探討中學(xué)物理求質(zhì)心的方法

近年來(lái)，中學(xué)物理選拔賽或競(jìng)賽中常常出現(xiàn)求均勻物體的重心，嚴(yán)格來(lái)講此處的重心是一種重力場(chǎng)平行且物體各個(gè)位置的引力大小g 相等的一種理想情況，此時(shí)物體的質(zhì)量分布和物體的重力分布是一致的，物體的質(zhì)心和重心位置重合，也就是求物體質(zhì)心的問題。而中學(xué)階段除非特別說(shuō)明，都是基于這種理想狀況下討論物體的質(zhì)心狀況。

重心可以看著物體各部分所受重力的合力的作用點(diǎn)，重心是一個(gè)定點(diǎn)，一般物體可用懸掛法求的重心，但是懸掛法只適合實(shí)驗(yàn)性質(zhì)的題解。規(guī)則物體可以采用諸如作圖法以及加權(quán)平均法等多種方法求解。質(zhì)心是物體(或物體系)的質(zhì)量中心，在研究物體質(zhì)心位置時(shí)，可將物體的質(zhì)量看作集中于質(zhì)心，某種意義上類似于重心的作用點(diǎn)。在理論上，質(zhì)心是對(duì)物體的質(zhì)量分布用“加權(quán)平均法”求出的平均中心。如圖1 所示，三維空間中，物體系M 可等效劃分為5 個(gè)質(zhì)量各異或相同的小物體系mi。

其中(1 ≤i≤5)

中學(xué)階段尤其初中物理通常只需考慮平面坐標(biāo)系中的(x c，yc)

下面以實(shí)際質(zhì)心(重心)問題例題解析提供多種解題方法。

一、用作圖法求出均勻薄板的質(zhì)心

圖2 中薄板可以看作ABC1F 和CDEC1 兩塊薄板拼接，因此可分別求二者質(zhì)心分別為G1 和G2，同理也可以看作是ABCC2 和C2DEF 分別的質(zhì)心G1'和G2'，則G1G2 與G1'G2'的交點(diǎn)G 即為該薄板的質(zhì)心。該方法同樣也適合更復(fù)雜的如Z 字形薄板的處理。此例也說(shuō)明了物體的質(zhì)心也可能不在物體上。

二、加權(quán)平均法求物體系質(zhì)心

例 如圖半徑為R 的圓薄木板(厚度可忽略不計(jì))，上面分別疊加了半徑為R/2 以及R/4 的圓薄木板，求當(dāng)前物體系的質(zhì)心。

如圖，以?O 的圓心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，由于題中薄板厚度不計(jì)，因此只需考慮x，y 方向的質(zhì)心坐標(biāo)(x c，yc)，整個(gè)物體系基于y軸對(duì)稱，所以yc=0

假設(shè)?O 薄板的質(zhì)量為M，則其余2 個(gè)分別為M/4 以及M/16

三、機(jī)械杠桿法求質(zhì)心

例 如圖4，半徑R=30cm 的均勻圓板上挖出一個(gè)半徑r=15cm的內(nèi)切圓板，則剩余部分的重心離原來(lái)圓心的距離為多少?

此題可假設(shè)沒有挖孔時(shí)的狀態(tài)，此時(shí)挖孔部分的重量和剩余部分的重量相對(duì)于大圓的圓心O 滿足在Y 軸杠桿平衡，設(shè)完整的薄板重量為G，則剩余部分的重量為，那么杠桿平衡公式為

四、微元法積分方式求質(zhì)心

對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體，可以采用微元法將物體分拆成多個(gè)規(guī)則形狀，采用微積分方式處理，這塊知識(shí)超越了中學(xué)范疇，可參考相關(guān)文獻(xiàn)。