小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)邏輯思維養(yǎng)成教學(xué)案例
——以“比較圖形的面積”為例

王飛飛

（江蘇省南京市丁家莊小學(xué)，江蘇南京 210028）

引 言

在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圖形幾何知識(shí)是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)了解了一些關(guān)于圖形的基本知識(shí)，能夠計(jì)算正方形、長(zhǎng)方形等圖形的面積?！氨容^圖形的面積”的教學(xué)關(guān)鍵是通過(guò)課堂教學(xué)實(shí)踐，讓學(xué)生在“做”的過(guò)程中體會(huì)比較圖形大小的基本方法——數(shù)格法，并掌握重合法、拼接法和分割法等多種比較圖形面積的方法，建立數(shù)學(xué)分析能力，從而在探究過(guò)程中全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維[1]。

一、案例呈現(xiàn)

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)技能目標(biāo)：能借助方格紙，直接判斷圖形面積的大??；通過(guò)交流，了解比較圖形面積大小的基本方法；體驗(yàn)圖形形狀的變化與面積大小變化之間的關(guān)系。

（2）能力培養(yǎng)目標(biāo)：通過(guò)觀察、比較和交流分析的方式，了解、比較圖形面積大小的多樣性方法；在圖形面積重疊、拼剪和組合的過(guò)程中積累經(jīng)驗(yàn)，探索圖形面積大小變化的關(guān)系，初步形成幾何推理能力和空間概念，形成數(shù)學(xué)邏輯思維。

（二）案例過(guò)程

新課導(dǎo)入的關(guān)鍵是引導(dǎo)和幫助學(xué)生構(gòu)建以往知識(shí)和新課之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在回憶舊知識(shí)的同時(shí)激發(fā)自身對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣。

師：大家還記得什么是面積嗎？

生：面積是物體的表面，封閉圖形表面的大小就是其面積。

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)長(zhǎng)方形、正方形、三角形及梯形等圖形，如果想在方格紙上比較這些圖形的大小，該怎么做呢？

生：可以把這些圖形從紙上裁剪下來(lái)比較。

生：可以數(shù)他們?cè)诜礁窦埳险l(shuí)占的格子多。

師：大家說(shuō)的都對(duì)，這些方法都是我們經(jīng)常用的比較圖形的方法，今天我們要學(xué)習(xí)的就是“圖形面積的比較”。

1.觀察與猜想

小組合作探究是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的過(guò)程，通過(guò)合作探究，學(xué)生觀察和思考會(huì)更加深入，能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生大膽提問(wèn)和猜想的能力。在本課教學(xué)中，筆者用PPT 展示結(jié)合小組討論的方式來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的觀察和分析能力。

師：請(qǐng)大家看PPT 上的圖形（見(jiàn)圖1），你能直接通過(guò)數(shù)方格的方法判斷這些圖形的大小嗎？誰(shuí)能給這組圖的大小排序？

圖1

師：直觀觀察，大家覺(jué)得哪些圖形的面積更大？通過(guò)數(shù)方格的方式排序之后，和你觀察的結(jié)果一樣嗎？上面的圖形有沒(méi)有面積相等的？

（通過(guò)小組討論和猜想，學(xué)生會(huì)得出不同的答案，教學(xué)中先不判斷學(xué)生答案的對(duì)錯(cuò)，而是讓學(xué)生自己探索得出結(jié)果）

生1：圖中②和⑤三角形面積可能相同。

生2：圖中①和③的面積好像也相同。

生3：圖中⑧和⑨的面積也相同。

在學(xué)生給出一些不同答案后，筆者開(kāi)始引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地解決問(wèn)題。

2.分析與解決問(wèn)題

基于前面的猜想，筆者讓學(xué)生四人一組，找出PPT 中面積相等的圖形，并說(shuō)說(shuō)自己是怎么找到的。

生1：①和③相等，我是數(shù)方格數(shù)出來(lái)的。

師：請(qǐng)你上來(lái)為我們填圖操作一下自己是怎么數(shù)的。

學(xué)生數(shù)出來(lái)①和③都占4.5 個(gè)格子。

學(xué)生在自主探究和積極動(dòng)手參與的過(guò)程中，能夠提升自己對(duì)活動(dòng)的參與度和探究精神。在操作和演示獲得肯定后，也能燃起思考和探究數(shù)學(xué)知識(shí)和方法之間聯(lián)系的信心。

生2：我們組用的是重疊法，可以把①平移到③的位置，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形能夠完全重疊，說(shuō)明它們的面積相同。

筆者板書(shū)“重疊法”，讓學(xué)生上前進(jìn)行演示，借助板書(shū)和學(xué)生實(shí)踐，讓學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)并總結(jié)新的知識(shí)。

生3：我們組用數(shù)格子的方法，發(fā)現(xiàn)②和⑤都占了6 個(gè)格子，所以面積相等。

生4：我們組用平移的方法，將②平移到⑥的位置，這兩個(gè)圖形可以完全重合，說(shuō)明它們面積相等。

師：既然②和⑤面積相等，②和⑥面積也相等，那⑤和⑥有什么關(guān)系呢？

生（齊聲）：⑤和⑥的面積也是相等的。

通過(guò)對(duì)圖形面積進(jìn)行比較推理，學(xué)生能夠直觀地認(rèn)識(shí)和理解等號(hào)是具有傳遞性的，由此可以樹(shù)立起學(xué)生邏輯思維中的推理和分析證明的意識(shí)。

師：如果兩個(gè)圖形的面積都和第三個(gè)圖形相等，那么這三個(gè)圖形的面積是相等的。

3.實(shí)踐操作，總結(jié)規(guī)律

在數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維離不開(kāi)實(shí)踐操作。學(xué)生只有動(dòng)手參與問(wèn)題探究和解答，才能在思考探究中發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤并及時(shí)糾正。

師：通過(guò)數(shù)格子和重疊的方法，我們能比較出部分圖形的面積，但⑧和⑨這樣的圖形并不規(guī)則，所以占的格子數(shù)不容易數(shù)出來(lái)，形狀也和其他圖形不同，該怎么辦呢？

生1：我們可以把圖形切割、拼接、組合起來(lái)，組合成規(guī)則的圖形來(lái)比較大小。

生2：⑤和⑥組合起來(lái)與⑧的面積是相等的。

生3：圖形⑧⑨和⑩的面積是相等的。

師：那這樣組合起來(lái)比較面積，得出的結(jié)果正確嗎？我們一起來(lái)動(dòng)手操作一下。

在問(wèn)題探究中，教師不要對(duì)學(xué)生答案的正確與錯(cuò)誤進(jìn)行直接判斷，而要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦驗(yàn)證推斷是否正確，這樣才能更好地驗(yàn)證學(xué)生的猜想，讓學(xué)生在猜想、實(shí)踐、驗(yàn)證的過(guò)程中形成更強(qiáng)的邏輯思維，從而打破學(xué)生思維的局限性。

學(xué)生在多媒體課件上動(dòng)手操作，其他同學(xué)可以在網(wǎng)格紙上按照展示的圖片畫(huà)出圖形，自己畫(huà)、剪、拼，進(jìn)行操作比較。

生1：數(shù)格子證明圖形⑤和⑥合起來(lái)與⑧的面積相等。

生2：數(shù)格子證明圖形⑧和⑨的面積相等，都占12 個(gè)格。

生3：可以從⑨的中間部分對(duì)稱(chēng)裁剪，裁剪后得到兩個(gè)平行四邊形，我們把其中一個(gè)翻轉(zhuǎn)再平移，就可以拼成一個(gè)新的圖形，這個(gè)圖形和⑧的面積相等。

學(xué)生共同感受和思考剪切、拼接、移動(dòng)和補(bǔ)充的過(guò)程，教師在此過(guò)程中主要發(fā)揮引導(dǎo)和補(bǔ)充說(shuō)明的作用。通過(guò)數(shù)格子、對(duì)比剪拼和分割移補(bǔ)法，學(xué)生比較思考探究圖形⑧和⑨的面積，這樣便能降低學(xué)生的認(rèn)知難度。

師：剛才的演示和操作證明了我們的猜想，我們可以叫這種方法為“剪拼法”。同學(xué)們有沒(méi)有更好的辦法？

生：還可對(duì)圖形⑨進(jìn)行剪切和平移，變成⑩的樣子（見(jiàn)圖2），這樣⑩和⑧更容易比較面積，也可以得出我們的猜想。

圖2

師：在比較圖形的面積時(shí)，要優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便的、能夠?qū)⒉灰?guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形的方法，再進(jìn)一步用數(shù)格子、重疊法等簡(jiǎn)單的方法進(jìn)行比較。

教師在探究過(guò)程中要為學(xué)生提供更多猜想和驗(yàn)證的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生拓展思路應(yīng)用多種方法進(jìn)行圖形面積的比較。教師主要引導(dǎo)學(xué)生理解為什么不優(yōu)先選擇剪拼法，而選擇后來(lái)的“分割移補(bǔ)法”，進(jìn)而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到很多思路和方法都能解答題目，但要根據(jù)題目特點(diǎn)選擇更簡(jiǎn)便的方法。

4.探究作業(yè)

作業(yè)的布置要給學(xué)生提供更多思考和探究的空間，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容進(jìn)行進(jìn)一步的自主探究和實(shí)踐總結(jié)。

二、案例反思

“比較圖形的面積”是小學(xué)高年數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)圖形問(wèn)題的基礎(chǔ)，主要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，應(yīng)注意以下三點(diǎn)。

第一，要留給學(xué)生充分猜想、探究的空間。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的過(guò)程是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、猜想假設(shè)、驗(yàn)證推理、歸納結(jié)果的過(guò)程，其關(guān)鍵是讓學(xué)生在探索中自主獲得答案。所以在課堂教學(xué)中，教師要積極發(fā)揮引導(dǎo)作用，讓學(xué)生有大膽猜想和驗(yàn)證猜想的機(jī)會(huì)，從而促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的形成。第二，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)和幫助學(xué)生樹(shù)立“比較”的意識(shí)，比較不同思路之間的差異性，比較不同思路解題的便捷性，讓學(xué)生在多種解題思路的激發(fā)和引導(dǎo)下形成更全面的數(shù)學(xué)思維，能從多角度思考問(wèn)題，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維。第三，數(shù)學(xué)邏輯思維的訓(xùn)練需要從抽象轉(zhuǎn)為具體、對(duì)比思考等過(guò)程中激發(fā)。本課中，如果教師直接對(duì)面積這樣較為抽象的數(shù)學(xué)觀念進(jìn)行直接講解，學(xué)生會(huì)難以理解。而將面積比較這種抽象概念轉(zhuǎn)變?yōu)椤皵?shù)格子”“重疊法”“分割移補(bǔ)”這樣的具體操作，學(xué)生能更好地理解知識(shí)，進(jìn)而形成邏輯思維能力。

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，“比較圖形的面積”在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)中非常重要，本節(jié)課中教師通過(guò)實(shí)踐探究活動(dòng)，讓學(xué)生在自己動(dòng)手的過(guò)程中體會(huì)多種比較圖形面積的方法，從而使學(xué)生自主歸納、總結(jié)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)分析能力，為后續(xù)圖形幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)，并高效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。