由2020全國卷Ⅰ第18題回顧幾何作圖法求極值問題

河北 王 萍

2020年全國卷Ⅰ第18題，考查了帶電粒子在有界磁場中的臨界極值問題，分析問題的方法是我們常用的軌跡圓縮放法，相信大家只要畫出一系列不同的軌跡圓便能夠找到極值的位置。這道題目難點(diǎn)在于如何找出最大圓心角的具體值，有一種解法是幾何作圖法。這就要求我們利用三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角之和，把求圓心角的最大值轉(zhuǎn)換為求弦與半徑夾角的最大值，再利用幾何作圖，當(dāng)弦與磁場邊界圓相切時(shí)，弦與半徑夾角的角度最大，所對應(yīng)軌跡圓的圓心角最大，進(jìn)而求解。下面進(jìn)行詳細(xì)分析。

圖1

( )

這個(gè)時(shí)候我們作一條輔助線，連接入射點(diǎn)和粒子在圓弧ab段上的落點(diǎn)，這樣出現(xiàn)了弦與半徑的夾角α，如圖2所示。

圖2

這種通過作圖尋找極值的方法，我們在高中物理學(xué)習(xí)過程中不止遇到一次，在力學(xué)和運(yùn)動學(xué)中都有涉及。下面我們一起回顧一下。

一、力的分解問題

當(dāng)F1>F時(shí)，以F1大小為半徑的圓與F2所在直線有一個(gè)交點(diǎn)，即為一組解，如圖3所示；

圖3

當(dāng)Fsinα

圖4

為了能夠按要求分解，F(xiàn)1的最小值是多少？此時(shí)減小F1的大小，即減小以F1大小為半徑的圓的半徑，當(dāng)F2所在直線與圓相切時(shí)，即為F1的最小值，如圖5所示。

圖5

此類問題，我們用到了分力F2所在直線與圓相切來尋找極值點(diǎn)的思想。

【例1】某物體在光滑的水平面上受到兩個(gè)恒定的水平共點(diǎn)力的作用，以10 m/s2的加速度做勻加速直線運(yùn)動，其中F1與加速度方向的夾角為37°，某時(shí)刻撤去F1，此后該物體

( )

A.加速度大小可能為5 m/s2

B.速度的變化率大小可能為6 m/s2

C.1秒內(nèi)速度變化大小可能為20 m/s

D.加速度大小一定不為10 m/s2

【解析】撤去F1后F2變?yōu)楹狭?，根?jù)幾何關(guān)系作圖可以看出，F(xiàn)2的最小值為以F2大小為半徑的圓與F1所在直線相切的時(shí)候，此值即為F1撤去后，合力的最小值；若F2的值比最小值大，則F1撤去后，合力的值也要相應(yīng)增大，變化情況如圖6所示。

圖6

【點(diǎn)評】仔細(xì)讀題中的四個(gè)選項(xiàng)，其本質(zhì)上都是判斷加速度大小。根據(jù)牛頓第二定律F=ma可求出合外力為確定值，F(xiàn)1與加速度方向的夾角為37°，即F1與合外力方向的夾角為37°，符合已知合力的大小、方向和一個(gè)分力的方向類型，適合應(yīng)用幾何作圖法求另一個(gè)分力F2的最小值，再應(yīng)用牛頓第二定律即可求出加速度的取值范圍。

二、動態(tài)平衡問題

在求解動態(tài)平衡問題時(shí)，判斷力的變化過程中，也存在極值問題。有些題目只要符合一定條件就可以通過幾何作圖法來尋找極值點(diǎn)進(jìn)行求解。

【例2】如圖7所示，電燈懸掛于O點(diǎn)，三根繩子的拉力分別為FTA、FTB、FTC，保持O點(diǎn)的位置不變，繩子的懸點(diǎn)B也不變，則懸點(diǎn)A向上移動的過程中，下列說法正確的是

圖7

( )

A.FTA、FTB一直減少

B.FTA一直增大，F(xiàn)TB一直減少

C.FTA先增大后減少，F(xiàn)TB先減少后增大

D.FTA先減少后增大，F(xiàn)TB一直減少

【解析】根據(jù)題意畫出三力構(gòu)成初始力的三角形，再根據(jù)OA繩拉力變化方向畫出力的動態(tài)三角形，如圖8所示，豎直向下的拉力FTC大小等于重力，方向豎直向上，所以，F(xiàn)TC大小方向均不變，O、B位置不變則OB繩子上的拉力FTB方向始終不變，OA繩上的拉力FTA由水平逐漸向上偏，可得OA繩上的拉力FTA先減小后增大，在OA旋轉(zhuǎn)至與OB垂直時(shí)，OA繩上的拉力有最小值。由圖可以看出OB繩上的拉力一直減小。故D選項(xiàng)正確。

【點(diǎn)評】本題考查共點(diǎn)力平衡問題中的動態(tài)平衡問題。解題的關(guān)鍵在于利用作圖法畫出三力構(gòu)成的矢量三角形之后，能夠正確分析出OA繩拉力的旋轉(zhuǎn)方向，進(jìn)而判斷各力變化。

【例3】如圖9所示，相距為d、傾角為α的光滑平行導(dǎo)軌(電源的電動勢E、內(nèi)阻r和定值電阻R均已知)處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場中，在磁場的方向由豎直向上逐漸變成水平向左的過程中，一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab始終靜止不動，則

圖9

( )

B.磁場變化過程中，導(dǎo)軌對導(dǎo)體棒的支持力逐漸增大

C.磁場變化過程中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小先減小后增大

圖10

圖11

【點(diǎn)評】這兩道題目雖然一道屬于力學(xué)部分內(nèi)容，一道屬于電磁學(xué)部分內(nèi)容，但是本質(zhì)上都是考查共點(diǎn)力平衡，而這兩道題都可以用幾何作圖法求解的原因在于研究對象均受到三個(gè)力作用，且這三個(gè)力中有一個(gè)力的大小和方向都不變，有一個(gè)力僅方向不變，故可以旋轉(zhuǎn)第三個(gè)力來分析動態(tài)變化及極值問題。

圖12

【解析】本題求解最小拉力的常規(guī)解法是先正交分解列平衡方程，再根據(jù)輔助角公式求極值。

設(shè)物塊所受支持力為FN，所受摩擦力Ff，拉力與斜面間的夾角為α，受力分析如圖13所示：

圖13

由平衡方程得

Fcosα=mgsin30°+Ff，F(xiàn)sinα+FN=mgcos30°

所以，當(dāng)α=30°時(shí)sin(60°+α)取得最大值，則F此時(shí)為最小值，拉力F有最小值的夾角為α=30°。

圖14

由圖15可以看出，當(dāng)拉力F與摩擦力和支持力的合力F合垂直時(shí)，拉力F最小。因?yàn)棣?30°，F(xiàn)合與重力夾角為60°，所以F與豎直方向夾角為30°，斜面傾角為30°，故F與斜面夾角為30°時(shí)，F(xiàn)有最小值。

圖15

【點(diǎn)評】幾何作圖法求解拉力的最小值不需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，只需要通過作圖和某個(gè)角的度數(shù)就能夠分析拉力極值點(diǎn)，物理思想非常突出。但是這種方法也有局限，即物體必須是平衡時(shí)，才能夠使用，否則物體受力無法構(gòu)成閉合的矢量三角形。若遇到有加速度的情況，只能利用牛頓運(yùn)動定律和輔助角公式來分析求解極值。

三、小船渡河問題

在小船渡河問題當(dāng)中，船在流動的水中渡河時(shí)的位移大小和方向，取決于船速和水速的合速度方向。當(dāng)船速大于水速時(shí)，由圖16可以看出，只要小船船頭偏向上游適當(dāng)角度，就可以使小船垂直河岸渡河，過河的最短位移等于河的寬度d；當(dāng)船速小于水速時(shí)，如圖17所示，由幾何關(guān)系可知，小船不再垂直河岸渡河，此時(shí)渡河的最短位移我們可以以水速的箭尾為圓心，以船速的大小為半徑畫圓，逐漸改變船速方向的過程中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)合速度與圓相切的時(shí)候，合速度與水速的夾角最大，渡河的位移最短。

圖16

圖17

【例5】有一小船正在渡河，如圖18所示，在離對岸30 m時(shí)，其下游40 m處有一危險(xiǎn)水域。假若水流速度為5 m/s，恒定不變，為了使小船在到達(dá)危險(xiǎn)水域之前到達(dá)對岸，則小船從現(xiàn)在起相對于靜水的最小速度應(yīng)是多大？

圖18

圖19

【點(diǎn)評】本題考查運(yùn)動的合成與分解。解題的關(guān)鍵是找到小船滿足題意的合速度方向，再利用幾何作圖法找到船速的最小值。

【變式訓(xùn)練】如圖20所示，某人由A點(diǎn)劃船渡河，假設(shè)河的寬度d=40 m，船在靜水中的速度v1=4 m/s，水流的速度v2=5 m/s，求：

圖20

(1)若船頭指向垂直河岸，船渡河的時(shí)間；到達(dá)河岸的地點(diǎn)與B點(diǎn)的距離。

(2)若改變船頭的指向，當(dāng)船以最短位移渡河時(shí)，所需要的時(shí)間。

【解析】本題通過小船渡河考查運(yùn)動合成與分解的知識。

(1)利用分運(yùn)動和合運(yùn)動具有等時(shí)性，渡河時(shí)間只在垂直河岸方向求解即可。

由d=v1t得t=10 s

到達(dá)的地點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為小船沿河岸方向前進(jìn)的分位移s=v2t=50 m。

(2)因?yàn)楸绢}水速大于船速，故小船不可能垂直河岸渡河，這時(shí)我們以水速v2箭尾為圓心，以船速大小v1為半徑畫圓，當(dāng)合運(yùn)動與圓相切時(shí)為過河的最短位移方向，此時(shí)船頭偏向上游夾角為θ，如圖21所示。

圖21

合速度v合=v2sinθ=3 m/s

以上我們回顧了幾何作圖法在力的分解問題、動態(tài)平衡問題以及小船渡河問題中的應(yīng)用，而且這幾類問題都用到圓的切線來尋找極值點(diǎn)，這種思想方法在高中物理試題中經(jīng)常出現(xiàn)。如果我們掌握了這種方法，就可以省去很多繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算，尤其對于力和速度這種矢量，應(yīng)用幾何作圖法求極值更加直觀明了，物理意義更加明確。