立足基本圖形的初中幾何探究復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)

【源起】

筆者觀摩了一節(jié)以初中數(shù)學(xué)課本(浙教版)八上2.2 等腰三角形的性質(zhì)的課內(nèi)練習(xí)2 為引，在九年級(jí)上的一節(jié)探究性復(fù)習(xí)課。A教師立足課本，關(guān)注探究再拓展，但學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解答暴露以下教學(xué)設(shè)計(jì)的問(wèn)題。

一、缺少學(xué)生需要的基本圖形意識(shí)和轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)

在例題與練習(xí)都是以等腰三角形為條件的情況下，但最后的練習(xí)題出現(xiàn)了等腰梯形，九年級(jí)的學(xué)生怎么也想不到把等腰梯形轉(zhuǎn)化為等腰三角形。

二、探究結(jié)論多，沒(méi)有找出各縱論之間的共性，探究?jī)r(jià)值沒(méi)有體現(xiàn)

【設(shè)計(jì)修改】

筆者以基本圖形為主線對(duì)本課的例題練習(xí)重新編排，設(shè)計(jì)問(wèn)題串，在八年級(jí)基礎(chǔ)比較一般的平行班作為等腰三角形的一節(jié)復(fù)習(xí)探究課重新講了一次，獲得了很好的效果。

環(huán)節(jié)一(初探，生成結(jié)論，形成問(wèn)題解決的基本方法)

例1.如圖1 在等腰三角形ABC中，AB=AC，P為BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到AB，AC的距離相等，請(qǐng)說(shuō)明理由。

圖1

圖2

追問(wèn)1：點(diǎn)P到兩腰的距離與等腰三角形腰上的高有什么數(shù)量關(guān)系？

追問(wèn)2：如圖2 若將底邊上的中點(diǎn)變?yōu)榈走吷先我庖稽c(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？

猜想并證明結(jié)論1：等腰三角形底邊上的點(diǎn)到兩腰的距離之和等于腰上的高。

環(huán)節(jié)二(練習(xí)鞏固，提升基本圖形的化歸能力與識(shí)別)

練習(xí)1：如圖3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點(diǎn)P在底邊BC上，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，BG⊥DC于G。證明：PE+PF=BG

圖3

圖4

圖5

教師引導(dǎo)：點(diǎn)P的情況及問(wèn)題沒(méi)有變，但圖形變了，那么怎么辦呢？

(引導(dǎo)學(xué)生把等腰梯形化為等腰三角形直接應(yīng)用結(jié)論)

練習(xí)2：如圖4，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)2，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，BE=BC，P是EC上任意一點(diǎn)，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，求PM+PN的值。

練習(xí)3：如圖5，在Rt△ABC中，∠A=900，D為AB上一點(diǎn)，AD：BD=1：3，BD=DC，P為BC上一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，若BC=4，求PE+PF的長(zhǎng)。

環(huán)節(jié)三(例題再探)

教師：前面例1 中的點(diǎn)P位置還可以在哪里？(學(xué)生進(jìn)行大膽討論，分類畫(huà)圖)

例2.如圖6，在例1 的條件下，若將等腰三角形的底邊上任意一點(diǎn)變?yōu)榈走呇娱L(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？

圖6

圖7

圖8

圖9

猜想并證明結(jié)論2：等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)與兩腰的距離之差等于一腰上的高。

例3.已知等邊?ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到?ABC三邊AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，?ABC的高為h，若點(diǎn)P在一邊BC上(圖7，此時(shí)h3=0，可得h1+h2+h3=h，請(qǐng)你探索以下問(wèn)題：當(dāng)P點(diǎn)在?ABC內(nèi)(圖8）和點(diǎn)P在?ABC外(圖9)這兩種情況時(shí)，h1，h2，h3與h之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。

猜想并證明結(jié)論3：P點(diǎn)在等邊?ABC內(nèi)，有h1+h2+h3=h；點(diǎn)P在等邊?ABC外，有h1+h2-h3=h

【設(shè)計(jì)總結(jié)】

筆者認(rèn)為幾何探究復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)要考慮以下幾個(gè)方面。

一、明確基本圖形——教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，培養(yǎng)圖形意識(shí)

由本節(jié)引例來(lái)源確定基本圖形就是“等腰三角形”。

二、確保整節(jié)課探究過(guò)程的完整性，思維的延續(xù)性

本課探究的基本過(guò)程設(shè)計(jì)可以歸納為是：

環(huán)節(jié)一：原基本圖形中，某一要素①在特殊情況下的結(jié)論證明；②在一般情況下的結(jié)論猜想；③在一般情況下的結(jié)論證明；④一般性結(jié)論的應(yīng)用。

環(huán)節(jié)二：原基本圖形特殊化后，同一要素在一般情況下的結(jié)論猜想與證明。

三、以基本圖形為主線，保證圖形變化的有序性

本課以等腰三角形底邊上的點(diǎn)的位置變化為主線，初探與再探時(shí)從點(diǎn)P在等腰三角形底邊中點(diǎn)，到點(diǎn)P在底邊上再到點(diǎn)P在底邊的延長(zhǎng)線上，后繼點(diǎn)P在等邊三角形內(nèi)，點(diǎn)P在等邊三角形外。從特殊到一般，再?gòu)囊话愕酵茝V的發(fā)展過(guò)程。

四、從探究問(wèn)題的結(jié)論上要體現(xiàn)共性

本課先是基本圖形為等腰三角形時(shí)的和關(guān)系，然后是差關(guān)系，再到基本圖形特殊化為等邊三角形后的和與差的關(guān)系。不但讓學(xué)生能夠真正了解問(wèn)題探究的一般過(guò)程，同時(shí)讓原來(lái)的五個(gè)不同結(jié)論在整體上統(tǒng)一成都是研究“一點(diǎn)到邊的距離與一邊上的高線之間的數(shù)量關(guān)系”。