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    基于白化權(quán)函數(shù)的改進(jìn)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型

    2020-11-16 09:09:50丁婳婳
    關(guān)鍵詞:灰數(shù)權(quán)函數(shù)白化

    丁婳婳

    (華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 鄭州 450046)

    0 引言

    灰數(shù)及其運(yùn)算是灰色系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)?;覕?shù)是指僅知道取值范圍但不知其確切值的數(shù),用記號“?”表示[1]。

    文獻(xiàn)[2]根據(jù)區(qū)間灰數(shù)的已有分布信息發(fā)掘其幾何意義,并把灰數(shù)序列轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)序列完成建模預(yù)測,但僅能解決典型白化權(quán)函數(shù)類型。文獻(xiàn)[3-4]從區(qū)間灰數(shù)的“核”“信息域”以及“認(rèn)知程度”等特征出發(fā)實(shí)現(xiàn)預(yù)測;文獻(xiàn)[5]利用文獻(xiàn)[3-4]定義的信息域和認(rèn)知程度,構(gòu)建了改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型;區(qū)間灰數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化形式在文獻(xiàn)[6]中給出,文中把區(qū)間灰數(shù)分為“白部”和“灰部”兩個實(shí)數(shù)序列;文獻(xiàn)[7]中對文獻(xiàn)[6]所定義的兩個實(shí)數(shù)序列分別進(jìn)行預(yù)測,進(jìn)而完成區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測;文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上又運(yùn)用函數(shù)的面積和重心給出白化權(quán)函數(shù)預(yù)測模型;文獻(xiàn)[9]基于核與測度完成了區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測;文獻(xiàn)[10]為了保證灰度在建模過程中不減,利用準(zhǔn)灰度因子對區(qū)間灰數(shù)取值范圍進(jìn)行灰度最大化處理;文獻(xiàn)[11]在“灰度不減”公理?xiàng)l件下,定義兩組含上下限信息的核序列的預(yù)測模型降低誤差;文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]分別提出了基于白化權(quán)函數(shù)的灰數(shù)的核與灰度的定義。

    本文將利用文獻(xiàn)[12-13]給出的定義,完成基于白化權(quán)函數(shù)的區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測。根據(jù)已有信息,本文通過充分利用白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值與區(qū)間灰數(shù)的邊界值之間的關(guān)系,建立預(yù)測模型。最后將模型應(yīng)用于已有文獻(xiàn)的算例分析中,驗(yàn)證了模型的有效性和實(shí)用性。

    1 基本概念

    定義1[2]既有下界ak,又有上界bk的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù),記為?k∈[ak,bk],其中ak≤bk,k=1,2,…。由區(qū)間灰數(shù)構(gòu)成的序列記為X(?)=(?1,?2,…,?n)。

    定義2[1]對于區(qū)間灰數(shù)?k∈[ak,bk],ak≤bk,k=1,2,…,在缺乏灰數(shù)取值信息分布情況下稱

    (1)

    為區(qū)間灰數(shù)的核。

    定義3[4]對于區(qū)間灰數(shù)?k∈[ak,bk],ak≤bk,k=1,2,…,稱區(qū)間長度

    d(?k)=bk-ak

    (2)

    為區(qū)間灰數(shù)的信息域。X(?)中所有區(qū)間灰數(shù)的信息域構(gòu)成的序列稱作信息域序列,記為

    Xd=(d1,d2,…,dn)。

    定義4[3]對于區(qū)間灰數(shù)?k∈[ak,bk],ak≤bk,k=1,2,…,稱

    (3)

    Xp=(p1,p2,…,pn)。

    定義5[13]用來描述一個灰數(shù)?k∈[ak,bk]在其取值范圍[ak,bk]內(nèi)對不同數(shù)值的偏好程度的函數(shù),稱作區(qū)間灰數(shù)?k的白化權(quán)函數(shù),記為f?k(x);起點(diǎn)、終點(diǎn)確定的左升、右降連續(xù)函數(shù)稱為典型白化權(quán)函數(shù),如圖1所示。

    圖1 典型白化權(quán)函數(shù)Fig.1 Typical whitening weight function

    定義6[13]圖1中,當(dāng)a′k=b′k時,則稱函數(shù)為三角白化權(quán)函數(shù),如圖2所示。

    圖2 三角白化權(quán)函數(shù)Fig.2 Triangular whitening weight function

    定義7[12]論域Ω∈[a,b],區(qū)間灰數(shù)?k∈[ak,bk]?Ω,k=1,2,…,f?k(x)為灰數(shù)?k的白化權(quán)函數(shù),且0≤f?k(x)≤1,則區(qū)間灰數(shù)的核為

    (4)

    定義8[13]一種基于灰色白化權(quán)函數(shù)的灰數(shù)灰度定義(如圖1)

    (5)

    2 基于白化權(quán)函數(shù)的改進(jìn)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型的構(gòu)造

    基于白化權(quán)函數(shù)的改進(jìn)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型的建模流程:首先根據(jù)已有的信息內(nèi)容,計算出區(qū)間灰數(shù)的信息域和認(rèn)知程度序列,對兩序列依次建立DGM(1,1)模型,經(jīng)由推導(dǎo)還原,完成區(qū)間灰數(shù)上下界值的預(yù)測;因?yàn)橐阎鲄^(qū)間灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù),就已知其在取值區(qū)間內(nèi)的偏好信息,故在計算認(rèn)知程度時,用文獻(xiàn)[12]給出的核來作為白化值。然后根據(jù)核與灰度,建立白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值與區(qū)間灰數(shù)的上下界信息之間的關(guān)系,通過對核與灰度序列建立GM(1,1)模型再推導(dǎo),完成白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值的預(yù)測。

    2.1 白化權(quán)函數(shù)已知的區(qū)間灰數(shù)上下界預(yù)測

    其中k=1,2,…,n,

    其還原值為

    (6)

    其中k=1,2,…,n。

    同理建立認(rèn)知程度序列的DGM(1,1)模型,還原值為

    (7)

    其中k=1,2,…,n。

    由于此時缺乏預(yù)測值的取值分布信息,故用式(1)給出的核作為認(rèn)知程度中的白化值。有

    (8)

    (9)

    聯(lián)立式(8)和式(9)可得

    (10)

    將式(6)和式(7)的預(yù)測結(jié)果代入式(10)中即可得區(qū)間灰數(shù)上下界的預(yù)測值。

    2.2 白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值預(yù)測

    基于白化權(quán)函數(shù)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型,在預(yù)測完區(qū)間灰數(shù)的取值范圍基礎(chǔ)上,完成白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值的預(yù)測。本文研究了兩種白化權(quán)函數(shù)類型。

    1)白化權(quán)函數(shù)為典型白化權(quán)函數(shù)。

    當(dāng)f?k(x)為典型白化權(quán)函數(shù)時,如圖1所示,其具體表達(dá)式為

    由式(4)可求得區(qū)間灰數(shù)的核為

    (11)

    由式(5)可得區(qū)間灰數(shù)的灰度

    (12)

    對核與灰度序列分別建立GM(1,1)模型,其還原值為

    (13)

    (14)

    已知區(qū)間灰數(shù)的核與灰度的預(yù)測值,聯(lián)立式(11)和式(12),將式(13)和式(14)的結(jié)果代入即可得典型白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)預(yù)測值的表達(dá)式,為

    (15)

    (16)

    由式(15)和(16)即可得典型白化權(quán)函數(shù)的端點(diǎn)預(yù)測值。

    歸納建模步驟:

    步驟1通過式(2)式(3)計算出區(qū)間灰數(shù)的信息域和認(rèn)知程度,形成信息域序列和認(rèn)知程度序列,認(rèn)知程度中的白化值由式(4)給出;

    步驟2通過式(6)和(7)對兩個實(shí)數(shù)序列建立DGM(1,1)模型;

    步驟3通過式(10)可還原得區(qū)間灰數(shù)預(yù)測值的上下界;

    步驟4通過式(11)和(12)求出各灰數(shù)的核與灰度,形成核與灰度序列;

    步驟5通過式(13)和(14)對核序列與灰度序列建立GM(1,1)模型;

    步驟6通過式(15)和(16)可得典型白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)預(yù)測值;

    步驟7模型精度分析。

    2)白化權(quán)函數(shù)為三角白化權(quán)函數(shù)。

    當(dāng)f?k(x)是三角白化權(quán)函數(shù)時,如圖2所示,其具體表達(dá)式為

    由式(4)可得區(qū)間灰數(shù)的核為

    (17)

    由式(17)可得三角白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值的表達(dá)式為

    (18)

    通過式(17)求出核,并形成核序列。通過式(13)可得區(qū)間灰數(shù)的核預(yù)測值。將上下界預(yù)測值和核預(yù)測值代入式(18)即可得三角白化權(quán)函數(shù)的端點(diǎn)預(yù)測值。

    歸納建模步驟:

    步驟1-3同1);

    步驟4通過式(17)求出所有灰數(shù)的核;

    步驟5通過式(13)對核序列建立GM(1,1)模型;

    步驟6通過式(18)得到三角白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)預(yù)測值;

    步驟7模型精度分析。

    3 算例分析

    為了便于比較模型精度,本文引用文獻(xiàn)[8]的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模,并將結(jié)果進(jìn)行對比分析。文獻(xiàn)[8]收集了黃河巴彥高勒站2008—2013年在凌期12月09日到第二年3月15日的日均流量,原數(shù)據(jù)見表1。可轉(zhuǎn)化為基于三角白化權(quán)函數(shù)的區(qū)間灰數(shù),如表2。

    表1 巴彥高勒站2008—2013年凌期日均流量/m3·s-1Tab.1 Daily average flow rate of Bayangola Station during ice age from 2008 to 2013/m3·s-1

    表2 巴彥高勒站2008—2013年凌期日均流量/m3·s-1Tab.2 Daily average flow rate of Bayangola station during ice age from 2008 to 2013/m3·s-1

    根據(jù)2008—2012年的數(shù)據(jù),建立模型預(yù)測2012—2013年的日均流量,步驟如下:

    步驟1通過式(2)式(3)計算出區(qū)間灰數(shù)的信息域和認(rèn)知程度,得到信息域序列和認(rèn)知程度序列

    步驟2通過式(6)和(7)對兩個實(shí)數(shù)序列建立DGM(1,1)模型得

    步驟3通過式(10)可得區(qū)間灰數(shù)預(yù)測值的取值區(qū)間為[312.41,780.9];

    步驟4通過式(17)求出的核序列為

    步驟5通過式(13)對核序列建立GM(1,1)模型為

    步驟7模型精度分析,將本文模型預(yù)測結(jié)果與文獻(xiàn)[8]方法的預(yù)測結(jié)果對比見表3。

    表3 兩種方法模擬預(yù)測值對比分析

    4 結(jié)論

    本文通過區(qū)間灰數(shù)的已有信息計算出各特征值,先計算出信息域與認(rèn)知程度序列,對兩序列建立DGM(1,1)模型,經(jīng)由推導(dǎo)還原得區(qū)間灰數(shù)預(yù)測值的上下界;再根據(jù)核與灰度,建立白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值與上下界信息之間的關(guān)系,通過推導(dǎo)還原,來完成白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值的預(yù)測,研究了兩種白化權(quán)函數(shù)類型。 并將本文模型應(yīng)用到已有文獻(xiàn)的算例分析中,結(jié)果表明本文所提出的預(yù)測模型模擬精度較好。但本文的白化權(quán)函數(shù)都是線性函數(shù),當(dāng)白化權(quán)函數(shù)為非線性函數(shù)時要做出怎樣的改進(jìn),這是接下來研究的重點(diǎn)。

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