“數(shù)形結(jié)合”思想在高中數(shù)學(xué)不等式求解中的應(yīng)用

一、數(shù)形結(jié)合思想概論

數(shù)學(xué)的起源就是古人研究的數(shù)形關(guān)系，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象，其在某些條件下可以互相轉(zhuǎn)換。在高中數(shù)學(xué)中，也是研究數(shù)形的關(guān)系，而數(shù)形結(jié)合就是數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，其有兩種模式：一是使用數(shù)來(lái)闡述形的特點(diǎn)和屬性，二是使用形來(lái)直觀地表示數(shù)之間的關(guān)系。

在高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的解題方法主要在三個(gè)方面。1.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問(wèn)題。2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決不等式問(wèn)題。3.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問(wèn)題。前兩種都是用形來(lái)直觀表示數(shù)之間關(guān)系的數(shù)形結(jié)合思想，第三種是使用數(shù)來(lái)闡述形的屬性特點(diǎn)。

二、數(shù)形結(jié)合思想解決不等式問(wèn)題

在不等式問(wèn)題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解答，可以避免復(fù)雜的分類討論，簡(jiǎn)化題目，直接利用幾何圖形特點(diǎn)得出答案。

例題一：設(shè)有關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a，若此不等式無(wú)解，求a的取值范圍。

解：設(shè)函數(shù)f(x)=|x-3|+|x-4|，函數(shù)g(x)=a，在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖像如下。

由函數(shù)f(x)和g(x)的圖像特征可得要使|x-3|+|x-4|＜a無(wú)解，只有使函數(shù)f(x)=|x-3|+|x-4|在函數(shù)g(x)=a的上方，或使函數(shù)g(x)=1。

所以可得a的取值范圍為(-∞，1]。

例題二：設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2ax+2，并且x∈[-1，+∞)時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍。

解：由f(x)≥a可得x2-2ax+2≥a即x2+2＞a(2x+1)。

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2，函數(shù)g(x)=a(2x+1)，作出函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖像：

由函數(shù)圖像特征可得a的取值范圍為圖中直線斜率的取值范圍。

即a∈(-3，1)。

三、數(shù)形結(jié)合思想解決平面解析幾何問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)中，平面解析幾何知識(shí)是運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思想最廣泛的知識(shí)點(diǎn)，在直線斜率、直線與圓、直線與圓錐曲線等問(wèn)題上，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題是最為簡(jiǎn)潔的。

例題一(直線斜率問(wèn)題)：直線L過(guò)點(diǎn)P(-1，2)，且與點(diǎn)A(-2，-3)、B(4，0)為端點(diǎn)的線段AB相交，求直線L的斜率的取值范圍。

在解這類題目時(shí)，先作出函數(shù)圖形：

計(jì)算直線pa的斜率k(pa)=5，直線pb的斜率k(pb)=2/5。

由函數(shù)的圖像特征可得k≥5 或k≤2/5。

例題二(直線與圓問(wèn)題)：設(shè)圓O的方程為x+y-2x+4y+4=0，直線L的方程為3x-4y+9=0，求圓O上的點(diǎn)P到直線L上的最大距離為多少。

在解這類問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能使問(wèn)題得到迅速解決：

將圓的方程配方可得(x-1)2+(y+2)2=1，由此可得圓心O為(1，-2)，半徑r=1。

由直線與圓的圖形特征可得：圓到直線的最大距離=圓心到直線的距離+半徑。

圓心O到直線L的距離d=4，由上式可得直線L到圓O的最大距離為d+r=4+1=5。