靜電場(chǎng)中五類圖像問(wèn)題求解

甘肅 趙生武

(作者單位：甘肅省蘭州市永登縣第一中學(xué))

高中物理靜電場(chǎng)部分在描述電場(chǎng)力的性質(zhì)和能的性質(zhì)時(shí)，既涉及帶電粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，又涉及電場(chǎng)力做功與能量變化之間的關(guān)系。本章內(nèi)容物理概念抽象，物理規(guī)律應(yīng)用綜合性強(qiáng)，既是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，又是近幾年高考的熱點(diǎn)。靜電場(chǎng)中的圖像能夠呈現(xiàn)帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，直觀地反映電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)、電勢(shì)能等物理概念之間的關(guān)系、力與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系以及做功與能量轉(zhuǎn)化之間的關(guān)系。通過(guò)圖像考查對(duì)靜電場(chǎng)有關(guān)概念及規(guī)律的理解是一種重要的考查方式?，F(xiàn)將靜電場(chǎng)中的圖像問(wèn)題予以歸類解析，希望可以幫助學(xué)生有效復(fù)習(xí)。

類型一 φ-x圖像

靜電場(chǎng)中的φ-x圖像反映靜電場(chǎng)中電勢(shì)φ隨位置坐標(biāo)x的變化規(guī)律。處理φ-x圖像問(wèn)題必須把握以下要點(diǎn)：

1.沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)逐漸降低。由φ-x圖像直接判斷各點(diǎn)的電勢(shì)高低，并根據(jù)電勢(shì)高低確定x軸上電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向。注意電勢(shì)的正負(fù)表示電勢(shì)的高低。

2.電場(chǎng)力做功WAB=qUAB。由φ-x圖像直接確定任意兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UAB，求解電場(chǎng)力做功WAB，進(jìn)而通過(guò)功能關(guān)系分析帶電粒子動(dòng)能及電勢(shì)能的變化情況。注意WAB=qUAB中各物理量需帶正負(fù)。

【例1】?jī)呻姾闪糠謩e為q1和q2的點(diǎn)電荷放在x軸上的O、M兩點(diǎn)，兩電荷連線上各點(diǎn)電勢(shì)φ隨x變化的關(guān)系如圖1所示，其中A、N兩點(diǎn)的電勢(shì)為零，ND段中C點(diǎn)電勢(shì)最高，不計(jì)重力，則

圖1

( )

A.A、N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為零

B.將一正點(diǎn)電荷靜止放在x軸負(fù)半軸，它將一直做加速運(yùn)動(dòng)

C.N、C間場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸正方向

D.將一負(fù)點(diǎn)電荷從N點(diǎn)移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力先做正功后做負(fù)功

【解析】(1)A、N點(diǎn)的電勢(shì)為零，但過(guò)A、N點(diǎn)切線的斜率不為零。所以，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不為零。A選項(xiàng)錯(cuò)誤。

(3)從N到C電勢(shì)升高，N、C點(diǎn)間的場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸負(fù)方向。同理，C、D點(diǎn)間的場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸正方向。C選項(xiàng)錯(cuò)誤。

(4)負(fù)點(diǎn)電荷在N、C間所受電場(chǎng)力沿x軸正方向，在C、D間所受電場(chǎng)力沿x軸負(fù)方向。所以，負(fù)點(diǎn)電荷從N點(diǎn)移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力先做正功后做負(fù)功。或N、D間電勢(shì)先升高再降低，負(fù)電荷在N、D間的電勢(shì)能先減少后增加，故負(fù)電荷從N點(diǎn)移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力先做正功后做負(fù)功。D選項(xiàng)正確。

【點(diǎn)評(píng)】(1)A選項(xiàng)可以很好地論證“電勢(shì)為零，電場(chǎng)強(qiáng)度一定為零”這一謬論，加深對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)概念的理解。

(2)由斜率的正負(fù)表示場(chǎng)強(qiáng)的方向可以得出：A、N兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向相反，NC段與CD段的場(chǎng)強(qiáng)方向相反。

(3)根據(jù)電場(chǎng)力做功情況可以進(jìn)一步分析點(diǎn)電荷電勢(shì)能的變化情況，或根據(jù)電荷電勢(shì)能變化分析電場(chǎng)力做功情況。

類型二 E-x圖像

靜電場(chǎng)中的E-x圖像反映靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E隨位置坐標(biāo)x的變化規(guī)律。處理E-x圖像問(wèn)題必須把握以下要點(diǎn)：

1.電場(chǎng)強(qiáng)度E是矢量，E>0與E<0表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向相反。x軸之上E>0，電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿x軸正方向；x軸之下E<0，電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸負(fù)方向。圖線上的點(diǎn)到x軸之間的距離(即E軸上的坐標(biāo)值)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

2.在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電勢(shì)差U=Ed，d為場(chǎng)強(qiáng)方向上兩點(diǎn)間的距離。類比v-t圖像可知，E-x圖像中圖線與x軸圍成的“面積”大小表示電勢(shì)差大小，“面積”正負(fù)表示電勢(shì)差正負(fù)，兩點(diǎn)的電勢(shì)高低依據(jù)電場(chǎng)方向判斷。

【例2】空間某區(qū)域有一沿x軸對(duì)稱分布的電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度E隨坐標(biāo)x變化的圖像如圖2所示，x0和-x0為x軸上對(duì)稱的兩點(diǎn)?，F(xiàn)將一電子從x0處由靜止釋放后沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)-x0處時(shí)速度剛好為零，下列說(shuō)法正確的是

圖2

( )

A.x0處的場(chǎng)強(qiáng)大小大于-x0處的場(chǎng)強(qiáng)大小

B.x0處的電勢(shì)小于-x0處的電勢(shì)

C.電子在x0處的電勢(shì)能等于-x0處的電勢(shì)能

D.電子先做勻加速運(yùn)動(dòng)后做勻減速運(yùn)動(dòng)

【解析】(1)電子在x0處和-x0處速度均為0，由動(dòng)能定理可知，電子從x0運(yùn)動(dòng)到-x0過(guò)程，電場(chǎng)力做功為零，即O到x0之間與O到x0之間圖線與x軸圍成面積大小相等。由幾何關(guān)系可知，x0處和-x0處的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向相反。A選項(xiàng)錯(cuò)誤。

(2)O到x0之間與O到-x0之間圖線與x軸所圍面積大小相等，即電勢(shì)差大小相等，則φ0-φx0=φ0-φ-x0。所以，φx0=φ-x0。B選項(xiàng)錯(cuò)誤。

(3)由Ep=φ·q可知，電子在x0處的電勢(shì)能等于-x0處的電勢(shì)能。C選項(xiàng)正確。

(4)電子在x0處由靜止釋放后沿著x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明O到x0之間所受電場(chǎng)力方向沿x軸負(fù)方向，場(chǎng)強(qiáng)方向沿x正方向。由矢量性可知，O到-x0之間的場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸負(fù)方向，所受電場(chǎng)力方向沿x正方向。所以，電子先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)，但加速度a變化，不是勻變速運(yùn)動(dòng)。D選項(xiàng)錯(cuò)誤。

【點(diǎn)評(píng)】(1)根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小可以判定電場(chǎng)力的大小和加速度的大小。

(2)根據(jù)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的矢量性和已知條件可以確定電場(chǎng)強(qiáng)度的方向，進(jìn)而判斷電勢(shì)的高低，分析帶電粒子電勢(shì)能的變化以及電場(chǎng)力做功情況。

類型三 Ep-x圖像

靜電場(chǎng)中Ep-x圖像反映帶電粒子的電勢(shì)能Ep隨位置坐標(biāo)x的變化規(guī)律。理解要點(diǎn)如下：

1.由圖像可以直接判斷帶電粒子在各點(diǎn)的電勢(shì)能Ep的大小，并根據(jù)電勢(shì)能大小變化確定電場(chǎng)力做功情況。

2.結(jié)合Ep=φ·q關(guān)系式，由電勢(shì)能Ep的大小確定各點(diǎn)的電勢(shì)φ的高低，進(jìn)而確定電場(chǎng)強(qiáng)度的方向、電場(chǎng)力方向以及加速度方向。

【例3】一帶電粒子在電場(chǎng)中僅受靜電力作用，做初速度為零的直線運(yùn)動(dòng)，取該直線為x軸，起始點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，其電勢(shì)能Ep與位移x的關(guān)系如圖3所示，下列圖像中合理的是

( )

圖3

A

B

C

D

【解析】(1)Ep-x圖像的斜率逐漸減小，表示電場(chǎng)力逐漸減小，場(chǎng)強(qiáng)E逐漸減小，帶電粒子的加速度逐漸減小。A選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確。

(2)由動(dòng)能定理可知ΔEk=F合·Δx，類比|ΔEp|=F電·Δx可知，Ek-x圖像的斜率表示F合，而帶電粒子僅受電場(chǎng)力作用，電場(chǎng)力即為合外力。所以，電勢(shì)能逐漸減小時(shí)，動(dòng)能逐漸增大，但Ek-x圖像的斜率逐漸減小。B選項(xiàng)錯(cuò)誤。

【點(diǎn)評(píng)】(1)解決Ep-x圖像問(wèn)題時(shí)，既要根據(jù)電勢(shì)能Ep的大小變化判斷電場(chǎng)力做功情況，又要根據(jù)圖像斜率的變化判斷電場(chǎng)力大小變化、電場(chǎng)強(qiáng)度大小變化以及加速度大小變化。

類型四 Ek-x圖像

靜電場(chǎng)中的Ek-x圖像反映帶電粒子的動(dòng)能Ek隨位置坐標(biāo)x的變化規(guī)律。解決Ek-x圖像問(wèn)題必須掌握以下要點(diǎn)：

1.由Ek-x圖像直接判斷帶電粒子的動(dòng)能Ek的大小，并根據(jù)動(dòng)能大小變化確定合外力做功情況，進(jìn)而分析電場(chǎng)力做功情況及電勢(shì)能變化情況。

2.Ek-x圖像的斜率大小表示帶電粒子所受合外力的大小。根據(jù)Ek-x圖像的斜率大小判斷合外力大小，進(jìn)而判斷電場(chǎng)力大小及電場(chǎng)強(qiáng)度大小。

【例4】如圖4甲所示，x軸處在靜電場(chǎng)中，一個(gè)電荷量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電的粒子在原點(diǎn)O由靜止釋放，僅在電場(chǎng)力的作用下沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)能隨位置變化的關(guān)系圖像如圖4乙所示，圖4乙中的量均為已知，則下列說(shuō)法正確的是

甲

( )

A.場(chǎng)強(qiáng)沿x軸正方向逐漸增大

B.圖4乙中圖線的斜率大小表示粒子所受電場(chǎng)力的大小

【解析】(1)Ek-x圖像的斜率大小表示帶電粒子所受合外力的大小，而粒子僅受電場(chǎng)力作用，所以，圖4乙中圖線的斜率大小表示粒子所受電場(chǎng)力的大小。B選項(xiàng)正確。

(2)Ek-x圖線的斜率一定，電場(chǎng)力一定，所以，電場(chǎng)強(qiáng)度大小一定。A選項(xiàng)錯(cuò)誤。

類型五 v-t圖像

靜電場(chǎng)中的v-t圖像反映帶電粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度v隨時(shí)間t的變化規(guī)律。若帶電粒子只受電場(chǎng)力作用，求解靜電場(chǎng)中的v-t圖像問(wèn)題須把握以下兩點(diǎn)：

1.根據(jù)v-t圖像直接判斷速度v的大小變化，確定電場(chǎng)力方向，分析電場(chǎng)力做功情況以及動(dòng)能Ek、電勢(shì)能Ep的變化情況。

2.根據(jù)v-t圖像的斜率變化判斷帶電粒子加速度的變化、電場(chǎng)力變化以及電場(chǎng)強(qiáng)度的變化情況。

【例5】如圖5甲所示，兩個(gè)點(diǎn)電荷Q1、Q2固定在x軸上，其中Q1位于原點(diǎn)O，a、b是它們連線延長(zhǎng)線上的兩點(diǎn)?，F(xiàn)有一帶正電的粒子q以一定的初速度沿x軸從a點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)b點(diǎn)向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)(粒子只受電場(chǎng)力作用)，設(shè)粒子經(jīng)過(guò)a、b兩點(diǎn)時(shí)的速度分別為va、vb，其速度隨坐標(biāo)x變化的圖像如圖5乙所示，則以下判斷正確的是

甲

( )

A.b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)一定為零

B.Q2帶負(fù)電且電荷量小于Q1

C.a點(diǎn)的電勢(shì)比b點(diǎn)的電勢(shì)高

D.粒子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比b點(diǎn)的電勢(shì)能小

【解析】(1)v-t圖像上b點(diǎn)的切線斜率為零，加速度為零，場(chǎng)強(qiáng)一定為零。A選項(xiàng)正確。

(2)帶正電粒子從a到b過(guò)程速度增大，電場(chǎng)力沿x軸正方向，場(chǎng)強(qiáng)沿x軸正方向，由點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度可知Q2帶正電，而b點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可知，Q2電荷量小于Q1。B選項(xiàng)錯(cuò)誤。

(3)沿著電場(chǎng)方向電勢(shì)降低，所以a點(diǎn)的電勢(shì)比b點(diǎn)的電勢(shì)高。C選項(xiàng)正確。

(4)粒子從a到b過(guò)程中電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小，粒子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比b點(diǎn)的電勢(shì)能大?；蛘吒鶕?jù)電勢(shì)能與電勢(shì)的關(guān)系，a點(diǎn)的電勢(shì)比b點(diǎn)的電勢(shì)高，帶正電粒子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比b點(diǎn)的電勢(shì)能大。D選項(xiàng)錯(cuò)誤。

【點(diǎn)評(píng)】(1)分析靜電場(chǎng)中的v-t圖像問(wèn)題需要從速度變化和圖線斜率變化兩個(gè)角度入手，分兩條思路進(jìn)行求解相關(guān)問(wèn)題。

(2)靜電場(chǎng)中的v-t圖像問(wèn)題往往與電場(chǎng)分布相結(jié)合，綜合分析帶電粒子的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況及能量變化情況。