鐮刀型曲線的顯式表達(dá)式
—— 作為曲線收縮流解

張文俊

(溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院，浙江溫州 325035)

1 曲線收縮流的兩類特殊解

曲線收縮流方程為[1]：

其中k(u,t)是曲線的曲率，N(u,t)是曲線F(u,t)的單位內(nèi)法向量．它是平均曲率流和高斯曲率流的典例，與之相關(guān)的文獻(xiàn)如[2]和[3]等．此方程看似簡(jiǎn)單，但能寫出其顯式解的卻很少，經(jīng)典文獻(xiàn)可參考[4]．

引理1F(s)是直線等價(jià)于曲率k恒等于0[5]．

定理1 直線方程是曲線收縮流方程（1）的解．

證明：直線的幾何形狀不隨時(shí)間的變化而變化（即直線的方程不依賴于時(shí)間），又由引理1可知，直線的曲率恒為零，不難驗(yàn)證直線是方程（1）的解．

引理2F(u)是半徑為a的圓等價(jià)于曲率k恒等于常數(shù)．

證明：不妨設(shè)F(u,t)=(a(t)cosu,a(t)sinu)，由于，可得單位切向量T=(?sinu,cosu)，單位法向量由單位切向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到[6]，即：

由引理2可得F(u,t)=(a(t)cosu,a(t)sinu)的曲率，即有方程

2 鐮刀型曲線和曲線收縮流

以下我們考慮鐮刀型曲線：

在下述意義下亦即方程（1）的顯式解．

引理3 令向量T和向量N分別是鐮刀型曲線γ(x,t)的單位切向量和單位內(nèi)法向量，其中γ(x,t)滿足：

可得k=cosx．聯(lián)立方程（5）和（4）可得：．

注意到方程（2）和（1）相差一項(xiàng)切向量，因發(fā)展曲線切向量上的分量不影響其在發(fā)展過(guò)程中的幾何形狀，故我們可采用變量代換的方法來(lái)忽略此項(xiàng)．在曲線流奇點(diǎn)研究中，鐮刀型曲線發(fā)揮著極其重要的作用，寫出其作為方程（1）的解的顯式表達(dá)有必要且具有價(jià)值．

定理3 鐮刀型曲線滿足曲線收縮流方程（1），對(duì)任意的t∈(?∞,+∞)．

證明：為證鐮刀型曲線為最初曲線收縮流（1）的解，引入明確的參數(shù)表示，令x=φt(u)且F(u,t)=γ(φt(u),t)，則有：

在方程（7）中，我們把u當(dāng)作常量，然后解下述帶有初值的常微分方程：

在方程（8）中，左右兩邊同時(shí)對(duì)t進(jìn)行積分可得：

其中C(u)是關(guān)于u的函數(shù)且依賴于初值，令φ0=u，則有C(u)=log|tanu|，并且log|tanφt|=log(e?t|tanu|)，最后我們得到方程（8）的解：

3 鐮刀型曲線的Frenet標(biāo)架

這里u∈(?∞,+∞)，并且t∈R．任意給定的Frenet標(biāo)架不依賴于其參數(shù)的表達(dá)，方程（2），（6），（10）參數(shù)化的鐮刀型曲線的Frenet標(biāo)架相同．

則Ft(u)的弧長(zhǎng)微分可寫成如下形式：

并且Ft(u)的單位切向量和單位法向量分別為：

通過(guò)方程（11）可以得知，當(dāng)u固定（u為一常數(shù)）時(shí)，可以得到鐮刀型曲線曲率的極限，即．