立體幾何中活動經(jīng)驗的類型及動手操作策略

福建 吳志鵬 陳玉蘭

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是指活動中經(jīng)歷了觀察、操作、實驗、思考等過程，形成一種有助于解決相似問題的思路或技能。“動手操作”是數(shù)學(xué)基本活動之一，學(xué)生通過“動手操作”，積累相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，操作是技能由陌生到成熟再到靈活運(yùn)用的重要途徑，由于活動經(jīng)驗具有內(nèi)隱性，只有通過列舉與描述，使之外顯才能發(fā)揮經(jīng)驗的價值，才有助于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí).在立體幾何的學(xué)習(xí)中特別是解決某些與位置相關(guān)的幾何問題時，活動經(jīng)驗有著不可替代的作用和價值，在學(xué)習(xí)和考試的過程中，如能根據(jù)活動經(jīng)驗類型，通過觀察、操作、實驗，建立直觀模型并獲得有價值的結(jié)論，對于正確判斷點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系、相關(guān)距離的最值及其運(yùn)動時所形成的軌跡等問題都有著很好的示范作用，同時也能減少由于空間想象偏差而造成的失誤以及減少作圖所花費(fèi)的時間.本文通過對幾類常見的立體幾何問題進(jìn)行掃描，引導(dǎo)學(xué)生利用一些簡單的考試工具及用品，動手操作實驗，快速獲取正確的結(jié)論.

一、“搭建模型”研究“點(diǎn)、線、面位置關(guān)系”的活動經(jīng)驗

【例1】已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是

( )

A.若α，β垂直于同一平面，則α與β平行

B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行

C.若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線

D.若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面

【解析】解決點(diǎn)、線、面這三個元素的位置關(guān)系，特別是元素比較多時，作相應(yīng)的直觀圖較為復(fù)雜，考試時借助考試工具如用筆芯、鉛筆等替代直線，用試卷、桌面等替代平面，這樣就能輕而易舉地搭建出題目所給元素的位置模型來驗證位置關(guān)系的正確與否.對于解決此類選擇題通常采用排除法，即構(gòu)建與結(jié)論相對的位置關(guān)系，判斷由條件是否也能獲得這種位置關(guān)系，如能，則結(jié)論錯誤，否則結(jié)論正確，即舉反例說明選項的錯誤.如例1的A選項，用試卷和桌面構(gòu)建兩個相交平面，再驗證是否能找到一個平面與這兩個平面垂直，結(jié)論是能夠找到，故A不正確；B選項，用兩根鉛筆構(gòu)建兩條異面直線，此時易構(gòu)建出與桌面平行的模型，故B不正確；C選項，α與β相交，在α平面中構(gòu)建與α，β交線平行的直線，即可得直線與β平行，故C不正確；D選項，構(gòu)建兩根筆與桌面垂直的模型，則兩筆一定平行.故其逆否命題“若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面”是真命題，所以D選項正確，故選D.

變式：設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，

( )

A.若l⊥β，則α⊥βB.若α⊥β，則l⊥m

C.若l∥β，則α∥βD.若α∥β，則l∥m

【答案】A.

【評析】此類試題在高考中較為常見，由于四個選項所構(gòu)成的空間位置比較多種，作空間圖形顯然更花費(fèi)時間也更容易出現(xiàn)直觀想象的偏差，因此在考試過程中我們可以利用手中的工具，如筆、直尺、三角板、試卷、桌面及教室等構(gòu)建相應(yīng)的空間模型，這樣進(jìn)行位置關(guān)系的判斷比在紙上作圖更直觀，更高效.

二、“折疊與展開”研究“變與不變”的活動經(jīng)驗

【例2】下圖是棱長為1的正方體平面展開圖，則在這個正方體中，以下結(jié)論錯誤的是

( )

B.AB與BF所成的角為60°

D.EF與MC是異面直線

【解析】為考查空間中角和線段的位置變化情況，命題者經(jīng)常會將圖形展開或折疊，讓學(xué)生通過折疊還原成空間圖形或展開成平面圖形再來判斷.折疊后與展開圖的哪些面是對應(yīng)的？哪些角是對應(yīng)的？又有哪些頂點(diǎn)是對應(yīng)的？這些都要求學(xué)生要有較強(qiáng)的空間想象能力，給空間想象能力弱的學(xué)生則帶來很大的挑戰(zhàn)，想讓他們解決此類問題其實也不難，關(guān)鍵是要弄清哪些量是變的，哪些量是不變的，如果能借助簡單工具動手操作，如用小刀將方塊橡皮擦切成可立的長方體薄片替代正方體的各個面，分別按展開圖放置，再折起還原成正方體就能輕而易舉地找到展開圖與原圖形對應(yīng)的點(diǎn)和發(fā)生變化的點(diǎn).觀察折起的圖形，此時問題的難度得到了有效的降低，易選D.

變式：一個正方體的平面展開圖及該正方體直觀圖的示意圖如圖所示.在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，GH的中點(diǎn)為N.

請將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)；

【答案】F在點(diǎn)B上方的頂點(diǎn)處，G在點(diǎn)C上方的頂點(diǎn)處，H在點(diǎn)D上方的頂點(diǎn)處.

變式：如圖，已知O為圓錐的頂點(diǎn)，MN為圓錐底面的直徑，一只蝸牛從M點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行到N點(diǎn)時，所爬過的最短路線的痕跡(虛線)在側(cè)面展開圖中的位置是

( )

A

B

C

D

答案：C.

【評析】對于研究“變與不變”的問題，我們只需利用簡易工具如橡皮擦、軟塑料的量角器、試卷(不是答題卡)等依樣構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，再通過折疊或展開，尋找前后相應(yīng)點(diǎn)的位置，這樣可快速對展開圖進(jìn)行還原，或?qū)⒘Ⅲw幾何圖形進(jìn)行展開，這樣看圖就更直觀、清晰，減少因?qū)?yīng)關(guān)系偏差而出現(xiàn)的失誤，觀察所需要的元素在折疊與展開過程經(jīng)歷“變或不變”，更好地助力相關(guān)幾何問題的解決.

三、“運(yùn)動旋轉(zhuǎn)”研究“過程變化”的活動經(jīng)驗

( )

【評析】三角板作為我們作圖時常用的工具，其三個角分別為30°,45°,60°的特殊角，邊角關(guān)系特殊性彰顯其具有豐富的內(nèi)涵，經(jīng)常作為命題者命題的來源，在三角函數(shù)、立體幾何、平面幾何以及解析幾何中均有出現(xiàn)，由邊角的這一特殊關(guān)系聯(lián)想到三角板，并利用這個工具動手操作、研究△BAC繞著斜邊BC旋轉(zhuǎn)，在這個過程中觀察點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離變化情況，并獲得距離取值的范圍.

【例5】如圖，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是

( )

A.直線 B.拋物線

C.橢圓 D.雙曲線的一支

【解析】由題可知∠PAB=30°，當(dāng)P點(diǎn)在平面α上運(yùn)動時，可尋得一個含有30°角的三角板進(jìn)行替代，將斜邊固定，另一直角邊繞斜邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓錐，并想象用一個平面去截圓錐所得的圖形是什么？易知當(dāng)平面與圓錐的高垂直時，所得截面為與底面平行的圓，否則為橢圓.本題用一個與圓錐高成60°角的平面截圓錐，所得圖形為橢圓，故選C.

【評析】對于旋轉(zhuǎn)問題，一般表現(xiàn)為某個圖形圍繞著某個點(diǎn)或某條直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，有時可以借助數(shù)學(xué)作圖工具，動手實驗操作，觀察旋轉(zhuǎn)時的圖形變化情況以及所求目標(biāo)在旋轉(zhuǎn)時的位置，通過動手實驗操作獲得直觀、感性認(rèn)識，進(jìn)而得出正確的結(jié)論，有效解決需要通過證明才能獲得結(jié)論的問題，實用而又高效.