可得

其中:

Q14=1+12H2K;Q15=8H2K;

將式(41),(42),(46),(51)代入式(40), 得

其中:

Q17=2Q11+Q14+1;Q18=2Q12+Q15;Q19=2Q10+2Q13+Q7+Q16.

其中Q20=Q17+Q18. 由式(53)可得

3 平衡方法的穩(wěn)定性

考慮復(fù)系數(shù)線性隨機(jī)變延遲微分方程:

(54)

其中a1,a2,b1,b2∈. 若x,y∈, 則〈x,y〉表示內(nèi)積, Re(x)表示復(fù)數(shù)x的實(shí)部.

定理2若a1,a2,b1,b2滿足

2Re(a1)+2|a2|+(|b1|+|b2|)2<0,

(55)

定理2的證明可參考文獻(xiàn)[7]中定理14和文獻(xiàn)[9]中定理3.1的證明過(guò)程, 故略.

3.1 強(qiáng)平衡方法的均方穩(wěn)定性

定理3[10]如果式(15),(55)成立, 且步長(zhǎng)h充分小, 則強(qiáng)平衡方法(56)是均方穩(wěn)定的.

證明： 將強(qiáng)平衡方法(10)應(yīng)用到線性系統(tǒng)(54), 得

(56)

其中Cn=C0nh+C1n|ΔWn|. 考慮C0n,C1n∈, 可將式(56)改寫(xiě)成以下形式：

(57)

于是

對(duì)式(58)兩邊取期望并整理可得

可將式(59)簡(jiǎn)化為

設(shè)隨機(jī)變量ζ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 則

同理可得

E|ΔWn(1+Cn)-2|=0.

(62)

由式(15)和ΔWn,Cn的性質(zhì)得

同理可得

(65)

將式(64),(65)代入式(63)得

(66)

同理可得

(67)

且

(68)

將式(61),(62),(66)～(68)代入式(60)得

因此, 當(dāng)步長(zhǎng)h充分小時(shí)結(jié)論得證.

3.2 弱平衡方法的均方穩(wěn)定性

將弱平衡方法應(yīng)用到線性系統(tǒng)(54)中, 得

(70)

其中初值

定理4[10]若式(55)成立, 且步長(zhǎng)h充分小, 則弱平衡方法(70)是均方穩(wěn)定的.

又由于

因此

同理可得

(73)

注意到

從而

類似式(74)的推導(dǎo)過(guò)程可得

(75)

將式(72)～(75)代入式(71)得

因此, 當(dāng)步長(zhǎng)h充分小時(shí)結(jié)論得證.

4 數(shù)值算例

考慮如下線性標(biāo)量方程：

(76)

為方便驗(yàn)證收斂性與穩(wěn)定性, 選擇下列算例:

例1a1=-2;a2=0.2;b1=0.3;b2=-0.2.

例2a1=0.8;a2=-0.1;b1=-0.1;b2=0.01.

例3a1=-5.5;a2=3;b1=-1;b2=0.65.

例4a1=-10;a2=-0.5;b1=0.4;b2=1.

例5a1=-12;a2=-1;b1=1;b2=1.

首先, 驗(yàn)證平衡方法的收斂性. 用小步長(zhǎng)h=2-10平衡方法的數(shù)值解近似代替方程(76)的解析解, 針對(duì)步長(zhǎng)h=4Δt,8Δt,16Δt,32Δt,64Δt, Δt=h, 選擇1 000個(gè)樣本軌跡模擬方程(76)的數(shù)值解, 這里選擇C0j=C1j=1(j=0,1,…),γn=0.3,qn=1. 在終點(diǎn)時(shí)刻T=2處的均方誤差εp=ε2p+2Δt(p=0,1,2,3,4)由

圖1 平衡方法均方收斂曲線Fig.1 Mean-square convergence curves of balanced method

其次, 驗(yàn)證均方穩(wěn)定性. 選擇例4和例5且這兩組系數(shù)滿足式(55), 于是方程(76)是均方穩(wěn)定的. 用Euler方法和平衡方法作比較, 下面給出Euler方法的表示.

強(qiáng)Euler方法：

(77)

弱Euler方法：

(78)

圖2和圖3分別為例4和例5的強(qiáng)平衡方法(式(56))與強(qiáng)Euler方法(式(77))的穩(wěn)定性比較結(jié)果. 由圖2可見(jiàn), 當(dāng)步長(zhǎng)h=0.16時(shí), 兩種數(shù)值方法都是均方穩(wěn)定的, 當(dāng)步長(zhǎng)增大到0.25,0.335時(shí), 強(qiáng)Euler方法變得不穩(wěn)定, 而強(qiáng)平衡方法仍然穩(wěn)定. 由圖3可見(jiàn), 當(dāng)步長(zhǎng)h=0.15時(shí), 這兩種數(shù)值方法都是穩(wěn)定的, 當(dāng)步長(zhǎng)增加到0.2,0.285時(shí), 強(qiáng)平衡方法仍然穩(wěn)定, 而強(qiáng)Euler方法不再穩(wěn)定.

圖2 例4的強(qiáng)平衡方法與強(qiáng)Euler方法均方穩(wěn)定性Fig.2 Mean-square stability of strong balanced method and strong Euler method of example 4

圖3 例5的強(qiáng)平衡方法與強(qiáng)Euler方法均方穩(wěn)定性Fig.3 Mean-square stability of strong balanced method and strong Euler method of example 5

圖4 例4的弱平衡方法與弱Euler方法均方穩(wěn)定性Fig.4 Mean-square stability of weak balanced method and weak Euler method of example 4

下面比較弱平衡方法(式(70))和弱Euler方法(式(78))的均方穩(wěn)定性. 圖4和圖5分別為例4和例5的弱平衡方法和弱Euler方法的均方穩(wěn)定性比較結(jié)果. 由圖4可見(jiàn), 當(dāng)h=0.16時(shí), 這兩種方法均能保持均方穩(wěn)定, 但當(dāng)步長(zhǎng)增大到0.28,0.475時(shí), 弱平衡方法仍然穩(wěn)定, 而弱Euler方法不再穩(wěn)定. 由圖5可見(jiàn), 當(dāng)步長(zhǎng)h=0.1時(shí), 這兩種方法均能保持均方穩(wěn)定, 但當(dāng)步長(zhǎng)增大到0.2,0.4時(shí), 弱平衡方法仍然穩(wěn)定, 而弱Euler方法不再穩(wěn)定.

圖5 例5的弱平衡方法與弱Euler方法均方穩(wěn)定性Fig.5 Mean-square stability of weak balanced method and weak Euler method of example 5

綜上所述, 本文針對(duì)隨機(jī)變延遲微分方程應(yīng)用了一種全隱式方法----平衡方法. 首先, 討論了均方收斂性, 并得到其均方收斂階為1/2; 其次, 證明了線性標(biāo)量方程均方穩(wěn)定的結(jié)果以及強(qiáng)平衡方法和弱平衡方法均能保持線性方程均方穩(wěn)定的結(jié)果； 最后, 通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了上述理論結(jié)果的正確性. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 在大步長(zhǎng)下平衡方法比顯式Euler方法穩(wěn)定性更好.