高數(shù)中微積分的經(jīng)濟(jì)運(yùn)用研究

尚煜萌

摘 要： 隨著中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)程的不斷加快，數(shù)學(xué)科學(xué)的地位也得到了有效鞏固并呈上升趨勢，隨著信息技術(shù)的迅速發(fā)展，經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中的定性分析方法逐漸將定量和定性分析相結(jié)合。它已被轉(zhuǎn)化為一種分析方法，并主要以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進(jìn)行了深入的論證和證明，高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)發(fā)展過程中起著關(guān)鍵的推動(dòng)作用，目前中國每所大學(xué)都在各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用高等數(shù)學(xué)。事實(shí)證明，越來越多的人意識(shí)到以更高的數(shù)學(xué)方式深入分析經(jīng)濟(jì)理論的能力。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué);微積分;經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

【中圖分類號】G633 ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? ? 【DOI】10.12215/j.issn.1674-3733.2020.35.161

引言：高等數(shù)學(xué)不僅在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，為經(jīng)濟(jì)研究奠定了良好的基礎(chǔ)，而且由于已成為科學(xué)合理的技術(shù)，在日常生活中也發(fā)揮了不可忽視的作用。數(shù)學(xué)知識(shí)不僅持續(xù)地參與人們的生產(chǎn)生活，而且已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于科學(xué)和技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，微積分在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相對廣泛，因此被應(yīng)用于與物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)，運(yùn)輸和過程有關(guān)的領(lǐng)域。因此，在當(dāng)今快速發(fā)展的經(jīng)濟(jì)中，充分展示數(shù)學(xué)的價(jià)值是一項(xiàng)重要任務(wù)，使學(xué)生能夠充分利用與高中數(shù)學(xué)相關(guān)的知識(shí)來在社會(huì)中生存。將來對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行分析變得很重要。

1 微積分理論的由來

在高等數(shù)學(xué)中，微積分屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，其應(yīng)用到概念和應(yīng)用用于高等數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)分支，并且與微分學(xué)，極限和積分學(xué)的應(yīng)用有關(guān)是數(shù)學(xué)系的基本學(xué)科。17世紀(jì)以來，盡管微積分的概念和技術(shù)在某種程度上被用來解釋物理學(xué)和天文學(xué)的問題，但是直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格性問題未得以解決。在1818世紀(jì)中期，以牛頓、萊布尼茲等為主，認(rèn)識(shí)到了這個(gè)問題并進(jìn)行了大量研究，但仍然無法解決問題。19世紀(jì)下半葉，法國數(shù)學(xué)家柯西通過極端存在的法則將引入微積分，并提出了極限理論風(fēng)格;隨著極限理論的出現(xiàn)，微積分是基于嚴(yán)格的分析來發(fā)展20世紀(jì)的數(shù)學(xué)提供了條件。

2 高等數(shù)學(xué)中微積分在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的運(yùn)用

2.1 微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用

（1）極限理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用極限理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)中很常見，通過借用最優(yōu)值或極限值預(yù)測和分析經(jīng)濟(jì)問題，實(shí)現(xiàn)了資源的最優(yōu)配置?；蜃畲蠡麧?通過極端理論解決連續(xù)的復(fù)利問題;例如，如果設(shè)置銀行儲(chǔ)蓄的現(xiàn)值P和終值B，則年利率為r。然后，如果將t年后的本金和將來值B=（1+r）t：如果一年劃分為n次并進(jìn)行復(fù)利，則每個(gè)期間的利率為3，并且1年后的本金和終值如下：B=P（1+rn）n

T年后本利與將來值的計(jì)算則是：B=P（1+rn）m

若n→若，那么r年后本利與將來值的計(jì)算則是：B=limP（1+rn）m=Pe·

由于能夠總結(jié)出現(xiàn)值P與將來值B二者的關(guān)系，即：B=Pet或P=Be-1

由于現(xiàn)值P走1，利率r為100%，故而t=1，那么則可推測出B=e在上述情況下應(yīng)用極限理論表明，如果一個(gè)數(shù)字在經(jīng)濟(jì)學(xué)上具有極限，則該極限理論將被應(yīng)用。換句話說，在趨于無窮大或?yàn)榱愕那闆r下，通過在微積分中極限思維來解決經(jīng)濟(jì)學(xué)問題可以簡化過程，并使思維方向更加清晰。

（2）微積分和導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中得到應(yīng)用，因此將經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中存在的相對較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型。這樣做可以有效地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和微積分的知識(shí)，這是導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中最常見的局限性和彈性。在此討論極限分析的應(yīng)用進(jìn)行闡述。

濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的限制問題主要是經(jīng)濟(jì)功能的變化率。換句話說，將經(jīng)濟(jì)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）設(shè)置為該函數(shù)的邊際函數(shù)，并將邊際函數(shù)的某一個(gè)點(diǎn)德值為邊際值，總成本函數(shù)為產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)作為邊際成本，經(jīng)濟(jì)含是產(chǎn)量為q，另生產(chǎn)一個(gè)單位（Δq=1）而獲得的總成本ΔC（q）：邊際收益即銷售量是q時(shí)，另銷售一個(gè)單位（Δq=1）獲得的總收益ΔR（q）：邊際利潤的經(jīng)濟(jì)含義即銷售量是q時(shí)，另銷售一個(gè)單位（Δq=1）獲得的總利潤ΔL（q）。

典型的如，某企業(yè)內(nèi)某種產(chǎn)品收益R（元）為銷售量q（噸）的函數(shù)R（q）=200q- 0.01q2，計(jì)算銷售50噸本產(chǎn)品的邊際收益，對經(jīng)濟(jì)含義進(jìn)行分析。

求解：由以上給出的條件得出，銷售q噸產(chǎn)品總收益函數(shù)即R.（q）=200- 0.02q。故50t產(chǎn)品銷售后的邊際收益計(jì)算是R.（50）=200-0.02×50=199（元）;經(jīng)濟(jì)含義分析則為：在銷售50t本產(chǎn)品的情況下，另增加1t（△q=1）獲得的總收益則為199元。

3 利用微積分進(jìn)行彈性分析

在進(jìn)行編輯分析時(shí)，我們必須將經(jīng)濟(jì)函數(shù)視為絕對數(shù)量和絕對變化率，在現(xiàn)實(shí)生活中，我們在經(jīng)濟(jì)函數(shù)和相對變化量之間具有變化關(guān)系。我們研究是否存在這種變化，我們稱這種分析這種變化關(guān)系的方法稱為彈性分析，在我們的經(jīng)濟(jì)生活中，這種分析方法已經(jīng)在我們的生活中得到了廣泛的應(yīng)用。通過這種方式可以分析和解釋許多現(xiàn)象：可以得出設(shè)定函數(shù)Y=FX。這種功能性反應(yīng)的自變量具有的變化：是否及時(shí)，當(dāng)然，各種類型的經(jīng)濟(jì)函數(shù)都具有彈性上面的表達(dá)式是不同的：在一般情況下，需求價(jià)格的彈性都稱為需求彈性。因此，我們需要很好地控制需求價(jià)格的彈性。這些數(shù)據(jù)對于我們確定商品價(jià)格是重要的參考。

需求函數(shù)：Q=Q（p）需求彈性：EQEp=QQp在EQEp>1的條件下，該產(chǎn)品的需求可以具有相對較大的彈性，在這種情況下，人們對商品需求的變化范圍會(huì)比較價(jià)格，而價(jià)格變化的范圍也會(huì)變化。②在EQEp=1的情況下，這種產(chǎn)品的需求量稱為單位彈性，并且產(chǎn)品需求量變化的幅度與產(chǎn)品價(jià)格變化相同。不論漲價(jià)還是降價(jià)，我們的需求量都不會(huì)發(fā)生重大變化。③在EQEp<1的情況下，這些產(chǎn)品被稱為低彈性或缺乏彈性產(chǎn)品。此時(shí)，如果商品需求量的變化略小于價(jià)格的變化，則總收入將下降，但是提高適當(dāng)?shù)膬r(jià)格將減少我們的銷售量，但會(huì)增加總收入。

從關(guān)于彈性需求的知識(shí)可以看出，如果產(chǎn)品具有相對較高的彈性，則產(chǎn)品的價(jià)格將對需求做出更敏感的響應(yīng)，如果管理層降低產(chǎn)品的售價(jià)，公司將獲得更多利潤，因?yàn)樯唐方祪r(jià)從而導(dǎo)致消費(fèi)者購買產(chǎn)品的欲望以增加銷量。換句話說，當(dāng)我們將銷售價(jià)格定為10元時(shí)，每增加1%，消費(fèi)者對產(chǎn)品的需求就會(huì)相應(yīng)下降在市場經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，公司經(jīng)理必須保持產(chǎn)品的價(jià)格彈性并正確調(diào)整價(jià)格可以幫助企業(yè)獲得大量的市場利潤。

4 利用微積分進(jìn)行最值分析

最有價(jià)值的問題是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中最常見的問題。例如，成本最低材料最少，時(shí)間最短利潤最高。在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，該問題可以統(tǒng)一認(rèn)為是目標(biāo)函數(shù)最值的問題.當(dāng)用一個(gè)特定的經(jīng)濟(jì)變量表達(dá)其他經(jīng)濟(jì)變量時(shí)，它實(shí)際上與對應(yīng)于經(jīng)濟(jì)函數(shù)的最值的問題有關(guān)，微積分系數(shù)的合理運(yùn)算是最值的經(jīng)濟(jì)函數(shù)?？梢詫?shí)現(xiàn)有效對經(jīng)濟(jì)函數(shù)最值的判斷和發(fā)現(xiàn)。舉例說明：a公司產(chǎn)品的邊際成本C′（ x）=1000+52x（單位：元/臺(tái)）在當(dāng)前技術(shù)條件下固定為產(chǎn)品成本的500元，邊際利潤如下′（ x） = 2000 + 2x，要求對已知條件進(jìn)行整理和分析，可以實(shí)現(xiàn)多少生產(chǎn)以實(shí)現(xiàn)最大利潤的條件，則邊際利潤為：L′（x） =′（x） C′（x）=1000-12x。令L′（ x）的值為0，x=2000單位，即當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到2000單位時(shí)，邊際利潤為高。

例如，在當(dāng)前技術(shù)條件下，將公司產(chǎn)品的邊際成本（單位：元/單位）固定為產(chǎn)品成本的500元，輸出為邊際利潤則如下訂單的值為0，x=2000單位，即，當(dāng)輸出達(dá)到2000單位時(shí)，邊際利潤可以最大化。

5 邊際分析

邊際分析研究的重點(diǎn)是當(dāng)一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量發(fā)生變化時(shí)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的變化情況。關(guān)于微積分導(dǎo)數(shù)可以看作是經(jīng)濟(jì)中的替代品，但是邊際函數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義出現(xiàn)在自變量x級別上，并且當(dāng)自變量改變時(shí)y=f（x）變量的相似性也出現(xiàn)了.例如，A公司的利潤L與產(chǎn)品的月產(chǎn)量x之間的關(guān)系是L（x）=250x-5x2，當(dāng)產(chǎn)品的月產(chǎn)量為20t，25t和35t時(shí)，將確定公司的邊際利潤。如果每增加1噸，利潤將增加50元。當(dāng)月產(chǎn)量為25噸時(shí)，產(chǎn)量增加1噸，利潤不會(huì)改變;當(dāng)月產(chǎn)量為35噸時(shí)，產(chǎn)量增加1噸，利潤會(huì)減少100元。根據(jù)分析結(jié)果，在市場經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，公司的生產(chǎn)管理應(yīng)綜合考慮各種因素。并不是擁有的產(chǎn)品越多，獲得的利潤就越多，企業(yè)必須從實(shí)際出發(fā)，做出正確的決定以促進(jìn)企業(yè)穩(wěn)定健康的發(fā)展。

結(jié)語：通過對高數(shù)中微積分的經(jīng)濟(jì)運(yùn)用研究，我們可以非常精確地指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)與高等數(shù)學(xué)之間的關(guān)系。目前，微積分已在許多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中應(yīng)用，并且其應(yīng)用方法不僅限于穩(wěn)重提到的集中，因此我們在國內(nèi)外數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域引入知識(shí)，并利用各種數(shù)學(xué)分析工具。使數(shù)學(xué)應(yīng)該發(fā)揮更大的作用，去解決生活中的實(shí)際困難，對于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的員工，我們對數(shù)學(xué)分析方法有很好的理解，可以為管理人員做出更好的經(jīng)濟(jì)決策?？梢詭椭?jīng)營者提出更好的經(jīng)濟(jì)策略。

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