例說三角形面積最值的思維視角

廣東 閆 偉

三角形面積的最值問題一直是各類考試中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，因其內(nèi)涵豐富，靈活多變，常令學(xué)生望而生畏.本文擬從這類問題的思維視角作一些舉例說明，以資參考.

三角形面積的最值問題一直活躍在各類考試中，因其解法靈活，思維跨度大，故常常令學(xué)生“望題興嘆”.該類試題往往聚焦三角形的邊和角這兩個(gè)基本元素，綜合考查正、余弦定理及平面幾何的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)滲透函數(shù)、不等式、平面向量等內(nèi)容，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).筆者經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，盡管多數(shù)學(xué)生對(duì)三角形面積最值問題的基本思路和方法較熟悉，但是大多都依賴于復(fù)雜的運(yùn)算和推理過程，即使答案正確也耗時(shí)耗力，無(wú)法高效解題.本文擬從這類問題的思維視角進(jìn)行舉例說明，給出思考的方向和可操作的方法，以期給大家啟發(fā).

一、基于均值不等式的視角

已知一角及其對(duì)邊，結(jié)合余弦定理直接利用均值不等式求已知角兩夾邊乘積的取值范圍，進(jìn)而確定三角形面積的最值.

評(píng)注:本題先借助正弦定理求出∠A，接著用余弦定理表示三邊的等量關(guān)系，再利用均值不等式求bc的取值范圍，進(jìn)而求得面積最大值，試題難度不大，解題思路較為自然.

二、基于函數(shù)的視角

求一個(gè)量的最值常用的方法是將某個(gè)變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)的自變量來處理，于是先將三角形面積表示成某個(gè)角或者某一邊的函數(shù)，再借助函數(shù)的性質(zhì)來求面積的最值.

評(píng)注：根據(jù)已知條件，聯(lián)想到正弦定理，結(jié)合恒等變換將三角形面積表示成某個(gè)角的三角函數(shù)形式，即y=Asin(ωx+φ)+k形式，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求最大值，思路清晰自然，解法較為常規(guī).

評(píng)注：本題的條件相對(duì)簡(jiǎn)潔，都是邊與邊之間的關(guān)系，而正、余弦是處理三角形邊、角問題的重要入口，從而自然而然地聯(lián)想到構(gòu)造以邊為自變量的函數(shù)來表示三角形的面積，再利用函數(shù)的性質(zhì)可快速有效地解決最值，體現(xiàn)了函數(shù)思想的妙用.

三、基于坐標(biāo)運(yùn)算的視角

在三角形面積的最值問題求解中，通過建立平面直角坐標(biāo)系，把三角形中的邊角條件“坐標(biāo)化”和“解析化”，從坐標(biāo)運(yùn)算的角度來解題，可以避免繁雜的邏輯推理過程.

評(píng)注:因題中條件過于簡(jiǎn)潔，僅已知一邊和兩角的正切值乘積，如果純粹從三角形中邊角關(guān)系結(jié)合正余弦定理將很難入手，相反通過建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化能快速鎖定C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，從軌跡圖形中易看出三角形的高即C點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值的大小，借助坐標(biāo)運(yùn)算使得解題過程直觀、簡(jiǎn)潔，極大地降低了試題難度.

四、基于平面向量的視角

平面向量具有“數(shù)”和“形”的雙重性，是溝通幾何、代數(shù)和三角的重要工具，借助平面向量基本定理建立三角形中邊與邊之間的等量關(guān)系式再結(jié)合均值不等式確定三角形兩邊乘積的最值，進(jìn)而確定面積的最值.

五、基于軌跡的視角

與三角形面積有關(guān)的最值問題中條件蘊(yùn)含的圖形往往含有運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，解決此類問題的關(guān)鍵是要構(gòu)建出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，借助軌跡思想求解三角形面積最值往往能夠達(dá)到出奇制勝，化繁為簡(jiǎn)的效果.

【例6】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB，且b=2，則S△ABC的最大值為________.

評(píng)注：本題以“已知一邊及其對(duì)角”模型為載體求三角形面積的最大值，考查正、余弦定理和面積公式等知識(shí)，解題思路寬泛，可以利用均值不等式或關(guān)于角的三角函數(shù)來求解，本解法的優(yōu)點(diǎn)在于根據(jù)角B及對(duì)邊確定B點(diǎn)的軌跡是圓上的一段優(yōu)弧，揭示了問題的本質(zhì)，使得解題過程更加簡(jiǎn)潔明了.

評(píng)注：本題的背景是阿氏圓：設(shè)A,B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=tPB，當(dāng)t≠1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是阿氏圓，根據(jù)阿氏圓的定義確定A點(diǎn)的軌跡方程，從而將面積最大值問題轉(zhuǎn)化到求A點(diǎn)到x軸距離的最大值問題；若借助其他解法，都不如軌跡法運(yùn)算量少，簡(jiǎn)單直觀.

評(píng)注：本題若用常規(guī)解法，比較復(fù)雜，要借助半角公式和海倫公式，運(yùn)算相當(dāng)繁瑣，相反先借助橢圓定義求B點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合橢圓的特征確定三角形面積取最大值的位置，巧妙地避開復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，起到四兩撥千斤的效果.

六、基于平面幾何的視角

解三角形有關(guān)的問題本質(zhì)上是平面幾何問題，借助平面幾何知識(shí)結(jié)合幾何圖形的特征將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以順利求解三角形面積最值，實(shí)現(xiàn)高效解題.

【例9】在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在線段BC上，且BC=3BD，AD=2，則S△ABC的最大值為________.

評(píng)注:從本質(zhì)上看解三角形也是平面幾何的知識(shí)，像本題這一類動(dòng)態(tài)三角形問題都有著平面幾何背景，通過平面幾何中相似三角形知識(shí)將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)基本問題：已知三角形中的一角及其對(duì)邊，求面積的最大值，巧用外接圓來解三角形面積，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，讓學(xué)生感受到任何一道難題都可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題.

七、基于特殊結(jié)論的視角

先給出一個(gè)特殊結(jié)論：在四邊形ABCD中，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形A,B,C,D四點(diǎn)共圓時(shí)，等號(hào)成立.該結(jié)論是平面幾何中的重要結(jié)論——廣義托勒密定理.

【例10】已知△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，D為△ABC外一點(diǎn)，且CD=AD=2，則△BCD面積的最大值為________.

評(píng)注：本題借助平面幾何知識(shí)，在底邊確定的情形下，一定有底邊上的高不大于底邊上的中線，故在求高的最大值時(shí)轉(zhuǎn)化到求中線的最大值，再結(jié)合廣義托勒密定理可順利求解中線的最大值，進(jìn)而求得面積的最大值，作為小題，妙借結(jié)論解題不失為一種高效的解題方法.