一類非交換內(nèi)循環(huán)群到有限群的同態(tài)個(gè)數(shù)

張 良

(伊犁師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 新疆 伊寧 835000)

0 引 言

不同群之間同態(tài)個(gè)數(shù)的計(jì)算是群論數(shù)量關(guān)系的研究, 通過(guò)計(jì)算群同態(tài)個(gè)數(shù), 可得到群方程解的信息. 例如: Frobenius[1]給出了n階循環(huán)群Cn到有限群G的同態(tài)個(gè)數(shù)等于群方程xn=1在群G中解的個(gè)數(shù), 并證明了循環(huán)群Cn到有限群G的同態(tài)個(gè)數(shù)滿足|Hom(Cn,G)|≡0(mod(n,|G|)), 其中(n,|G|)表示n和|G|的最大公因數(shù); Yoshida[2]推廣了文獻(xiàn)[1]的結(jié)果, 將n階循環(huán)群換成了有限交換群A, 證明了|Hom(A,G)|≡0(mod(|A|,|G|)); 文獻(xiàn)[3]猜想對(duì)任意有限群A和G, 都有|Hom(A,G)|≡0(mod(|A/A′|,|G|)), 其中A′是A的換位子群; 文獻(xiàn)[4-11]分別計(jì)算了二面體群、 四元數(shù)群、 擬二面體群和一些特殊亞循環(huán)群等有限群之間的同態(tài)個(gè)數(shù). 但目前已有的文獻(xiàn)結(jié)果大多數(shù)是計(jì)算一些具體群之間的同態(tài)個(gè)數(shù)及其個(gè)數(shù)滿足的數(shù)量關(guān)系, 而關(guān)于一般有限群的同態(tài)個(gè)數(shù)滿足數(shù)量關(guān)系的研究文獻(xiàn)報(bào)道較少, 這主要是因?yàn)橐话阌邢奕旱姆N類繁多、 結(jié)構(gòu)復(fù)雜, 計(jì)算較難. 本文討論一類非交換內(nèi)循環(huán)群到一般有限群同態(tài)個(gè)數(shù)滿足的數(shù)量關(guān)系, 并證明在該條件下Asai和Yoshida猜想[3]成立. 本文討論的群均為有限群，設(shè)m,r是正整數(shù),p,q是互異素?cái)?shù), 群Gp,qm=〈a,b〉是非交換內(nèi)循環(huán)群[12], 其元素有如下關(guān)系：ap=1,bqm=1,b-1ab=ar, 且滿足r?1(modp),rq≡1(modp). 其他相關(guān)符號(hào)和定義可參見(jiàn)文獻(xiàn)[12-13].

1 預(yù)備知識(shí)

引理1設(shè)有限內(nèi)循環(huán)群Gp,qm=〈a,b〉, 有如下定義關(guān)系：ap=1,bqm=1,b-1ab=ar, 其中p,q為互異素?cái)?shù),m,r為正整數(shù), 且r?1(modp),rq≡1(modp). 則:

1)Gp,qm={bjai|0≤i

2)aib=bair,abj=bjarj,aibj=bjairj, 其中0≤i

4)q是rq≡1(modp)成立的最小正整數(shù), 且q|(p-1).

證明: 由群Gp,qm的定義關(guān)系知, 1)顯然成立.

由b-1ab=ar, (b-1ab)i=b-1aib=(ar)i, 可得

故2)成立.

由1), 任取bjai,bsat∈Gp,qm,

設(shè)δp(r)是rδp(r)≡1(modp)成立的最小正整數(shù), 由r?1(modp),rq≡1(modp), 可得δp(r)|q且δp(r)≠1, 再由q是素?cái)?shù), 有δp(r)=q, 即q是rq≡1(modp)成立的最小正整數(shù). 由Euler定理rφ(p)=rp-1≡1(modp), 可得q|(p-1), 故4)成立.

引理2設(shè)有限內(nèi)循環(huán)群Gp,qm=〈a,b〉, 其元素定義關(guān)系如引理1, 用ord(a)表示群G中元素a的階. 則:

2) ord(aibj)=qm, 其中0≤i

證明: 由p是素?cái)?shù)且ord(a)=p易知1)成立.

設(shè)ord(aibj)=k, 其中0≤i

(1)

由gcd(j,qm)=1和引理1中4), 可得rj?1(modp), 又由gcd(i,p)=1, 式(1)可化簡(jiǎn)為

(2)

由式(2)和引理1中4)可知q|kj, 又由gcd(j,qm)=1可得q|k, 從而k=qm, 因此2)得證.

若1≤j

ord(aibj)=ord(ai)ord(bj)=ord(ai)qm-k,

其中0≤i

引理4設(shè)有限內(nèi)循環(huán)群Gp,qm=〈a,b〉, 若σ是群Gp,qm的一個(gè)自同態(tài), 且滿足σ(a)=ai, gcd(i,p)=1, 則σ是群Gp,qm的自同構(gòu).

證明: 設(shè)σ是群Gp,qm的一個(gè)自同態(tài), 且滿足σ(a)=ai, gcd(i,p)=1. 若σ(b)=akbj∈Gp,qm, 下證k=0,1,…,p-1,j=tq+1,t=0,1,…,qm-1-1.

由b-1ab=ar和引理1知, 一方面有

σ(b-1ab)=σ(b)-1σ(a)σ(b)=(akbj)-1aiakbj=b-jaibj=airj;

另一方面, 有σ(ar)=air. 從而有airj=air, 即irj≡ir(modp). 由于gcd(i,p)=1, gcd(r,p)=1, 從而可得rj-1≡1(modp). 再由引理1中4)可得q|(j-1), 即j∈{tq+1|t=0,1,…,qm-1-1}. 此時(shí)gcd(j,q)=1, 由引理3得k=0,1,…,p-1,j=tq+1,t=0,1,…,qm-1-1. 再由引理2, ord(σ(b))=ord(b). 該情形顯然有Ker(σ)={0}. 故結(jié)論得證.

引理5[2]設(shè)A是有限交換群,G是任意有限群, 則|Hom(A,G)|≡0(mod(|A|,|G|)).

2 主要結(jié)果

首先計(jì)算有限內(nèi)循環(huán)群Gp,qm的自同構(gòu)個(gè)數(shù)和自同態(tài)個(gè)數(shù).

定理1設(shè)有限內(nèi)循環(huán)群Gp,qm=〈a,b〉, 其元素如下定義關(guān)系同引理1, Aut(Gp,qm)是Gp,qm的自同構(gòu)群, End(Gp,qm)是Gp,qm的所有群同態(tài)構(gòu)成的集合. 則：

1) |Aut(Gp,qm)|=(p-1)pqm-1；

2) |End(Gp,qm)|=((p-1)(p+q-1)+q)qm-1.

σ(b-1ab)=σ(b)-1σ(a)σ(b)=(akbj)-1aiakbj=b-jaibj=airj;

另一方面, 可得σ(ar)=air. 從而有airj=air, 即irj≡ir(modp), 再由gcd(i,p)=1, gcd(r,p)=1, 可得rj-1≡1(modp). 由q是rq≡1(modp)成立的最小正整數(shù), 可得q|(j-1), 故j=tq+1,t=0,1,…,qm-1-1. 綜上可知,i有(p-1)種選取方法,k有p種選取方法,j有qm-1種選取方法, 有限內(nèi)循環(huán)群Gp,qm的自同構(gòu)個(gè)數(shù)為(p-1)pqm-1. 故1)得證.

2) 任取Gp,qm的自同態(tài)σ∈End(Gp,qm), 由引理2, 可對(duì)σ(a)進(jìn)行如下分類：

① 若σ(a)=ai(i=1,2,…,p-1), 則由引理4和定理1知, 自同態(tài)σ有(p-1)pqm-1種選取方法.

② 若σ(a)=1, 則由引理3知,σ(b)有[(p-1)(q-1)qm-1+qm]種選取方法. 因?yàn)槿籀?a)=1, 故σ(b)有兩種選取方法：

(i)σ(b)=bkai, 其中g(shù)cd(k,qm)=1, gcd(i,p)=1. 由Euler定理,k有φ(qm)=(q-1)qm-1種選取方法,i有φ(p)=(p-1)種選取方法, 該情形自同態(tài)σ有(p-1)(q-1)qm-1種選取方法.

(ii)σ(b)=bk(k=0,1,…,qm-1), 該情形自同態(tài)σ有qm種選取方法. 因此, 若σ(a)=1, 則σ(b)有[(p-1)(q-1)qm-1+qm]種選取方法.

綜上可知, |End(Gp,qm)|=((p-1)(p+q-1)+q)qm-1. 故2)得證.

下面證明非交換內(nèi)循環(huán)群Gp,qm到一般有限群同態(tài)個(gè)數(shù)滿足Asai和Yoshida猜想.

定理2設(shè)G是任意有限群,Gp,qm是有限內(nèi)循環(huán)群, 其元素定義關(guān)系同引理1, Hom(Gp,qm,G)是Gp,qm到G所有群同態(tài)構(gòu)成的集合, |Hom(Gp,qm,G)|是Gp,qm到G的所有群同態(tài)個(gè)數(shù), gcd(m,n)表示整數(shù)m,n的最大公因數(shù). 則|Hom(Gp,qm,G)|≡0(mod gcd(qm,|G|).

證明: 由引理2,σ∈Hom(Gp,qm,G)可分為下列兩種情形計(jì)算|Hom(Gp,qm,G)|：

情形1) |{σ∈Hom(Gp,qm,G)|ord(σ(a))=p}|≡0(mod gcd(qm,|G|)).

由引理3, 若σ∈Hom(Gp,qm,G)且滿足ord(σ(a))=p, 則Gp,qm與σ(Gp,qm)同構(gòu), 再由定理1,Gp,qm到σ(Gp,qm)的同構(gòu)個(gè)數(shù)為(p-1)pqm-1. 由群同態(tài)的基本性質(zhì)和Lagrange定理, 可設(shè)t=|G/σ(Gp,qm)|為整數(shù), 計(jì)算可得

|{σ∈Hom(Gp,qm,G)|ord(σ(a))=p}=t((p-1)(p+q-1)+q)qm-1.

由引理1中4), 有q|(p-1), 因此

|{σ∈Hom(Gp,qm,G)|ord(σ(a))=p}|≡0(mod gcd(qm,|G|)).

情形2) |{σ∈Hom(Gp,qm,G)|ord(σ(a))=1}|≡0(mod gcd(qm,|G|)).

|{σ∈Hom(Gp,qm,G)|ord(σ(a))=1}|≡0(mod gcd(qm,|G|)).

綜上可知, 對(duì)于任意有限群G, 均有|Hom(Gp,qm,G)|≡0(mod gcd(qm,|G|))成立.