矩陣環(huán)的乘法導(dǎo)子

王靈燕, 徐曉偉

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

設(shè)R是環(huán), 如果對任意的x,y∈R, 均有f(xy)=f(x)f(y), 則稱映射f: R→R為R上的乘法映射； 如果對任意的x,y∈R, 均有δ(xy)=δ(x)y+xδ(y)，則稱映射δ: R→R為R上的乘法導(dǎo)子. 映射f: R→R是R的自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)f是R上的乘法雙射, 且是加性映射; 映射δ: R→R是R上的導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)δ是R上的乘法導(dǎo)子, 且是加性映射.

目前, 關(guān)于環(huán)上乘法雙射是加性映射的研究已有很多結(jié)果： 文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]分別給出了環(huán)上乘法雙射是加性映射(同構(gòu))的充分條件; 文獻(xiàn)[3]從冪等元的角度給出了環(huán)上乘法雙射是加性映射(同構(gòu))的充分條件; 文獻(xiàn)[4]改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]的結(jié)果； 文獻(xiàn)[5]研究了環(huán)上的乘法導(dǎo)子, 證明了當(dāng)有單位元1的結(jié)合環(huán)R滿足如下條件時(shí), R上的乘法導(dǎo)子是加性映射(R上的導(dǎo)子): R的左零化子為零, 且有冪等元e≠0,1, 使得eR的右零化子是零, 且對任意x∈R, 若exeR(1-e)=0, 則必有exe=0. 注意到當(dāng)n≥2時(shí), 有單位元1的結(jié)合環(huán)上的n階矩陣環(huán)滿足上述條件, 因此其上的乘法導(dǎo)子是導(dǎo)子； 文獻(xiàn)[6]研究了拓?fù)淇臻gX上的全體實(shí)(復(fù))連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的代數(shù)R=C(X)上的乘法導(dǎo)子, 并當(dāng)X滿足一定條件時(shí), 給出了R=C(X)上乘法導(dǎo)子的結(jié)構(gòu); 文獻(xiàn)[7]研究了交錯(cuò)環(huán)上乘法導(dǎo)子是加性映射(導(dǎo)子)的條件; 文獻(xiàn)[8]給出了含非平凡冪等元的素環(huán)R上導(dǎo)子的一個(gè)判別條件, 并證明了如果映射δ: R→R 滿足對任意(x,y)∈A ?R×R, 有δ(xy)=δ(x)y+xδ(y), 則δ是導(dǎo)子, 其中

A={(x,y)∈R×R|([x,y]y)2=0};

文獻(xiàn)[9]定義了環(huán)到其上雙模的乘法導(dǎo)子: 設(shè)M是環(huán)R上的雙模, 如果對任意x,y∈R, 有δ(xy)=δ(x)y+xδ(y), 則稱映射δ:R→M為乘法導(dǎo)子, 并證明了當(dāng)R含有一個(gè)滿足6個(gè)條件的冪等元時(shí), 則R到其雙模M的乘法導(dǎo)子是加性的.

設(shè)S是環(huán)R的乘法閉子集, 即對任意x,y∈S, 總有xy∈S. 如果對任意x,y∈S, 總有δ(xy)=δ(x)y+xδ(y), 則稱映射δ: S →R為乘法導(dǎo)子. 上述研究表明, R上的導(dǎo)子限制在S上是S到R的乘法導(dǎo)子, 但不確定S到R的乘法導(dǎo)子是否為R上導(dǎo)子的限制. 文獻(xiàn)[10]證明了當(dāng)R是二元域上的2階矩陣環(huán), S為全體可逆矩陣構(gòu)成的乘法閉子集時(shí), 乘法導(dǎo)子δ: S →R是R上導(dǎo)子的限制.

本文考慮一般的有單位元1的結(jié)合環(huán)R上的n階矩陣環(huán)R=Mn(R), 研究其乘法閉子集S到R的乘法導(dǎo)子, 給出S =eR到R乘法導(dǎo)子的結(jié)構(gòu), 這里e為對角線上前r個(gè)元素均為1, 其余元素均為0的n階對角矩陣, 1≤r

例1設(shè)為實(shí)數(shù)域, R=M2(),定義映射δ: S →R, 使得

易驗(yàn)證δ是乘法導(dǎo)子, 但不是加性映射.

因?yàn)楸疚目紤]的R的乘法閉子集S恰為R的子環(huán), 因此R也可視為環(huán)S上的雙模, 從而本文所討論的問題也可置于文獻(xiàn)[9]的框架下, 但例1表明S到R的乘法導(dǎo)子一般不是加性的, 即文獻(xiàn)[9]的結(jié)論不能涵蓋本文的結(jié)論.

設(shè)R是環(huán),r,s是正整數(shù),Rr×s表示R上全體r×s矩陣構(gòu)成的集合. 特別地, 可用Ms(R)表示Rs×s, 此時(shí)Ms(R)也是環(huán), 稱為R上的s階矩陣環(huán). 用I表示單位矩陣,eij表示(i,j)分量為1、 其余分量均為0的矩陣單位, 其階數(shù)為其所在矩陣環(huán)的階數(shù).

設(shè)R是環(huán), 對于x,y∈R, 記[x,y]=xy-yx. 對于x0∈R, 用ad(x0)表示由x0誘導(dǎo)的R的內(nèi)導(dǎo)子, 即對任意的x∈R, 有ad(x0)(x)=[x0,x]. 若τ是R上的導(dǎo)子, 則對正整數(shù)n,τ誘導(dǎo)了一個(gè)Mn(R)上的導(dǎo)子τn, 使得

設(shè)R是環(huán),M,N都是左R模, 如果對任意a∈R及任意x∈M, 都有f(ax)=af(x), 則稱f:M→N是左R映射. 如果左R映射f還是加性映射，則f是左R模同態(tài). 因此, 左R映射可理解為左R模同態(tài)的弱化. 用Der×(S,R)表示S到R全體乘法導(dǎo)子構(gòu)成的集合.

引理1設(shè)R是環(huán), S是R的乘法閉子集, Z是R的中心, 則Der×(S,R)是Z-模.

證明: 因?yàn)镸ap(S,R)={f|f是S到R的映射}是Z-模, 且Der×(S,R)是Map(S,R)的非空子集. 因此, 只需證Der×(S,R)是Map(S,R)的子模, 即只需證Der×(S,R)關(guān)于加法和純量乘法都封閉, 從而只需證對任意δ1,δ2∈Der×(S,R)和任意的λ1,λ2∈Z, 都有

λ1δ1+λ2δ2∈Der×(S,R).

事實(shí)上, 對任意x,y∈S, 有

表明λ1δ1+λ2δ2∈Der×(S,R), 結(jié)論得證.

引理2設(shè)n,r是整數(shù), 且滿足1≤r

證明: 由文獻(xiàn)[11]中定理2知, 存在z0∈Mr(R)及R上的導(dǎo)子τ, 使得

μr=ad(z0)+τr,

這里τr表示τ誘導(dǎo)的Mr(R)上的導(dǎo)子. 令μn=ad(x0)+τn, 其中:τn表示τ誘導(dǎo)的Mn(R)上的導(dǎo)子;

則

證畢.

1) 當(dāng)1

δ(x)=(μ(z)+d(z))e11.

δ(e)=δ(e2)=δ(e)e+eδ(e).

(1)

將式(1)兩邊同時(shí)左右乘e, 得eδ(e)e=2eδ(e)e, 則eδ(e)e=0. 將式(1)兩邊同時(shí)左右乘(1-e), 得

(1-e)δ(e)(1-e)=0.

表明

其中:u∈Rr×(n-r);v∈R(n-r)×r. 令

則ad(B)(e)=[B,e]=δ(e). 由ad(B),δ∈Der×(S,R)及引理1知,

δ1=δ-ad(B)∈Der×(S,R),

且δ1(e)=0. 對任意z∈Rr×r, 由δ1(e)=0知

從而存在映射μr:Mr(R)→Mr(R), 使得

進(jìn)一步, 對任意z,z′∈Mr(R), 有

表明μr∈Der×(Mr(R),Mr(R)).

當(dāng)1

證明: 任給

其中：z∈Rr×r;u∈Rr×(n-r);y,y′∈Rr×n. 則一方面, 有

另一方面, 有

從而對任意x∈S, 有δ2(x)=δ2(ex)=eδ2(x), 即δ2(x)∈S. 進(jìn)而有eδ2(x)e=δ2(exe)=0, 即

其中u∈Rr×(n-r). 于是有映射φ:Rr×n→Rr×(n-r), 使得

對任意z∈Rr×r,y∈Rr×n, 有

必要性得證. 證畢.

證明: 對任意的

一方面, 有

另一方面, 有

定理2設(shè)n>1是整數(shù),R是有單位元1的結(jié)合環(huán), S =e11R ?R=Mn(R)是R的乘法閉子集. 則δ∈Der×(S,R)當(dāng)且僅當(dāng)存在R上的導(dǎo)子μ和R上的乘法導(dǎo)子d以及左R映射φ:R1×n→R1×(n-1), 使得

即

從而對任意x∈S, 有δ2(x)=δ2(e11x)=e11δ2(x), 即δ2(x)∈S. 進(jìn)而有e11δ2(x)e11=δ2(e11xe11)=0, 即

其中u∈R1×(n-1). 于是有映射φ:R1×n→R1×(n-1), 使得

對任意z∈R,y∈R1×n, 有

必要性得證. 證畢.