如何正確運用Z檢驗——總體方差已知時兩算術(shù)均值比較一般差異性Z檢驗及SAS實現(xiàn)

胡良平

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

當(dāng)研究者收集到單組設(shè)計或成組設(shè)計一元定量資料時，若分析目的是對定量的效應(yīng)指標(biāo)（通常為均值）進(jìn)行一般差異性檢驗，此時，人們依據(jù)定量資料所滿足的前提條件，擬從以下幾種假設(shè)檢驗方法中選擇一個最合適的，即“Z檢驗”“t檢驗”或“秩和檢驗”。本文將重點闡述選擇“Z檢驗”的要領(lǐng)和用SAS實現(xiàn)計算的方法。

1 選用Z檢驗的前提條件

1.1 單組設(shè)計一元定量資料及選用Z檢驗的前提條件

【例1】文獻(xiàn)［1］的目的是探討新冠肺炎疫情期間封閉管理精神科醫(yī)護(hù)人員焦慮抑郁癥狀及相關(guān)因素，為改善其心理健康狀況提供參考。通過問卷調(diào)查的方式收集了包括“性別、年齡、職業(yè)、受教育程度”等12個變量（即項目）及其取值，涉及到兩個量表，分別為“廣泛性焦慮量表（簡稱GAD-7）”和“患者健康問卷抑郁量表（簡稱PHQ-9）”。共發(fā)放問卷124份，回收有效問卷121份?，F(xiàn)假定全部121例受試者的PHQ-9評分的樣本均值=5.12，該定量指標(biāo)總體方差σ2=22；進(jìn)一步假定PHQ-9評分的總體均值μ0=5.10。

針對評價指標(biāo)“PHQ-9”，設(shè)文獻(xiàn)［1］中樣本（指n=121例受試者的PHQ-9測定值）所抽自的總體均值為μ（未知），試回答下列3個問題。

問題1：μ是否小于或等于μ0？

問題2：μ是否大于或等于μ0？

問題3：μ是否等于μ0？

以上3個問題可以采用統(tǒng)計學(xué)上“零假設(shè)”與“備擇假設(shè)”嚴(yán)格地呈現(xiàn)出來：

式（1）叫做上（或右）單側(cè)檢驗，式（2）叫做下（或左）單側(cè)檢驗，而式（3）叫做雙側(cè)檢驗。這里的“名詞概念（指上、下、雙側(cè)檢驗）”是基于“備擇假設(shè)”而得出的。

解決上述3個問題都可采用Z檢驗，其檢驗統(tǒng)計量完全相同，但拒絕域（概念詳見后文）是不同的；使用Z檢驗的前提條件：樣本所抽自的總體為正態(tài)分布（但總體均值μ是未知的），總體方差為已知的常數(shù)（例如在題干中已假定σ2=22）；同時，還需要給定待檢驗的總體均值（例如在題干中已假定μ0=5.10）。

1.2 成組設(shè)計一元定量資料及選用Z檢驗的前提條件

【例2】假定文獻(xiàn)［1］中全部121例受試者中“行為類型”為“B型和中間型”的PHQ-9評分的樣本均值±s1=4.41，n1=98；“A型”的PHQ-9評分的樣本均值±s2=8.18，n2=23。進(jìn)一步假定：該定量指標(biāo)在兩個總體中的方差分別為。

針對評價指標(biāo)“PHQ-9”，設(shè)文獻(xiàn)［1］中兩組樣本分別為：

第1組樣本（指n=98例“B型和中間型”受試者的PHQ-9評分）所抽自的總體均值μ1；第2組樣本（指n=23例“A型”受試者的PHQ-9評分）所抽自的總體均值μ2。

試回答下列3個問題：

問題4：μ1是否小于或等于μ2？

問題5：μ1是否大于或等于μ2？

問題6：μ1是否等于μ2？

以上3個問題可以采用統(tǒng)計學(xué)上“零假設(shè)”與“備擇假設(shè)”嚴(yán)格地呈現(xiàn)出來：

式（4）叫做上（或右）單側(cè)檢驗，式（5）叫做下（或左）單側(cè)檢驗，而式（6）叫做雙側(cè)檢驗。這里的“名詞概念（指上、下、雙側(cè)檢驗）”是基于“備擇假設(shè)”而得出的。

解決上述3個問題都可以采用Z檢驗，其檢驗統(tǒng)計量是完全相同的，但拒絕域（概念詳見后文）是不同的；使用Z檢驗的前提條件：各樣本均抽自正態(tài)分布總體（但各總體均值μ1、μ2都是未知的），各總體方差均為已知的常數(shù)（例如，在題干中已假定兩個總體的方差分別為）。

2 單組設(shè)計一元定量資料Z檢驗及SAS實現(xiàn)

2.1 Z檢驗統(tǒng)計量

對服從正態(tài)分布的單組設(shè)計一元定量資料進(jìn)行均值比較，若已知總體方差并給定定量評價指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)值（即理論均值μ0）時，其對應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量見下式：

式（7）中的Z～N(0，1)。

2.2 拒絕域

依據(jù)隨機(jī)變量的概率分布（本文指“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布”），在其橫坐標(biāo)軸上確定一個范圍或區(qū)間，當(dāng)檢驗統(tǒng)計量所代表的隨機(jī)變量（本文指“Z”）的取值落入該區(qū)間內(nèi)時，就有充足的理由（以一個較大的概率值來說話，單、雙側(cè)檢驗時均為“1-α”，其中，“α”為事先設(shè)定的檢驗水平）拒絕H0，從而接受H1。在統(tǒng)計學(xué)上，就稱該區(qū)間為與特定檢驗假設(shè)對應(yīng)的“拒絕域”。

與式（1）對應(yīng)的拒絕域W見下式［2］：

與式（2）對應(yīng)的拒絕域W見下式：

與式（3）對應(yīng)的拒絕域W見下式：

【說明】在上面的三個式子中，不等號之后的內(nèi)容均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布橫坐標(biāo)軸上的“分位數(shù)”，其位置在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下左側(cè)尾端概率分別為“1-α”、“α”和“1-α/2”的橫坐標(biāo)軸上。

2.3 例1的SAS實現(xiàn)

SAS程序如下：

【程序說明】“%let”定義“宏變量”，用戶可根據(jù)資料的實際情況修改宏變量的取值；“&”后接宏變量名，表示引用宏變量；“absz”代表 z的絕對值；“za、z1_a、z1_ha”都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布橫坐標(biāo)軸上的分位數(shù)（對應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下左側(cè)的概率分別為α、1-α、1-α/2）；“α”為事先給定的顯著性水平；PU、PL和PT分別代表上單側(cè)、下單側(cè)和雙側(cè)檢驗的概率。

輸出結(jié)果的第1部分［回答上述式（1）所提出的問題］是“上單側(cè)檢驗的結(jié)果”。上單側(cè)檢驗結(jié)果的判定：若 z＞z1_a，則接受（H1：μ＞μ0）；否則，就接受（H0：μ≤μ0）；PU為上單側(cè)概率。因檢驗統(tǒng)計量z=0.046904＜1.64485，故只能接受“H0：μ≤μ0”，即認(rèn)為樣本所抽自的總體均值μ小于等于給定的均值μ0=5.10（P=0.48129＞0.05）。

輸出結(jié)果的第2部分［回答上述式（2）所提出的問題］是“下單側(cè)檢驗的結(jié)果”。下單側(cè)檢驗結(jié)果的判定：若 z＜za，則接受（H1：μ＜μ0）；否則，就接受（H0：μ≥μ0）；PL為下單側(cè)概率。因檢驗統(tǒng)計量z=0.046904＞-1.64485，故只能接受“H0：μ≥μ0”，即認(rèn)為樣本所抽自的總體均值μ大于等于給定的均值μ0=5.10（P=0.51871＞0.05）。

輸出結(jié)果的第3部分［回答上述式（3）所提出的問題］是“雙側(cè)檢驗的結(jié)果”。雙側(cè)檢驗結(jié)果的判定：若|z|＞z1_ha，則接受（H1：μ≠μ0）；否則，就接受（H0：μ=μ0）；PT為雙側(cè)概率。因檢驗統(tǒng)計量|z|=0.046904＜1.95996，故只能接受“H0：μ=μ0”，即認(rèn)為樣本所抽自的總體均值μ等于給定的均值μ0=5.10（P=0.96259＞0.05）。

3 成組設(shè)計一元定量資料Z檢驗及SAS實現(xiàn)

3.1 Z檢驗統(tǒng)計量

對服從正態(tài)分布的成組設(shè)計一元定量資料進(jìn)行均值比較，若已知兩總體方差時，其對應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量見下式：

式（11）中的Z～N(0，1)。

3.2 拒絕域

與式（4）對應(yīng)的拒絕域W見下式［2］：

與式（5）對應(yīng)的拒絕域W見下式：

與式（6）對應(yīng)的拒絕域W見下式：

3.3 例2的SAS實現(xiàn)

SAS程序如下：

【程序說明】顯著性水平alpha=0.01，其他同“例1中的SAS程序說明”，從略。

輸出結(jié)果的第1部分［回答上述式（4）所提出的問題］是“上單側(cè)檢驗的結(jié)果”。上單側(cè)檢驗結(jié)果的判定：若 z＞z1_a，則接受（H1：μ1＞μ2）；否則，就接受（H0：μ1≤μ2）；PU為上單側(cè)概率。因檢驗統(tǒng)計量z=-5.24819＜2.32635，故只能接受“H0：μ1≤μ2”，即認(rèn)為受試者中“行為類型”為“B型和中間型”的PHQ-9評分的總體均值小于或等于“A型”的PHQ-9評分的總體均值（P=1＞0.05）。

輸出結(jié)果的第2部分［回答上述式（5）所提出的問題］是“下單側(cè)檢驗的結(jié)果”。下單側(cè)檢驗結(jié)果的判定：若 z＜za，則接受（H1：μ1＜μ2）；否則，就接受（H0：μ1≥μ2）；PL 為下單側(cè)概率。因檢驗統(tǒng)計量z=-5.24819＜-2.32635，故拒絕“H0：μ1≥μ2”，接受“H1：μ1＜μ2”，即認(rèn)為受試者中“行為類型”為“B型和中間型”的PHQ-9評分的總體均值小于“A型”的PHQ-9評分的總體均值（P=7.6799E-8＜0.01）。

輸出結(jié)果的第3部分［回答上述式（6）所提出的問題］是“雙側(cè)檢驗的結(jié)果”。雙側(cè)檢驗結(jié)果的判定：若|z|＞z1_ha，則接受（H1：μ1≠μ2）；否則，就接受（H0：μ1=μ2）；PT為雙側(cè)概率。因檢驗統(tǒng)計量|z|=5.24819＞2.57583，故拒絕“H0：μ1=μ2”，接受“H1：μ1≠μ2”，即認(rèn)為受試者中“行為類型”為“B型和中間型”的PHQ-9評分的總體均值不等于“A型”的PHQ-9評分的總體均值。再結(jié)合實際數(shù)據(jù)，可得出結(jié)論：前者均值小于后者均值（P=0.000000154＜0.01）。

4 討論與小結(jié)

4.1 討論

在解決實際問題時，一般對同一個問題只需要實施上述三個檢驗（指“上單側(cè)”“下單側(cè)”和“雙側(cè)”檢驗）中的某一個，而不是三個都同時要實施。一般來說，僅在已知總體服從正態(tài)分布且總體方差已知的條件下，均值比較才適合選用“Z檢驗”，否則，應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇“t檢驗”或“秩和檢驗”［3］。

通常情況下，進(jìn)行一般差異性檢驗時都采取“雙側(cè)檢驗”，因為雙側(cè)檢驗比單側(cè)檢驗保守一些。而僅在有“專業(yè)知識為依據(jù)的場合下”，才可以采取“單側(cè)檢驗”。例如，若在臨床上可以認(rèn)為“某兩種藥合用的效果”肯定比“單用其中一種藥的效果”好，進(jìn)行一般差異性檢驗時，可以考慮選用“單側(cè)檢驗”（若擬進(jìn)行非劣效性檢驗或優(yōu)效性檢驗，其本身就要求進(jìn)行單側(cè)檢驗）。在選擇采取“上單側(cè)檢驗”還是“下單側(cè)檢驗”時，需結(jié)合具體問題以及將何者視為第1組，在此基礎(chǔ)上，再結(jié)合“備擇假設(shè)”來確定“具體方向（指‘上’還是‘下’單側(cè)檢驗）”。實際問題提示的方向應(yīng)與“備擇假設(shè)的方向”一致。例如，在本文例2中，若有理由進(jìn)行單側(cè)檢驗，則宜選用“下單側(cè)檢驗”。

4.2 小結(jié)

本文結(jié)合兩個實例，介紹了單組設(shè)計和成組設(shè)計條件下一元定量資料一般差異性Z檢驗及SAS實現(xiàn)。對常規(guī)的“雙側(cè)檢驗”及兩種“單側(cè)檢驗”都進(jìn)行了介紹，以期為實際工作者合理選擇假設(shè)檢驗方法開闊了思路、提供更多的備選方案。雖然本文所介紹的方法計算量并不大，但不便于直接采用國際通用的統(tǒng)計軟件（SAS、SPSS、R等）［4-7］來實現(xiàn)。