“五步問(wèn)題學(xué)講方式”讓課堂翩翩起舞
——以“向量的數(shù)量積”為例

引言：“五步問(wèn)題”就是問(wèn)題預(yù)設(shè)、問(wèn)題檢測(cè)、問(wèn)題生成與探究、問(wèn)題鞏固、問(wèn)題預(yù)留；預(yù)設(shè)就是讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光去觀察世界，感悟知識(shí)的來(lái)源；檢測(cè)、生成、探究就是讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，領(lǐng)會(huì)知識(shí)的思維；鞏固、預(yù)留就是讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，真正做到知識(shí)“學(xué)進(jìn)去”，“講出來(lái)”。筆者以執(zhí)教蘇教版數(shù)學(xué)必修四“向量數(shù)量積”第一課時(shí)教學(xué)實(shí)錄為例，談?wù)勛约旱淖龇ㄅc思考。

一、課堂實(shí)錄

1.問(wèn)題預(yù)設(shè)

問(wèn)題1 向量的加法、減法、數(shù)乘如何定義? 加法、減法滿足什么法則? 它們的運(yùn)算結(jié)果是什么?

生(齊聲回答)：向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則；減法滿足三角形法則；它們的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)向量。

師：很好! 下面我們來(lái)看一張圖片。

生：好漂亮!

學(xué)生的興趣上來(lái)了，眉飛色舞和同學(xué)交流。

師：這是哪個(gè)學(xué)院的建筑?

生：搖頭。

師：英國(guó)劍橋大學(xué)——國(guó)王學(xué)院。

生1：(聲音洪亮)蘋果樹! 牛頓定律!

師：對(duì)! 這位同學(xué)很聰明! 我們可不可以向偉大科學(xué)家牛頓一樣他坐在蘋果樹下思考出牛頓定律；向量可不以可以像實(shí)數(shù)一樣進(jìn)行“相乘”? 來(lái)看下問(wèn)題2。

意圖 通過(guò)類比實(shí)數(shù)運(yùn)算讓學(xué)生知道向量可以進(jìn)行“相乘”，這就是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。另一方面用名人故事的引入，激發(fā)學(xué)生的好奇心，增強(qiáng)課堂活躍氣氛，促進(jìn)學(xué)好的數(shù)學(xué)動(dòng)力和信心。

問(wèn)題2 向量加法以物理中的“位移”為背景，對(duì)于向量相乘，可以用物理中的哪個(gè)作為背景模型?

生(有的小聲)：功。

師：對(duì)，我們一起來(lái)研究。

問(wèn)題2.1 一個(gè)物體A在水平力F的作用下運(yùn)動(dòng)了位移S，力F做的功為多少?

問(wèn)題2.2 有一個(gè)豎直向上的力F1，但沒(méi)有提起物體，那么力F1做的功為多少? 為什么?

生3：做功為0，因?yàn)榱1在豎直方向沒(méi)有位移。

問(wèn)題2.3 一個(gè)物體A在力F的作用下產(chǎn)生位移S，且F與S的夾角為θ，那么力F所做的功為多少?

師：分析到位，物理功底深厚。也就是說(shuō)功與位移和位移方向上力的大小有關(guān)。

問(wèn)題3 如何從向量的角度來(lái)理解功的運(yùn)算?

師生合作：把力F和位移S看成兩個(gè)向量，力與位移得到功就是兩個(gè)向量的模與它們夾角的余弦值的乘積。不失一般性，用a→和b→表示兩個(gè)平面向量，抽象出來(lái)的運(yùn)算該如何表示呢?

意圖 類比、建模、抽象是數(shù)學(xué)基本思想方法。在其指引下，類比力做功模型，抽象到向量的數(shù)量積，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有知識(shí)向未知知識(shí)過(guò)度引領(lǐng)，體會(huì)到數(shù)量積的實(shí)際背景，經(jīng)歷概念形成的過(guò)程，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

問(wèn)題3.1 能否由數(shù)量積的定義求出?

生5：由于零向量的方向任意與a→的夾角無(wú)法確定不能用公式求解，可以考慮在“功”的實(shí)際意義中無(wú)論位移還是力有一個(gè)為零其結(jié)果都為零，所以定義零向量與任意向量的數(shù)量積為零。

問(wèn)題3.2 如圖兩個(gè)向量，它們的夾角怎么作? 夾角范圍為多少?

生：看課本，與同學(xué)交流總結(jié)如下。

(1)兩個(gè)非零向量的夾角，應(yīng)保證兩個(gè)向量共起點(diǎn)，否則平移使之共起點(diǎn)。

意圖 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)時(shí)必須把內(nèi)容中的關(guān)鍵語(yǔ)句理解透，因此教學(xué)時(shí)要精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，加強(qiáng)概念的剖析，讓學(xué)生在問(wèn)題分析中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、提問(wèn)、解決能力，這就是“自學(xué)”。

2.問(wèn)題檢測(cè)

(1)判斷下列說(shuō)法是否正確。

師：掌聲響起! 不錯(cuò)，對(duì)于向量的平行夾角應(yīng)該為0°或180°。

意圖 通過(guò)兩道基礎(chǔ)題查看學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)的成效。成果的交流就是思維展示的過(guò)程，通過(guò)生生互助解決學(xué)習(xí)中問(wèn)題，獲得成就感，這就是“互學(xué)”。

3.問(wèn)題生成與探究

問(wèn)題4 向量的數(shù)量積的結(jié)果與夾角之間的關(guān)系如何?

生10 和生11(合作完成)：從夾角的大小分析。

生12 和生13(合作完成)：從數(shù)量積的數(shù)值角度分析。

意圖 通過(guò)對(duì)問(wèn)題適當(dāng)?shù)纳桑鰪?qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)量積認(rèn)知的深度和寬度；經(jīng)過(guò)小組合作交流、探究，強(qiáng)化對(duì)向量數(shù)量積的理解和掌握，這就是“問(wèn)學(xué)”。

問(wèn)題5 數(shù)的運(yùn)算離不開運(yùn)算律，結(jié)合課本去理解和掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算率。

生：(小組合作、探究、驗(yàn)證)得出如下結(jié)論：

意圖 一方面類比實(shí)數(shù)運(yùn)算律，猜想出數(shù)量積的運(yùn)算律；另一方面結(jié)合已有的知識(shí)，通過(guò)合作交流證明猜想，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力。

4.問(wèn)題鞏固

意圖 強(qiáng)化運(yùn)算律的理解，培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力，深化和鞏固學(xué)習(xí)成果；能夠在課堂上正確表達(dá)解題思路，讓大家都明白，這就是“教學(xué)”。

5.問(wèn)題預(yù)留

在邊長(zhǎng)為2 的正六邊形ABCDEF中，

意圖 通過(guò)第一問(wèn)的解題，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)向量夾角的理解，進(jìn)一步掌握數(shù)量積的定義；對(duì)第二問(wèn)的探究在數(shù)量積定義下對(duì)數(shù)量積幾何意義的引入埋下伏筆，這就是“悟?qū)W”。

二、教學(xué)反思

課堂應(yīng)該是以“真學(xué)習(xí)”為目的。首先，教師在課堂中不應(yīng)該去追求“教學(xué)多樣技術(shù)”，而是保障每個(gè)學(xué)生的“學(xué)習(xí)權(quán)”，實(shí)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生真正的學(xué)習(xí)與成長(zhǎng)。其次在課堂教學(xué)活動(dòng)中要積極引導(dǎo)學(xué)生以“問(wèn)題”進(jìn)行的“五學(xué)”行為，讓學(xué)生在問(wèn)題引領(lǐng)下學(xué)會(huì)類比、歸納、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理。最后應(yīng)關(guān)注核心素養(yǎng)與知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，以一定的數(shù)學(xué)文化和知識(shí)為依托，遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，把知識(shí)來(lái)龍去脈充分展現(xiàn)在學(xué)生面前，激發(fā)學(xué)生想學(xué)習(xí)、學(xué)好習(xí)的動(dòng)力，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，進(jìn)一步提升學(xué)生的核心素養(yǎng)能力。