淺議大數(shù)定律教學(xué)

周江霖

摘 要：概率論是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的學(xué)科，在本門(mén)學(xué)科中大數(shù)定律是一個(gè)很抽象的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中很吃力，不容易理解和掌握。但大數(shù)定律又是概率中非常重要的一個(gè)結(jié)論，也是聯(lián)系概率與統(tǒng)計(jì)的橋梁，統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)很多時(shí)候依賴(lài)的一條定律，本文就教學(xué)過(guò)程中關(guān)于大數(shù)學(xué)定律的講解做了分析研究，得出如何來(lái)捋順講課思路，讓學(xué)生更好的掌握大數(shù)定律。

關(guān)鍵詞：大數(shù)定律;概率論;極限

一、大數(shù)定律課堂講解

（一）大數(shù)定律

在概率論教學(xué)中，涉及到大數(shù)定律，這是一個(gè)很抽象的內(nèi)容，是一種描述當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，所呈現(xiàn)出來(lái)的必然的規(guī)律。一般大數(shù)定律分為弱大數(shù)定律和強(qiáng)大數(shù)定律。實(shí)質(zhì)是在大量的隨機(jī)試驗(yàn)中，由于多次隨機(jī)試驗(yàn)，每一次試驗(yàn)結(jié)果都具有隨機(jī)性，偶然性，這些偶然性相互抵消又相互補(bǔ)償，因而其平均結(jié)果趨于穩(wěn)定，這個(gè)定律就是來(lái)闡述這個(gè)穩(wěn)定性的。

（二）課堂引入

教師可以從一個(gè)有趣的引入入手，就是香港賭王何鴻燊，于2020年5月26日逝世，網(wǎng)絡(luò)報(bào)道留下了總資產(chǎn)5000億元。想想這筆巨資，全國(guó)14億人，每人給我360元，我才能成為下一個(gè)賭王，或者每年中一次五千萬(wàn)的彩票，要連續(xù)中一萬(wàn)年?；蛘咭惶?65天每天中一次500萬(wàn)，要200多年。為什么賭王何鴻燊積累了如此龐大的財(cái)富，因?yàn)楹芏嘈』锇檎J(rèn)為賭博靠的是運(yùn)氣，實(shí)際上，任何一個(gè)賭徒，無(wú)論他所謂的“運(yùn)氣”有多好，他都不可能會(huì)贏，因?yàn)槿魏我粋€(gè)賭徒永遠(yuǎn)贏不了“大數(shù)定律”，規(guī)律起作用了，人永遠(yuǎn)戰(zhàn)勝不了規(guī)律。從這個(gè)大家關(guān)注的人物開(kāi)始引入我們大數(shù)定律，從而吸引學(xué)生的求知欲。有了這個(gè)引入，我們接下來(lái)就介紹大數(shù)定律在概率論中到底怎么呈現(xiàn)出來(lái)的。

（三）介紹伯努利大數(shù)定理以及辛欽大數(shù)定理

這是第一次從理論上證明了為什么要用頻率去估計(jì)概率，為什么頻率的穩(wěn)定值就是概率。這個(gè)證明我們?cè)诮虒W(xué)上可以作為一個(gè)了解，不做要求，主要是讓學(xué)生了解大數(shù)定律，以及這個(gè)定律在概率論中的意義，他和中心極限定理是聯(lián)系概率和統(tǒng)計(jì)的橋梁。注意到大數(shù)定律是概率論中的用到極限的結(jié)論，這個(gè)要給學(xué)生說(shuō)清楚，這個(gè)極限和我們平時(shí)認(rèn)識(shí)的數(shù)列的極限和函數(shù)的極限不一樣，這兒本質(zhì)是一種依概率收斂。這個(gè)區(qū)別在授課時(shí)，可以用扔硬幣這個(gè)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)明，比如我們拋硬幣，硬幣落下后哪一面朝上是偶然的，但當(dāng)我們?nèi)雍芏啻我院?，?huì)發(fā)現(xiàn)偶然之中的必然性，扔了成千上萬(wàn)次之后，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，硬幣每一面向上的次數(shù)均占總次數(shù)的二分之一。作出扔硬幣試驗(yàn)中的頻率圖，以二分之一畫(huà)一條線，最終這個(gè)頻率基本上會(huì)出現(xiàn)在圍繞這條線和這個(gè)帶型區(qū)域內(nèi)，此時(shí)可以強(qiáng)調(diào)，這并不能?chē)?yán)格的從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，頻率的極限就是概率，因?yàn)槟憧梢栽谶@個(gè)帶型區(qū)域以外標(biāo)注一些點(diǎn)，很可能會(huì)出現(xiàn)一些特例，什么意思，最直白的，給學(xué)生畫(huà)出一個(gè)每次都出現(xiàn)正面，或者每次都出現(xiàn)反面，這是一種極端現(xiàn)象，但這種現(xiàn)象仍然有可能會(huì)發(fā)生。從而直觀的讓學(xué)生感受到大數(shù)定律里面的極限確實(shí)和我們平時(shí)數(shù)學(xué)分析中的極限是有所區(qū)別的。接下來(lái)介紹另外一個(gè)重要的大數(shù)定理。

弱大數(shù)定理就是辛欽大數(shù)定理：

此題的證明主要是用到切比雪夫不等式來(lái)證明，但我們不做要求，主要是讓學(xué)生了解這個(gè)結(jié)論，算術(shù)平均依概率收斂到期望的算術(shù)平均。這就是描述“平均結(jié)果”的穩(wěn)定性，“偶然”中的必然，這兩個(gè)定理就從數(shù)學(xué)上去刻劃這種穩(wěn)定性，最后總結(jié)大數(shù)定律的作用，并且結(jié)合剛才這個(gè)引例說(shuō)明，別賭了，越輸越賭，任何一個(gè)賭徒都會(huì)傾家蕩產(chǎn)，就是因?yàn)橘€場(chǎng)的規(guī)則制定好了，他的期望值，也就是獲益雖然每次看起來(lái)微乎其微，但當(dāng)大數(shù)定律起作用，也就是賭局是沒(méi)中斷，雖然人在換，但賭場(chǎng)永遠(yuǎn)在營(yíng)業(yè)，所以他最終永遠(yuǎn)是贏家。還有一個(gè)原因就是賭徒謬誤，是將原本相互獨(dú)立的隨機(jī)事件當(dāng)成了有關(guān)聯(lián)的事件。比如說(shuō)，第一次拋硬幣，是一個(gè)隨機(jī)事件，再拋一次，是另一個(gè)隨機(jī)事件。這兩次隨機(jī)事件是相互獨(dú)立而沒(méi)有關(guān)聯(lián)的，第二次的結(jié)果并不是以第一次作為條件。

二、大數(shù)定律在大數(shù)據(jù)中的應(yīng)用

并且“大數(shù)定律”中的相關(guān)理論和方法運(yùn)用于大數(shù)據(jù)分析的實(shí)踐當(dāng)中，具體而言，“大數(shù)定律”中“收斂值”的思想運(yùn)用于大數(shù)據(jù)分析中，可以使得數(shù)據(jù)分析人員明確其分析目標(biāo)，進(jìn)而在遇到干擾時(shí)，可以有效排除一些冗余的特殊值，繼而使其在更短的時(shí)間內(nèi)得出隱藏在數(shù)據(jù)信息背后的規(guī)律，一方面，可以提高工作效率，另一方面，也可以有效節(jié)省資源，避免不必要的資源浪費(fèi)，并且對(duì)于大數(shù)據(jù)分析得到結(jié)果時(shí)候，在后續(xù)的預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建過(guò)程中，也可以參考“大數(shù)定律”的相關(guān)數(shù)學(xué)思想，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)事物未來(lái)發(fā)展?fàn)顩r的預(yù)測(cè)。在大數(shù)據(jù)分析過(guò)程中，其算法的設(shè)計(jì)也可以有效借鑒“大數(shù)定律”的相關(guān)思想。這個(gè)概率論中的極限結(jié)論還有更廣泛的應(yīng)用，值得我們老師去探討，去把握如何更好的傳授這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

三、小結(jié)

總結(jié)大數(shù)定律就是在“實(shí)驗(yàn)條件”不變的情況下，當(dāng)我們 “大量重復(fù)”某一相同試驗(yàn)時(shí)，其最終的“實(shí)驗(yàn)結(jié)果”可能會(huì)穩(wěn)定在“某一個(gè)數(shù)值”附近，也就是我們從理論上解釋了“偶然”中包含著某種“必然”。讓學(xué)生在具體身邊去感知這個(gè)定律，從而讓其深刻理解此定理。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳常琦，大數(shù)定律與中心極限定理的思考與應(yīng)用[J]，教育教學(xué)研究，曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，2010

[2] 于進(jìn)偉，大數(shù)定律與中心極限定理之關(guān)系[J].高等數(shù)學(xué)研究，2001.4