基于觀測器的線性離散系統(tǒng)預見重復控制

蘭永紅，夏君君

(湘潭大學 自動化與電子信息學院，湖南 湘潭 411105)

0 引言

在工業(yè)生產的實際應用中，存在著許多周期性的控制任務，如脈寬調制(Pulse Width Modulation, PWM)逆變器整流控制[1]、伺服驅動[2]、搬運、裝配、噴涂的工業(yè)機器人以及周期性時間序列預測與控制[3]等。隨著控制精度要求的不斷提高，對于這類系統(tǒng)的研究具有重要的意義。重復控制是解決這類周期信號的跟蹤與干擾抑制的有效方法。

重復控制器包含一個正反饋時滯環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)利用上一周期的誤差信號，使系統(tǒng)的輸出能夠無靜差地跟蹤系統(tǒng)的輸入。盡管重復控制最初是在連續(xù)性系統(tǒng)中提出的，但是隨著計算機技術的發(fā)展，工業(yè)控制過程中通常采用離散模型；此外，利用計算機來實現(xiàn)重復控制器可以利用其強大的數(shù)據(jù)存儲與處理能力，改善系統(tǒng)的性能，故離散系統(tǒng)[4]的重復控制得到了廣泛的關注[5]。實際上，重復控制器包含兩個完全不同的行為：一個周期內連續(xù)控制的行為和各個周期內連續(xù)學習的行為[6]。因此，將二維模型的方法引入離散重復控制系統(tǒng)中更符合離散重復控制的本質[7]。文獻[8]針對一類不確定線性系統(tǒng)，通過獨立考慮重復控制系統(tǒng)兩個完全不同的行為，提出一種離散魯棒重復控制系統(tǒng)設計的二維模型方法;文獻[9]針對參數(shù)不確定性的系統(tǒng)，提出了基于二維混合模型的改進重復控制系統(tǒng)的干擾抑制方法。在工業(yè)生產的實際的過程中，并不是所有被控系統(tǒng)的狀態(tài)可直接測得。解決這一問題的方法之一是引入狀態(tài)觀測器，實現(xiàn)狀態(tài)的重構。文獻[10]提出一種基于二維模型的離散觀測器重復控制方法，獲得了對系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定與漸近跟蹤的線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)條件。

當已知未來參考信號或干擾信號時，系統(tǒng)控制器的設計會利用這些信息來提高系統(tǒng)的控制性能，該方法即為預見控制。由于預見控制利用已知的未來目標信號與干擾信號，能夠改善系統(tǒng)的品質，受到了許多學者的重視[11-12]。文獻[13-15]闡述了預見控制方法的理論、計算以及在線性直流無刷電機、電力轉換器、機械手、機床，汽車懸架裝置、巡航導彈地形跟蹤控制等控制系統(tǒng)中的應用;文獻[16]將H∞控制與預見控制相結合，得到了H∞預見控制的相關結果;文獻[17]針對一類線性離散時間系統(tǒng)，提出一種最優(yōu)控制器的設計方法;文獻[18]從粒子濾波角度出發(fā)，設計了一種無人機航母自動著陸的預見跟蹤控制的方法。

盡管基于二維模型的離散重復控制與預見控制的研究均已取得了很多成果，但是將兩者結合起來的研究并不多見。受以上文獻的啟發(fā)，為了提高系統(tǒng)的控制精度，本文提出一種基于二維模型的預見重復控制方法。考慮到被控對象的狀態(tài)不可測問題，本文還將進一步研究基于觀測器的預見重復控制問題。

1 預見重復控制器設計

離散重復控制系統(tǒng)的基本結構如圖1所示。

圖1中重復控制器的時域形式為：

(1)

其中：L為時滯環(huán)節(jié)的延時時間，等于參考輸入信號r(k)的周期；v(k)為離散重復控制器的輸出；e(k)為系統(tǒng)的誤差信號，即

e(k)=r(k)-y(k)。

(2)

本文考慮如圖2所示的預見重復控制系統(tǒng)設計問題。圖2中CR(z)為基本重復控制器;P(z)為一類具有范數(shù)有界不確定性線性離散系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達式為：

x(k+1)=(A+δA)x(k)+(B+δB)u(k),

y(k)=Cx(k)+Du(k)，

(3)

其中：x(k)∈Rn、u(k)∈Rm、y(k)∈Rq分別為控制系統(tǒng)的狀態(tài)、被控輸和系統(tǒng)的輸出；A、B和C分別為具有相應維數(shù)的常數(shù)矩陣；δA和δB為適當維數(shù)的不確定矩陣函數(shù)，表示了系統(tǒng)的不確定性。假定系統(tǒng)的不確性具有如下形式

(4)

ΣΤΣ≤I。

(5)

圖2中，F(xiàn)e，F(xiàn)x以及Fr(s)(s=0,…,Mr)分別為重復控制器、狀態(tài)反饋控制器以及預見補償器待定增益。易見本章提出的預見重復控制律具有如下形式：

(6)

該制器由3項組成：①基本重復控制器，用來提高周期之間的學習性能；②狀態(tài)反饋控制器，用來提高每個周期內系統(tǒng)的穩(wěn)定性；③預見控制器，利用未來目標值進行前饋補償，以提高閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能。

本文的設計目的是設計如式(6)的預見重復控制器，并給出控制器參數(shù)的具體求解方法，使系統(tǒng)能夠漸近穩(wěn)定，并且對于任意周期的參考輸入，系統(tǒng)的輸出都能夠實現(xiàn)對輸入無靜差的跟蹤，即

(7)

對目標信號r(k)作如下假設：

假設1設目標信號r(k)周期為L，且其可預見步數(shù)為Mr(Mr小于L)，即在當前時刻k，目標信號的當前值和Mr步未來值，r(k)、r(k+1)、…、r(k+Mr)為已知。

假設1是關于目標信號的預見性的假設。值得注意的是，預見信號對控制系統(tǒng)的性能僅在有限步內有顯著的影響，當距離當前時刻較遠時，對系統(tǒng)的影響不大[11,15]。普通的控制系統(tǒng)不利用可預見目標信號，相當于取預見步數(shù)為零。

對系統(tǒng)各個變量，進行如下的定義：

Δx(k)=x(k)-x(k-L),

Δy(k)=y(k)-y(k-L),

Δu(k)=u(k)-u(k-L),

Δr(k)=r(k)-r(k-L)。

(8)

將上式代入線性離散系統(tǒng)(3)中，得到如下L階差分系統(tǒng)

Δx(k+1)=(A+δA)Δx(k)+(B+δB)Δu(k),

Δy(k)=CΔx(k)+DΔu(k)。

(9)

為了將目標信號已知的未來信息引入線性離散差分系統(tǒng)(9)，對參考信號進行提升操作。令

由假設1可知，目標信號在(k+Mr+1)時刻之后不可預見，故Δr(k+Mr+1)=0。從而可得

xr(k+1)=Arxr(k)。

(10)

結合線性離散差分系統(tǒng)(9)與(10)，得

(11)

其中：

根據(jù)式(4)，不確定性矩陣可以表示為

(12)

其中

此外，由式(2)、和式(9)～式(11)，

e(k)=Δr(k)-CΔx(k)-DΔu(k)+e(k-L)

(13)

令Fr=[Fr(0)Fr(1)…Fr(Mr)],由式(1)、式(6)及xr(k)定義，式(6)可以重寫為

=Fee(k-L)+FxΔx(k)+Frxr(k)

(14)

重復控制依賴于兩個獨立的行為，即一個周期之內的控制過程和控制周期之間的學習過程。借鑒文獻[6,8-10],用兩個變量i,j分別來表示重復學習變量和時間變量。對于變量ζ(k)，ζ∈{x,y,u,e,r}，令

ζ(k)=ζ(iL+j)=ζ(i,j),

(15)

進一步定義

Δζ(i,j)=ζ(i,j)-ζ(i-1,j)。

(16)

根據(jù)式(16)，式(11)、式(13)、式(14)可以分別改寫為

(17)

(18)

(19)

聯(lián)立式(17)與式(18)，可得如下二維離散系統(tǒng)：

(20)

式(19)可重寫為

(21)

將式(21)代入式(20)，可得

(22)

令

根據(jù)式(12)，可以得到

(23)

其中：

將式(22)重新寫為

(24)

其中：

可見，線性離散系統(tǒng)(3)的預見重復控制設計問題可以轉化為二維離散系統(tǒng)(24)的穩(wěn)定性問題。下面利用二維離散系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，給出線性離散系統(tǒng)(3)具有形如式(6)的預見重復控制器存在條件和控制器參數(shù)求解方法。

(1)S<0;

引理2[20]給定的適當維數(shù)的矩陣Y、U、W，其中Y是對稱的，則Y+UVM+(UVM)Τ<0對所有滿足VΤV≤I的矩陣V成立，當且僅當存在常數(shù)ε>0，使得Y+εUUT+ε-1WTW<0。

引理3[21]對于如下的二維系統(tǒng)

(25)

如果存在對稱正定矩陣P,Q使得

(26)

則二維離散系統(tǒng)(25)漸近穩(wěn)定，其中：

定理1對于二維離散系統(tǒng)(24)，若假設1成立，如果存在常數(shù)ε>0，對稱正定矩陣Y,Z以及合適維數(shù)矩陣N，使LMI

(27)

則二維離散系統(tǒng)(24)漸近穩(wěn)定，且K=NY-1。

證明根據(jù)引理1，引理3中不等式(26)等價于

(28)

(29)

將式(29)兩邊同時乘以diag{P-1,P-1,P-1}，并令Y=P-1,Z=P-1QP-1,N=KP-1，則有

(30)

令

上述不等式(30)等價于

(31)

根據(jù)引理2，對于所有滿足式(5)的矩陣Σ，不等式(31)等價于式(32)，其中ε>0。對式(32)應用引理1，即可得式(27)，證畢。

ε-1[G1Y+G2N0 0]Τ[G1Y+G2N0 0]<0。

(32)

推論1對于線性離散系統(tǒng)(3)，若假設1成立，如果存在常數(shù)ε>0，對稱正定矩陣Y,Z以及合適維數(shù)矩陣N，使LMI(27)成立，則線性離散系統(tǒng)(3)在預見重復控制器(6)作用下漸近穩(wěn)定，且

[FxFr(0)Fr(1)…Fr(Mr)Fe]=NY-1。

推論1給出了線性離散系統(tǒng)(3)基于LMI的預見重復控制器設計方法，但預見步數(shù)的選取仍然是一個值得深入研究的問題。文獻[22]提出一種可行的參考方法，即利用性能指標函數(shù)值的變化來選取合適的預見步數(shù)。具體地，可以定義性能指標

然后給定對比度ξ(一般取0.001)，如果J(Mr+1)-J(Mr)<ξ，則取預見步數(shù)為Mr。

2 基于狀態(tài)觀測器的預見重復控制器設計

考慮到控制系統(tǒng)的狀態(tài)不可測，本章引入狀態(tài)觀測器，對不可測系統(tǒng)狀態(tài)變量進行重構，給出線性離散系統(tǒng)(3)基于觀測器的預見重復控制器設計方法。

對線性離散系統(tǒng)(3)，構造如下形式的狀態(tài)觀測器

(33)

其中Lo為觀測器待定增益矩陣。

基于觀測器的預見重復控制系統(tǒng)結構框圖如圖3所示。易見，本章提出的基于觀測器的預見重復控制器具有如下形式：

(34)

式(32)和式(34)的二維形式分別為

(35)

(36)

eo(i,j+1)=(A+δA-LoC)eo(i,j)+

(37)

根據(jù)式(4)，可得

其中

同樣，系統(tǒng)誤差方程可寫為

e(i,j)=e(i-1,j)+Δr(i,j)-CΔx(i,j)-

DΔu(i,j)

-DΔu(i,j)

(38)

另一方面，由式(36)，可得

(39)

令For=[For(0)For(1)…For(Mr)]，則

(40)

其中Kox=[Fox0For];Koe=Foe。

因此，基于狀態(tài)觀測器的預見重復器設計問題可以轉化為如下二維離散系統(tǒng)

(41)

在狀態(tài)反饋控制器(40)作用下的穩(wěn)定性問題。

將式(40)代入式(41)，有

(42)

其中：

任意矩陣Π有結構奇異值分解

Π=U[S0]VΤ，

(43)

式中：S為半正定矩陣;U、V為酉矩陣。

(44)

其中：V同式(43)中Π的奇異值分解酉矩陣;X11∈Rp×p;X22∈R(n-p)×(n-p)。

(45)

其中：

Y=diag{Y1,Y2,Y3,Y4}，

Z=diag{Z1,Z2,Z3,Z4},

則二維離散系統(tǒng)(42)漸近穩(wěn)定，且

(46)

(47)

證明類似定理1的證明過程，如果

(48)

其中：

則二維離散系統(tǒng)(42)漸近穩(wěn)定。注意到：

(49)

推論2若假設1成立且線性離散系統(tǒng)(3)具有形如(32)的狀態(tài)觀測器，并存在常數(shù)ε>0，對稱正定矩陣Y,Z以及合適維數(shù)矩陣N，使矩陣不等式(45)成立，則線性離散系統(tǒng)(3)在基于觀測器的預見重復控制器(33)作用下漸近穩(wěn)定，且

(50)

(51)

3 數(shù)值仿真

以LX800 12V/24V永磁同步直線電機為例，電機的電磁推力方程和運動方程分別為：

系統(tǒng)的輸出方程定義為

y(t)=[1 1]x(t)+1.50u(t)。

選取電機參數(shù)[24]：

Kf=9.60 N/A。

取采樣周期T=0.01 s，可得形如式(3)的線性離散系統(tǒng)，且系統(tǒng)矩陣參數(shù)為：

C=[1 1],D=1.50。

取不確定性矩陣為：

目標信號為

取預見步數(shù)為Mr=3、Mr=10、Mr=15，應用推論1，可分別求得控制器增益。Mr=3時，F(xiàn)x=[-0.648 8 -0.653 1],Fe=0.586 5，F(xiàn)r=[0.610 0

0.000 4 0.000 5 0.000 5]；Mr=10時，F(xiàn)x=[-0.651 1 -0.652 3],Fe=0.579 0，F(xiàn)r=[0.618 8 0.000 3 0.000 5 0.000 6 0.000 6 0.000 5 0.000 5 0.000 5 0.000 6 0.000 06 0.000 06];Mr=15時，F(xiàn)x=[-0.651 1 -0.650 3],Fe=0.579 9，F(xiàn)r=[0.621 6 0.000 5 0.000 6 0.000 6 0.000 6 0.000 6 0.000 5 0.000 5 0.000 5 0.000 5 0.000 6 0.000 6 0.000 06 0.000 06 0.000 06 0.000 06]。

系統(tǒng)仿真結果如圖4和圖5所示。由兩圖可知，不同預見步數(shù)情形下，系統(tǒng)輸出響應均能準確地跟蹤目標信號，且隨著預見步數(shù)的增加，系統(tǒng)誤差最大峰值逐漸減小。

圖6～圖7所示為基于狀態(tài)觀測器的預見重復控制仿真結果。由兩圖可知，不同預見步數(shù)情形下，基于狀態(tài)觀測器的預見重復控制均能使系統(tǒng)輸出快速跟蹤系統(tǒng)的目標信號，且控制效果與直接實現(xiàn)的預見控制非常接近，顯示出良好的跟蹤性能。

為便于比較，圖8給出了控制系統(tǒng)在無預見補償?shù)闹貜涂刂?即Mr=0，文獻[8]的方法)、預見重復控制(Mr=10)以及基于狀態(tài)觀測器預見重復控制(Mr=10)作用下，系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線。表1所示為上述不同控制方法下的性能比較。由圖8和表1可知，引入預見補償后，控制系統(tǒng)的跟蹤性能明顯優(yōu)于無預見補償?shù)闹貜涂刂葡到y(tǒng)。

表1 不同控制方法的性能比較

4 結束語

針對一類不確定線性離散系統(tǒng)，本文提出一種基于二維模型的預見重復控制器的設計方法。為提高控制系統(tǒng)的跟蹤性能，將可預見目標信號引入重復控制器，并將預見重復控制器的設計問題轉化為二維離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。基于二維離散系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，并借助LMI處理技巧，獲得了預見重復控制器的存在條件及控制器參數(shù)求解方法。進一步，將所得結果推廣至基于觀測器的預見重復控制情形，通過永磁同步直線電機跟蹤仿真結果，驗證了所提方法的有效性。下一步，將深入研究連續(xù)系統(tǒng)的預見重復控制及其參數(shù)優(yōu)化問題。