新疆維吾爾族小學(xué)生解決小數(shù)除法問(wèn)題錯(cuò)誤的個(gè)案調(diào)查

范文貴 迪麗努爾·亞森

（天津師范大學(xué)教育學(xué)部,天津 300387；新疆喀什地區(qū)澤普縣賽力鄉(xiāng)中心小學(xué)，新疆 喀什 844800）

國(guó)家很重視新疆的教育事業(yè)的發(fā)展，在黨的優(yōu)惠政策下新疆的教育蓬勃發(fā)展?！吧贁?shù)民族教育事業(yè)對(duì)于堅(jiān)持教育公平，促進(jìn)區(qū)域、城鄉(xiāng)和各級(jí)各類教育均衡發(fā)展，以教育現(xiàn)代化支撐國(guó)家現(xiàn)代化具有非常重要的意義。”[1]為了提高新疆維吾爾族學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力，我們?cè)O(shè)計(jì)試卷進(jìn)行調(diào)查研究，探索維吾爾族學(xué)生解決小數(shù)除法問(wèn)題出現(xiàn)的錯(cuò)誤，縮小少數(shù)民族地區(qū)與發(fā)達(dá)地區(qū)數(shù)學(xué)教育的差異，有助于提升中國(guó)西部少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學(xué)教育質(zhì)量。

一、研究?jī)?nèi)容與研究設(shè)計(jì)

（一）研究?jī)?nèi)容

（1）維吾爾族小學(xué)生完成小數(shù)除法運(yùn)算出現(xiàn)的錯(cuò)誤？

（2）維吾爾族小學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤原因？

（3）為了提高維吾爾族學(xué)生小數(shù)運(yùn)算能力，教師如何教學(xué)？

（二）研究設(shè)計(jì)

通過(guò)查閱相關(guān)的文獻(xiàn)，進(jìn)行整理、分類、分析。通過(guò)給五年級(jí)維吾爾族小學(xué)生發(fā)放小數(shù)除法測(cè)試試卷，分析學(xué)生答題結(jié)果。預(yù)調(diào)查選取一個(gè)班的43名學(xué)生，作為調(diào)整試題的依據(jù)。最后確定22個(gè)實(shí)測(cè)問(wèn)題，選取5個(gè)班進(jìn)行實(shí)測(cè)。實(shí)測(cè)一共發(fā)了332份，收回了323份，即收回率為97.28%，測(cè)試時(shí)間是一節(jié)課（40分鐘）。為了深入調(diào)查且更快更直接的了解學(xué)生對(duì)小數(shù)除法問(wèn)題中存在的疑惑、困難和難點(diǎn)，對(duì)教師和學(xué)生進(jìn)行訪談，為后期的結(jié)果分析做好鋪墊與補(bǔ)充。

表1 試卷信度

在試測(cè)以后，根據(jù)學(xué)生的作答，與小學(xué)數(shù)學(xué)老師討論，我們對(duì)試題進(jìn)行了修改，所以本測(cè)試試卷有一定的效度。利用IBM SPSS Statistics 23.0對(duì)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行信度分析。分析結(jié)果如表1所示：試題的克隆巴赫Alpha系數(shù)為0.838，所以本試卷的信度較高。

二、錯(cuò)誤類型的相關(guān)分析

小數(shù)除法豎式運(yùn)算過(guò)程基本上都要經(jīng)歷小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)（對(duì)齊）、基礎(chǔ)計(jì)算（乘法、減法）、估商、文字題理解過(guò)程，不管這幾個(gè)過(guò)程出現(xiàn)的頻率大小，其中任一過(guò)程出錯(cuò)必然導(dǎo)致整個(gè)除法計(jì)算的錯(cuò)誤，而根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果也確實(shí)證明這幾點(diǎn)是維吾爾族小學(xué)生小數(shù)除法計(jì)算時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。為了了解維吾爾族學(xué)生解決小數(shù)除法問(wèn)題的錯(cuò)誤類型之間的相關(guān)密切程度，對(duì)它們進(jìn)行了皮爾遜相關(guān)分析。具體結(jié)果見(jiàn)表2：

表2：小數(shù)除法總失分與各錯(cuò)誤類型之間的相關(guān)性

結(jié)果表明：小數(shù)除法錯(cuò)誤與各錯(cuò)誤類型之間均呈現(xiàn)顯著正相關(guān)（p＜0.01），其中學(xué)生完成除法的基礎(chǔ)計(jì)算相關(guān)性 最強(qiáng)（系數(shù) 為0.829），說(shuō)明基礎(chǔ)計(jì)算是小數(shù)除法計(jì)算過(guò)程中的難點(diǎn)，對(duì)小數(shù)除法錯(cuò)誤率貢獻(xiàn)最大；與其他三種錯(cuò)誤類型之間呈現(xiàn)中低度相關(guān)，相關(guān)性從高到低依次為依次為文字題理解（系數(shù)為0.612）、估商（系數(shù)為0.508），小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)（系數(shù) 為0.396），各錯(cuò) 誤類型之間也存在一定的相關(guān)，但相關(guān)程度低。

三、錯(cuò)誤類型質(zhì)性分析

（一）小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的錯(cuò)誤

如圖1，當(dāng)遇到被除數(shù)13小于除數(shù)25時(shí)，學(xué)生在被除數(shù)補(bǔ)了“0”卻沒(méi)有在商寫(xiě)“0”。當(dāng)試商為5時(shí)，5×25等于125，這時(shí)商5應(yīng)該跟“13.0”的“0”對(duì)齊，但是學(xué)生沒(méi)有對(duì)齊數(shù)位，導(dǎo)致商出錯(cuò)。學(xué)生沒(méi)有深刻理解小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的目的，沒(méi)有真正理解小數(shù)基本性質(zhì)以及商不變的基本性質(zhì)。學(xué)生不能靈活地處理小數(shù)點(diǎn)，根源在于不理解小數(shù)除法計(jì)算法則。由于維語(yǔ)與國(guó)家通用語(yǔ)言文字互譯差異。這是導(dǎo)致維吾爾族學(xué)生理解“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”存在困難的原因之一。

圖1

圖2

圖3

有的學(xué)生在對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤（如圖2），在估商時(shí)，當(dāng)30不夠34除時(shí)學(xué)生沒(méi)有學(xué)會(huì)用0占位，此題錯(cuò)誤率較高。有的維吾爾族小學(xué)生把“3.05”讀作“三點(diǎn)五”，把“3.50007”讀作“三點(diǎn)五十千七”。[2]維吾爾族學(xué)生過(guò)去的小數(shù)讀法影響他們進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí)商中補(bǔ)0.

從圖3可看，把除數(shù)3.5擴(kuò)大10倍，再把被除數(shù)695.8擴(kuò)大10倍。學(xué)生進(jìn)行豎式計(jì)算時(shí)，商1跟5對(duì)齊了，因此數(shù)位沒(méi)對(duì)齊而導(dǎo)致小數(shù)點(diǎn)的位置點(diǎn)錯(cuò)。所以該學(xué)生主要是在計(jì)算時(shí)小數(shù)點(diǎn)的位置不對(duì)，導(dǎo)致整個(gè)運(yùn)算結(jié)果是錯(cuò)的。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，常常需要同時(shí)接觸數(shù)學(xué)符號(hào)與自然語(yǔ)言，他們必須在這兩種語(yǔ)言交互作用的復(fù)雜數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行思考與詮釋。[3]我們?cè)L談教師，他們認(rèn)為：維語(yǔ)從右向左寫(xiě)的順序影響學(xué)生解決豎式除法數(shù)位從左向右對(duì)齊。

（二）估商錯(cuò)誤

如圖4，考查學(xué)生解題過(guò)程，發(fā)現(xiàn)：商的第一位是4的學(xué)生忽略了余數(shù)30大于除數(shù)25，這是由于估商錯(cuò)誤導(dǎo)致解題出錯(cuò)。由此判斷學(xué)生缺乏除法余數(shù)不可以比除數(shù)大的概念。學(xué)生往往在用5以上數(shù)字（圖5）試商時(shí)存在困難較多，試商數(shù)字越大，出錯(cuò)可能性越高，而且還與除數(shù)大小有關(guān)。試商的數(shù)字偏大時(shí)，學(xué)生在估商時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，說(shuō)明學(xué)生的口算和估算能力需要提高。除法運(yùn)算中，估商一步的錯(cuò)誤就會(huì)導(dǎo)致整體的錯(cuò)誤。

圖4

圖5

圖6

（三）基本計(jì)算技能錯(cuò)誤

Henrietta Holland研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在除法豎式計(jì)算上的困難主要是由于計(jì)算過(guò)程本身的困難，以及學(xué)生對(duì)乘法減法、甚至加法的理解及應(yīng)用有困難而造成的。[4]學(xué)生在完成商和除數(shù)相乘時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，主要原因是他們不能熟記乘法口訣與簡(jiǎn)單的口算。除法運(yùn)算涉及連續(xù)進(jìn)位或者不連續(xù)進(jìn)位乘法，如（圖6），第二步，學(xué)生錯(cuò)誤地給出8×28=204，乘法運(yùn)算涉及乘法口訣計(jì)算，還需要靈活地進(jìn)行加法計(jì)算，特別是進(jìn)位加法，這個(gè)錯(cuò)誤說(shuō)明學(xué)生沒(méi)有掌握進(jìn)位加法技能。

圖7

圖8

除法運(yùn)算還涉及減法運(yùn)算，特別是連續(xù)退位減法，如（圖7），第三步，有的學(xué)生給出210-196=114，計(jì)算百位時(shí)忽視退位，直接用被減數(shù)減減數(shù)，導(dǎo)致錯(cuò)誤。David,M.M.研究結(jié)果表明：學(xué)生解決退位減法最頻繁出現(xiàn)的錯(cuò)誤模式來(lái)自于缺乏對(duì)位值制數(shù)字系統(tǒng)的意義理解。[5]學(xué)生雖然知道被減數(shù)不夠減要借位，但是卻忘記退位，導(dǎo)致出錯(cuò)。在解題時(shí)，學(xué)生在認(rèn)知負(fù)荷較大的步驟上產(chǎn)生較多的錯(cuò)誤，其錯(cuò)誤的原因并非沒(méi)有掌握有關(guān)的解題規(guī)則，而是其工作記憶的容量有限的緣故。[6]

如圖8，通過(guò)對(duì)商得4.2的學(xué)生訪談發(fā)現(xiàn)，他不是粗心而在商中丟“0”，而是就覺(jué)得商中不應(yīng)該有“0”，該學(xué)生只知道當(dāng)余數(shù)不夠除時(shí)在余數(shù)后面填“0”，而對(duì)商中補(bǔ)“0”的情況學(xué)生還是沒(méi)有掌握清楚。

問(wèn)題“（0.54+2.4）÷0.6=？”錯(cuò)誤案例分析.

基本運(yùn)算錯(cuò)誤。如圖9，例如，0.9+4誤算成1.3，影響視覺(jué)因素可能是0.9在加號(hào)前面，4在加號(hào)后面，所以受數(shù)據(jù)的影響，將答案寫(xiě)成1.3。圖10，學(xué)生雖然算對(duì)了2.94，但是當(dāng)2.94÷0.6時(shí)誤算得了49。這是屬于計(jì)算方面的錯(cuò)誤類型。

圖9

圖10

圖11

如圖11，雖然商沒(méi)錯(cuò)，但是把1.04545......的循環(huán)節(jié)表示為第二個(gè)45，并非是第一個(gè)，還有其他學(xué)生犯的也是這種錯(cuò)誤。循環(huán)小數(shù)是無(wú)限小數(shù)，小數(shù)部分重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是循環(huán)節(jié)，循環(huán)節(jié)的表示方法有兩種，一種可以寫(xiě)出幾組循環(huán)節(jié)加上省略號(hào)；一種可以寫(xiě)出一組循環(huán)節(jié)，在循環(huán)節(jié)首位末位數(shù)字上加上小圓點(diǎn)。測(cè)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生或者不表示循環(huán)節(jié)，或者出現(xiàn)兩種表示方法混用，或者小圓點(diǎn)的位置表示錯(cuò)誤。

（四）數(shù)學(xué)文字題理解錯(cuò)誤

所有形式的知識(shí)都是透過(guò)語(yǔ)言傳遞的。解決文字題關(guān)鍵環(huán)節(jié)是把文字語(yǔ)言的表述翻譯成潛在的數(shù)學(xué)符號(hào)關(guān)系。數(shù)學(xué)文字題包含數(shù)學(xué)詞匯、多種語(yǔ)義結(jié)構(gòu)。維吾爾族學(xué)生的母語(yǔ)和國(guó)家通用語(yǔ)言文字在小數(shù)的語(yǔ)法、閱讀以及書(shū)寫(xiě)順序上都存在不同程度的差異，這種差異導(dǎo)致了學(xué)生數(shù)學(xué)概念理解錯(cuò)誤的發(fā)生。

1.學(xué)生不理解一些數(shù)學(xué)詞匯

問(wèn)題1：一只藍(lán)鯨的體重是一頭大象體重的35倍，一只藍(lán)鯨的體重是198.29噸，求這頭大象的體重是多少噸？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

如圖12，學(xué)生錯(cuò)誤表現(xiàn)主要是不懂題目中倍數(shù)的意義，亂用四則運(yùn)算，用35除以198.29，因此出錯(cuò)。

圖12

圖13

課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言根植于學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界上的首次經(jīng)歷以及人們與學(xué)生交流的方式。數(shù)學(xué)教育始于語(yǔ)言，發(fā)展于語(yǔ)言，它因語(yǔ)言而向前推進(jìn)，也因語(yǔ)言而受阻，而其成果也藉由語(yǔ)言來(lái)評(píng)鑒。[7]我們?cè)L談新疆維吾爾族老師：由于語(yǔ)言、海洋地域環(huán)境等因素，學(xué)生不理解“鯨”；不知道藍(lán)鯨與大象的大小，所以可能出現(xiàn)沒(méi)有分明哪個(gè)大哪個(gè)??；這道題大部分學(xué)生一看35倍，尤其是“倍”字，他們就用乘法來(lái)計(jì)算。

問(wèn)題2：老師帶250元去買(mǎi)足球（如圖13），他可以買(mǎi)幾個(gè)足球？

有的學(xué)生閱讀題目、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力不足，不能有效地認(rèn)識(shí)條件和結(jié)論。有的學(xué)生不理解題意，看不懂圖片的意思和跟文字的聯(lián)系，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

該題蘊(yùn)含著“舍尾法”。從圖14可知，雖然學(xué)生求對(duì)了商，但是最后的結(jié)果卻是錯(cuò)的。

由于學(xué)生受四舍五入的影響，因8大于5，所以進(jìn)1得了6（個(gè)足球），學(xué)生忽略了結(jié)果的客觀現(xiàn)實(shí)，沒(méi)能正確的運(yùn)用“舍尾法”。利用“舍尾法”解決問(wèn)題，體現(xiàn)考察學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)探索解決實(shí)際問(wèn)題的能力，學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與生活實(shí)際現(xiàn)象相結(jié)合，考慮到客觀現(xiàn)實(shí)的需要，使得數(shù)學(xué)結(jié)果更有實(shí)際意義。

圖14

圖15

2.學(xué)生不理解題目的語(yǔ)義結(jié)構(gòu)

問(wèn)題3：有7人在果園里摘蘋(píng)果，他們用3.5個(gè)小時(shí)一共摘了695.8千克蘋(píng)果，求1人每小時(shí)摘了多少千克蘋(píng)果？

題目語(yǔ)義結(jié)構(gòu)由多種成分組成關(guān)系結(jié)構(gòu)。語(yǔ)義結(jié)構(gòu)是造成學(xué)生理解困難的主要原因，且其影響遠(yuǎn)大于數(shù)學(xué)詞匯造成的影響。[8]面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生的錯(cuò)誤：（圖15）學(xué)生只讀題目前半段直接習(xí)慣性的3.5×7=30.5，不明白30.5表示的意思。學(xué)生不理解題意，不會(huì)審題（不理解1人每小時(shí)是什么意思）而出現(xiàn)錯(cuò)誤。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言講求簡(jiǎn)潔,將許多信息在短短的語(yǔ)句中全部呈現(xiàn)出來(lái)，因此，也造成了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的另一個(gè)特征：濃縮（condense）。雙語(yǔ)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難包括：理解復(fù)雜的問(wèn)題結(jié)構(gòu)，澄清嵌入的概念，理解教師教學(xué)，詞匯理解或情感認(rèn)同等。[9]數(shù)學(xué)語(yǔ)句的簡(jiǎn)約特征，使得學(xué)生在理解語(yǔ)句的歷程中，必須自行補(bǔ)充省略的部分，才能得到理解。

小學(xué)生在理解文字題目的國(guó)家通用語(yǔ)言文字意思時(shí)，他們?cè)跀嗑浞矫娉霈F(xiàn)問(wèn)題。不理解題意，不會(huì)審題（例如，語(yǔ)言因素：學(xué)生不理解1人每小時(shí)是什么意思）而出現(xiàn)錯(cuò)誤。維語(yǔ)語(yǔ)序和國(guó)家通用語(yǔ)言文字語(yǔ)序不同，有的學(xué)生理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言存在誤解。[10]學(xué)生要具備學(xué)科中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言間進(jìn)行轉(zhuǎn)譯的能力；教師必須知道學(xué)生在課堂中不易理解的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。這是因?yàn)檎n堂教學(xué)中，學(xué)生將國(guó)家通用語(yǔ)言文字表述的數(shù)學(xué)問(wèn)題翻譯成維語(yǔ)來(lái)理解的學(xué)生占相當(dāng)大的比例。翻譯數(shù)學(xué)語(yǔ)句的困難在于某些意義的流失，即使是最顯而易見(jiàn)、最直截了當(dāng)?shù)姆g，它的含義在不同的文化中也可能存在根本的差異。

問(wèn)題4：小頭爸爸的身高為1.71米，大頭兒子的身高為9.5分米，求小頭爸爸的身高是大頭兒子身高的多少倍？

學(xué)生混淆題目中長(zhǎng)度單位。已知量與未知量之間關(guān)系的描述方式和明確程度，以及各項(xiàng)信息的出現(xiàn)順序，會(huì)影響學(xué)生理解語(yǔ)句。數(shù)學(xué)語(yǔ)句中各語(yǔ)詞與對(duì)象用語(yǔ)透過(guò)某些聯(lián)系與排列構(gòu)成一個(gè)具有意義的語(yǔ)句。數(shù)學(xué)語(yǔ)句中，復(fù)雜的語(yǔ)法結(jié)構(gòu)是造成學(xué)生理解語(yǔ)句之困難的重要因素。[11]

如圖17，學(xué)生沒(méi)有注意單位的不同而直接列式：1.71÷9.5。有的學(xué)生換算米與分米之間的單位出現(xiàn)錯(cuò)誤，誤將9.5分米=0.095米。數(shù)學(xué)教材中所使用的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，往往每個(gè)語(yǔ)句中都含有更多的概念。學(xué)生沒(méi)有看清楚長(zhǎng)度單位不同。學(xué)生不能理解語(yǔ)句之間的關(guān)系、語(yǔ)意理解力不足。學(xué)生讀題不夠細(xì)心，沒(méi)有弄清楚題目給的信息就容易造成解題失敗。

圖16

（五）馬虎（粗心）的錯(cuò)誤

學(xué)生解決問(wèn)題過(guò)程中出現(xiàn)馬虎大意錯(cuò)誤，如抄錯(cuò)題、謄錯(cuò)答案、漏抄數(shù)據(jù)、忘記點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)等。這一類錯(cuò)誤是由學(xué)生的不良學(xué)習(xí)慣所導(dǎo)致的。學(xué)生在解題時(shí)往往慌張，甚至沒(méi)有看清題目便開(kāi)始答題，有時(shí)隨意瀏覽一下題目便開(kāi)始下筆，在答題過(guò)程中出現(xiàn)多寫(xiě)、漏寫(xiě)等錯(cuò)誤，從而降低了題目的正確率。

四、討論

有的學(xué)生由于缺乏國(guó)家通用語(yǔ)言文字能力，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題遇到困難。教師必須考慮到每個(gè)學(xué)生以前的經(jīng)歷；教師的教學(xué)方式必須促進(jìn)學(xué)生國(guó)家通用語(yǔ)言文字與他們的數(shù)學(xué)同步發(fā)展。

1.關(guān)注學(xué)生特點(diǎn)，調(diào)整教學(xué)方法。維吾爾族小學(xué)生用國(guó)家通用語(yǔ)言文字學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，教師要關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，教師認(rèn)真?zhèn)湔n，預(yù)測(cè)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤。為了勝任語(yǔ)言方面的學(xué)習(xí)困難，盡一切辦法排除語(yǔ)言的阻礙。

2.培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力。計(jì)算能力的基礎(chǔ)是乘法口訣，若計(jì)算基礎(chǔ)出現(xiàn)問(wèn)題，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程會(huì)遇到許多麻煩，所以老師重視提高學(xué)生口算能力。

3.學(xué)生理解概念性知識(shí)。數(shù)學(xué)是需要理解的學(xué)科，而不是死記硬背。對(duì)維吾爾族小學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念部分的理解有一定的困難，所以教師應(yīng)該充分了解學(xué)生已有知識(shí)的情況，不要忽略概念部分的講解，用簡(jiǎn)單易懂的術(shù)語(yǔ)給學(xué)生講清楚概念的含義。除此之外，教師要注意：讓學(xué)生理解“倍、循環(huán)節(jié)、四舍五入、進(jìn)一舍尾”等概念的含義。