構(gòu)造圓解決數(shù)學(xué)問題例析

福建 童其林

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗)》的總目標(biāo)中提出“提高提出問題、分析和解決問題(包括實(shí)際應(yīng)用問題)的能力”，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》新增加了“發(fā)現(xiàn)問題的能力”，并且整體上升到問題解決“四能”的層面，這是目標(biāo)上的一個變化，也給高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了新挑戰(zhàn).例如發(fā)現(xiàn)問題是指發(fā)現(xiàn)什么問題呢？是發(fā)現(xiàn)變化中的不變量，還是發(fā)現(xiàn)幾何問題可用代數(shù)的方法解決，等等.下面筆者針對一些數(shù)學(xué)問題中通過發(fā)現(xiàn)隱性圓可以快速求解問題，或突破解題瓶頸的方法和大家進(jìn)行分享.

一、向量問題中構(gòu)造圓

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點(diǎn)評：向量是有方向的量，有明顯的幾何意義.構(gòu)造適合已知條件的直線、三角形、圓等，是快速求解的一個方法.

二、解析幾何中構(gòu)造圓

例2過點(diǎn)(0,2)作直線x+my-4=0的垂線，垂足為Q，則Q到直線x+2y-14=0的距離最小值為

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A.0 B.2

解法一：設(shè)P(0,2),R(4,0),

直線l方程為x+2y-14=0，

則直線PR的方程為x+2y-4=0，且直線PR∥l,

過點(diǎn)Q作QM⊥PR于點(diǎn)M，延長MQ交l于點(diǎn)N,

設(shè)d=|QN|=|MN|-|QM|，

解法二：點(diǎn)Q在以PR為直徑的圓上(除去圓與x軸的交點(diǎn))，

點(diǎn)評：解法1利用均值不等式求解，解法2發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q在以PR為直徑的圓上(除去圓與x軸的交點(diǎn))，從而快速找到解題思路.

例3已知實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，點(diǎn)P(-3,0)在動直線ax+by+c=0(a,b不同時為0)上的射影點(diǎn)為M,若點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,3)，則線段MN的最大值是________.

解析：因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，方程ax+by+c=0可以變形為2ax+2by+2c=0,則有2ax+(a+c)y+2c=0,整理為a(2x+y)+c(y+2)=0.

因此直線ax+by+c=0恒過定點(diǎn)Q(1,-2).

點(diǎn)評：注意直角三角形的外接圓以斜邊的中點(diǎn)為圓心，這是隱性圓的一個特征.

例4在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4，0)，B(-6，0)，點(diǎn)C是y軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為________.

解析：構(gòu)造含有90°圓心角的⊙P，則⊙P與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C．注意點(diǎn)C有兩個．

設(shè)線段BA的中點(diǎn)為E，∵點(diǎn)A(4，0)，B(-6，0)，∴AB=10，E(-1，0)．

以點(diǎn)P為圓心，PA(或PB)長為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，

過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，則OF=PE=5，PF=1，

所以O(shè)C=OF+CF=5+7=12，

所以點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，12).

(2)如圖所示，在第三象限可以參照(1)進(jìn)行同樣操作，同理求得y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，-12)．

綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，12)或(0，-12)，

故答案為(0，12)或(0，-12)．

例5如圖，等邊三角形ABC的邊長為a，兩頂點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上移動，求第三個頂點(diǎn)C到原點(diǎn)距離的最大值和最小值.

解析：由于A，B兩點(diǎn)均在運(yùn)動，用常規(guī)方法解答比較繁難.不如來個“動靜互換”，即把線段AB看作定線段，原點(diǎn)O作為動點(diǎn)，當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動時，由于要始終保持OA⊥OB，故動點(diǎn)O的軌跡是以AB為直徑的圓，這樣就把求動點(diǎn)C到定點(diǎn)O距離的最值問題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)C到動點(diǎn)O的距離最值問題.于是本題轉(zhuǎn)化為平面幾何中求圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的距離最值問題，這種問題的解法非常直觀，非常簡捷.

點(diǎn)評：解決兩個點(diǎn)或多個點(diǎn)變化的問題，首先可以讓某個點(diǎn)固定，找出其中的另一個點(diǎn)變化的規(guī)律，這就是我們常說的“動靜互換”思想，需要想象能力.

在漲跌循環(huán)的市場規(guī)律下，今年一個意外的干擾因素是非洲豬瘟疫情，對于禽類市場的提振較為明顯。尤其進(jìn)入10月份后，疫情發(fā)展較快，禁運(yùn)令對于生豬市場影響進(jìn)一步顯現(xiàn)，禽類市場開始進(jìn)入震蕩上行的趨勢，蛋雞養(yǎng)殖盈利較可觀。卓創(chuàng)資訊市場分析王愛麗認(rèn)為，從雞苗銷量看，后期新開產(chǎn)蛋雞的數(shù)量也偏少，一直到年底都是這樣。十二月、一月整體供應(yīng)都偏緊張，所以雞蛋價格會維持在高位，行情偏好。

三、三角形問題中構(gòu)造圓

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由AB2=BC2+AC2得∠C=90°.由對稱性知BC與B′C′交點(diǎn)在AD上，如圖.

AC=CE+AE=27，故對角線AC的最大值為27.

點(diǎn)評：本題涉及較多的平面幾何知識和解三角形知識，要注意點(diǎn)的軌跡在求幾何最值問題中的應(yīng)用，即在求解平面幾何問題時要有軌跡意識.計算CE還有如下方法.

①建系法：如果以D為原點(diǎn)，DB所在直線為x軸，DC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則C(0,9),E(8，-6)，得CE=17.計算量比前面的方法小一些.

=17.

即AD=20sin(θ+∠BAD)=12sinθ+16cosθ.

在△ACD中，由余弦定理得，

解法二體現(xiàn)了解三角形的基本解法——引入?yún)?shù)θ，將求距離最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題，需要一定的三角變換能力，有不小的運(yùn)算量.相比之下還是解法1發(fā)現(xiàn)隱圓求解更簡單.

實(shí)際上，出現(xiàn)隱圓的情況不只以上三種情形，在函數(shù)問題中，在復(fù)數(shù)問題中，在平面幾何及立體幾何問題中，都可能有隱性圓的情況.