基于Graf加法定律的豎向受荷雙樁動力響應(yīng)解析研究

王敏，劉齊建，劉歡，王劍波

基于Graf加法定律的豎向受荷雙樁動力響應(yīng)解析研究

王敏1, 2，劉齊建1, 2，劉歡1, 2，王劍波1, 2

(1. 湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410082；2. 湖南大學(xué) 建筑安全與節(jié)能教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410082)

基于樁土耦合作用，建立豎向受荷嵌巖雙樁動力響應(yīng)的解析計算模型。通過分離變量法，求解樁周土的動力響應(yīng)，將樁基礎(chǔ)的動位移用不同的局部坐標(biāo)系表示?？紤]樁土相互作用，利用Graf加法定理實(shí)現(xiàn)不同樁體局部坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，得到雙樁位移場的解析解，并將其推廣至群樁的豎向振動分析。在驗(yàn)證本文方法正確性基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)分析。研究結(jié)果表明：雙樁間距增加，樁間相互作用系數(shù)減小。樁的長細(xì)比越大，雙樁樁間相互作用系數(shù)越大。樁周土剛度越大，雙樁樁間相互作用系數(shù)越大。群樁基礎(chǔ)中，隨著樁間距增大，樁間相互作用系數(shù)逐漸減小；角樁相互作用系數(shù)最小，中間樁最大。

雙樁；Graf加法定理；樁土相互作用；動力響應(yīng)

樁基礎(chǔ)作為一種重要基礎(chǔ)形式，憑借其承載力高、穩(wěn)定性好、沉降量小等優(yōu)點(diǎn)，在海上平臺、動力基礎(chǔ)、鐵路等工程中得到了廣泛應(yīng)用。由于其復(fù)雜的受力和邊界條件，如何考慮群樁間樁?土?樁動力相互作用一直是研究的難點(diǎn)，這吸引了國內(nèi)外學(xué)者廣泛研究。目前，群樁動力響應(yīng)的理論主要分為彈性理論法[1?3]、積分方程法[4]、有限元法[5?8]、Winkler地基模型[9?11]、平面應(yīng)變模型[12?13]?；趶椥岳碚摲?，Kaynia等[1]提出了動力相互作用因子計算群樁動力基礎(chǔ)?；诜e分方程法，CHEN等[4]求解了半空間上雙樁相互作用系數(shù)。Dowling等[5]基于有限元法研究了動載荷下群樁的動力特性。Gazetas等[9]提出了一種動力Winkler地基梁模型，進(jìn)一步簡化了群樁動力相互作用因子的計算。Anoyatis等[12]基于平面應(yīng)變假定，將土層視為一系列薄層單元，提出了平面應(yīng)變模型。在已有解析理論中樁土體系位移多用徑向和豎向變量和表示，而忽略切向變量的影響。但是，不同于振動荷載下單樁軸對稱性，群樁體系動力響應(yīng)屬于典型的三維問題。為了考慮樁土系統(tǒng)切向方向的影響，本文擬基于Graf加法定律建立一種雙樁動力計算模型，并將之推廣至群樁。首先對土體進(jìn)行受力分析，將樁周土位移場用不同局部坐標(biāo)系表示。然后運(yùn)用Graf加法定理，實(shí)現(xiàn)不同樁體局部坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，將不同坐標(biāo)系下的位移統(tǒng)一得到雙樁位移場解析解，并將該解答拓延至群樁基礎(chǔ)的動力響應(yīng)分析。

1 計算模型

1) 只考慮樁土系統(tǒng)豎向位移，忽略徑向位移。

2) 樁周土與樁身緊密接觸無滑移。

圖1 計算模型

2 求解方法

2.1 土的動力分析

取圖1所示的土單元進(jìn)行受力分析，其中應(yīng)力，和τ可分別表示為：

土的豎向動力平衡方程為：

土的邊界條件為：

采用分離變量法并結(jié)合式(6)~(9)邊界條件，可得式(5)解為：

2.2 樁身動力分析

式中：11為1對樁1的作用位移；12為2對樁1的作用位移；21為1對樁2的作用位移；22為2對樁2的作用位移。

式中：A和B為待定系數(shù)。

可以看出，式(13)與式(14)均包含了2個坐標(biāo)體系，因此需將其統(tǒng)一到同一個坐標(biāo)體系中。為此，采用Graf加法定律將Fourier-Bessel波函數(shù)由一個坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個坐標(biāo)系，如附錄所示。聯(lián)立式(15)～(16)和附錄式(A1)，將21和12分別表示如下：

于是式(13)和(14)可分別采用同一坐標(biāo)系表示：

假定樁和土交界面處無滑移，則由樁土位移連續(xù)條件得：

樁的豎向動力振動平衡方程為：

聯(lián)合式(19)，(20)，(22)，(24)，(25)和(26)可得：

將式(2)，(19)，(20)，(21)和(27)代入式(23)可得：

聯(lián)立求解式(28)~(30)組成的2個線性方程組，由此可確定未知系數(shù)A和B。計算時，需將級數(shù)和進(jìn)行截斷。

2.3 群樁分析

式中：j為待定系數(shù)。

由樁身動力平衡方程可得：

按照“2.2”同樣的處理，可得到(=1,2,…)

式中：

可見式(34)和(35)組成′個線性方程組，聯(lián)立求解可確定未知系數(shù)j和l。

3 方法驗(yàn)證

圖2 雙樁振幅值和相位滯后角隨頻率響應(yīng)的變化

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法正確性，將其與文獻(xiàn)[16]雙樁豎向振動試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。取文獻(xiàn)[16]參數(shù)如下：樁長27.5 m，直徑0.6 m，間距2.5 m，樁身彈性模量p=25.5 GPa。土的彈性模量33.79 MPa，泊松比0.49，密度1 570 kg/m3，阻尼比0.05。激振力=8.022，為激勵頻率。

圖3給出了激勵頻率為0~15 Hz時基礎(chǔ)?激振器豎向位移試驗(yàn)曲線與本文結(jié)果的對比。由圖3可知，當(dāng)頻率較小時，計算值與試驗(yàn)值吻合良好。當(dāng)頻率增大時，計算值略大于試驗(yàn)值。這是因?yàn)楫?dāng)激勵頻率增大時，土的非線性特征逐漸明顯，而本文僅考慮彈性地基，故有此誤差。

圖3 豎向頻率響應(yīng)曲線與實(shí)測曲線的比較

4 樁間相互作用系數(shù)

定義樁間相互作用系數(shù)為：雙樁中某樁相對于另一根樁的附加沉降與單樁在相同荷載下引起沉降之比值：

圖4給出了在不同頻率和長徑比下樁間相互作用系數(shù)隨樁距的變化。由圖4可知，當(dāng)激勵頻率較低時，隨著樁距增大，樁間相互作用系數(shù)逐漸減小并趨向于0。這是因?yàn)榇藭r樁基礎(chǔ)振動產(chǎn)生的剪切波衰減快，其對樁周土影響范圍不大，距離樁身越遠(yuǎn)，其對鄰樁影響小，樁間相互作用系數(shù)越小。樁長徑比越小，荷載越易傳遞至基巖，其對樁周土影響越小，此時樁間相互作用系數(shù)幾乎為0。

當(dāng)激勵頻率較大時，長徑比較小樁的樁間相互作用系數(shù)較小，而且衰減越快。與此不同的是，當(dāng)長徑比達(dá)到50以后，繼續(xù)增加樁長，其對樁間相互作用系數(shù)的影響不大。其原因是樁頂荷載對樁周土的影響主要集中在上部土體，當(dāng)樁身長度達(dá)到一定值后，其振動對鄰樁的影響不大。

圖5給出了在不同頻率和不同波速比s/p下，樁間相互作用系數(shù)隨樁距的變化。由圖5可知，樁間相互作用系數(shù)隨波速比增大而增大。這是因?yàn)殡S著s/p增大，樁周土的剛度增大，其傳播剪切波的能力提高，因此在樁基礎(chǔ)振動時其對鄰樁的影響就越大。

(a) ω=0.1ωp；(b) ω=0.5ωp

圖5 雙樁相互作用系數(shù)與波速比的關(guān)系

5 樁頂動剛度

式中：d和st分別為樁頂動剛度和靜剛度。

圖6 樁頂剛度與樁距比的關(guān)系

圖7給出了不同樁長徑比對樁頂動剛度影響。由圖7可知，當(dāng)頻率較低時，不同長徑比下樁頂動剛度開始變化不大；隨著激勵頻率增加，長徑比越大樁頂動剛度實(shí)部越大。在頻率小于截止頻率時，樁頂動剛度的虛部幾乎為0，超過該截止頻率后虛部急劇增加，此時輻射阻尼越來越大。當(dāng)長徑比較大時，樁身振動能帶動更多土體振動，其輻射阻尼更大，導(dǎo)致其樁頂剛度的虛部越大。

圖7 樁頂剛度與長徑比的關(guān)系

6 群樁分析

6.1 2×2群樁

圖8給出了在不同頻率和不同樁長徑比下,2×2群樁的樁間相互作用系數(shù)隨樁距比的變化曲線。由圖8可知，當(dāng)樁間距越大時，其相互作用系數(shù)越小，其規(guī)律與圖4所示的雙樁相互作用情況類似。樁越長，其振動對樁間土的影響越大，導(dǎo)致相互作用系數(shù)越大。此外，激勵頻率越大，相互作用系數(shù)衰減越慢。

(a) ω=0.1ωp；(b) ω=0.5ωp

(a) ω=0.1ωp；(b) ω=0.5ωp

6.2 3×3群樁

圖9分別給出了在不同頻率下3×3群樁的樁間相互作用系數(shù)隨樁距比的變化，其中樁1為角樁，樁2為邊樁，樁3為中間樁。由圖9可知，低頻情況下隨著樁間距離增大，樁間相互作用系數(shù)逐漸減小。同時可以發(fā)現(xiàn)，同樣的低頻激勵下角樁的相互作用系數(shù)最小，除角樁外的邊樁次之，而中間樁的最大。這是因?yàn)橹虚g樁的四周都是樁基礎(chǔ)，其所受其他樁的影響最大。

當(dāng)頻率較大時，雖然相互作用系數(shù)變化較激烈，但是其規(guī)律與低頻時基本一致，即相互作用系數(shù)在角樁處最小，中間樁最大。

7 結(jié)論

1) 雙樁樁間距增加，樁間相互作用系數(shù)減小。

2) 樁長徑比越大，雙樁樁間相互作用系數(shù) 越大。

3) 樁周土剛度越大，雙樁樁間相互作用系數(shù)越大。

4) 在第1個截止頻率之前，隨著頻率的增加，雙樁樁頂動剛度實(shí)部減小，其虛部增加有限。當(dāng)超過截止頻率后，實(shí)部增加，而虛部急劇增長。

5) 群樁基礎(chǔ)中，隨著樁間距離增大，樁間相互作用系數(shù)逐漸減小。同時，同樣激勵頻率下角樁相互作用系數(shù)最小，除角樁外的邊樁次之，而中間樁的最大。這是因?yàn)橹虚g樁的四周都是樁基礎(chǔ)，所受其他樁的影響最大。

附錄

Graf加法公式常用于將波函數(shù)的Fourier- Bessel函數(shù)由一個坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個坐標(biāo)系。通過運(yùn)用Graf加法定理，將樁處坐標(biāo)系土的位移轉(zhuǎn)換到樁坐標(biāo)系中，從而求得樁對樁的作用位移。如圖10所示，其公式具體表達(dá)如下：

圖10 Graf加法定理

[1] Kaynia A M, Kausel E. Dynamic stiffness and seismic response of pile groups[R]. Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology, 1982.

[2] ZHANG S, CUI C, YANG G. Coupled vibration of an interaction system including saturated soils, pile group and superstructure under the vertical motion of bedrocks[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2019(123): 425?434.

[3] LUAN L, ZHENG C, Kouretzis G, et al. Development of a three-dimensional soil model for the dynamic analysis of end-bearing pile groups subjected to vertical loads[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2019, 43(9): 1784?1793.

[4] CHEN S L, SONG C Y, CHEN L Z. Two-pile interaction factor revisited[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2011, 48(5): 754?766.

[5] Dowling J, Finn W D L, Ventura C E, et al. Load distribution in large pile groups under static and dynamic loading[J]. Bulletin of Earthquake Engineering, 2016, 14(6): 1461?1474.

[6] Lü Y R, ZHANG D D. Geometrical effects on the load transfer mechanism of pile groups: Three-dimensional numerical analysis[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2018, 55(5): 749?757.

[7] 吳鵬. 剛性承臺超大群樁承載性狀的三維有限元分析[J]. 鐵道科學(xué)與工程學(xué)報, 2007, 4(2): 13?18. WU Peng. Bearing characters of analysis of great pile groups with rigid cap using 3D FEM[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2007, 4(2): 13?18.

[8] 熊輝, 江雅豐, 李柃. 群樁?土相互作用動力阻抗的簡化有限元計算[J]. 鐵道科學(xué)與工程學(xué)報, 2017, 14(5): 928?934. XIONG Hui, JIANG Yafeng, LI Ling. Simplified finite element calculation for dynamic impedance of pile-soil interaction[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2016, 14(6): 1461?1474.

[9] Gazetas G, Fan K, Kaynia A. Dynamic response of pile groups with different configurations[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 1993, 12(4): 239?257.

[10] Torshizi M F, Saitoh M, Guillermo M, et al. Influence of pile radius on the pile head kinematic bending strains of endbearing pile groups[J]. Soil Dynamic and Earthquake Engineering, 2018(105): 184?203.

[11] 熊輝, 吳超然. 基于Timoshenko模型的樁基多維動力阻抗分析[J]. 鐵道科學(xué)與工程學(xué)報, 2019, 16(10): 2434?2441. XIONG Hui, WU Chaoran. Multi-dimensional dynamic impedance analysis of pile foundation based on Timoshenko model[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2019, 16(10): 2434?2441.

[12] Anoyatis G, Mylonakis G, Lemnitzer A. Soil reaction to lateral harmonic pile motion[J]. Soil Dynamic and Earthquake Engineering, 2016(87): 164?179.

[13] 王奎華, 楊冬英, 張智卿. 基于復(fù)剛度傳遞多圈層平面應(yīng)變模型的樁動力響應(yīng)研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報, 2008, 27(4): 825?831. WANG Kuihua, YANG Dongying, ZHANG Zhiqing. Study on dynamic response of pile based on complex stiffness transfer model of radial multizone plane strain[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(4): 825?831.

[14] Anoyatis G, Mylonakis G. Dynamic Winkler modulus for axially loaded piles[J]. Géotechnique, 2012, 62(6): 521? 536.

[15] Gyoten Y, Mizuhata K, Fukusurni T, et al. Soil-pile interaction in vertical vibration[C]// International Conferences on Recent Advances in Geotechnical Earthquake Engineering and Soil Dynamics, Missouri: University of Missouri, 1981: 289?294.

[16] 陳镕, 蔣振華, 薛松濤, 等. 樁?承臺豎向強(qiáng)迫振動試驗(yàn)和分析[J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報, 2004, 32(7): 846?850. CHEN Rong, JIANG Zhenhua, XUE Songtao, et al. Vertical dynamic test and analysis of pile-pile cap[J]. Journal of Tongji University, 2004, 32(7): 846?850.

[17] Nogami T, Novak M. Soil-pile interaction in vertical vibration[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1976, 4(3): 277?293.

Dynamic response of two vertically loaded piles based on the Graf's addition theorem

WANG Min1, 2, LIU Qijian1, 2, LIU Huan1, 2, WANG Jianbo1, 2

(1. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Key Laboratory of Building Safety and Energy Efficiency of the Ministry of Education, Hunan University, Changsha 410082, China)

Based on the soil-pile interaction, an analytical method is proposed for dynamic response of vertically loaded end-bearing double piles. In terms of the separate variable method, the vibration of the surrounding soils was determined. Then, dynamic displacements of the respective piles were expressed in the light of different local coordinate systems. In order to obtain the expressions of the pile displacements in the same unified coordinate system, Graf addition theorem was adopted to transfer one kind of local coordinate system to the other. By considering the continuity along the soil-pile interface, the displacements of two piles were determined. The present solution was extended to the dynamic response of pile groups under the vertically loaded vibrations. The proposed method was verified by comparison of the present solution results with those by the available methods. Parametric study shows that with the increasing of the pile space distance, the interaction coefficient decreases. With the increasing of the pile slenderness ration and the stiffness of the surrounding soil, the interaction coefficient increases. For pile groups, the pile interaction coefficient decreases gradually with the increasing of the spacing ration of piles. The interaction coefficient of the pile on the corner is the minimum, while that of the pile at the center is the maximum.

two piles; Graf’s addition theorem; pile-soil interaction; dynamic response

TU473

A

1672 ? 7029(2020)10 ? 2532 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20191136

2019?12?16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51878265)；湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2018JJ2049)

劉齊建(1973?)，男，湖南華容人，教授，博士，從事樁基、地下結(jié)構(gòu)的抗震研究；E?mail: Q.Liu@hnu.edu.cn

(編輯 涂鵬)