聚焦核心素養(yǎng) 深化解法探究
——以2019年全國(guó)卷Ⅱ文科數(shù)學(xué)解析幾何試題為例

甘肅 張 科 陳永慶

歷年來(lái)，解析幾何題都是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，深受高中一線數(shù)學(xué)教師的青睞，筆者借鑒研究解析幾何經(jīng)典問(wèn)題的策略和經(jīng)驗(yàn)，以2019年高考全國(guó)卷Ⅱ文科數(shù)學(xué)第20題為例，從試題剖析、多解探究以及核心素養(yǎng)等方面對(duì)解析幾何備考啟示進(jìn)行分析和探究，希望能夠?yàn)檠芯咳珖?guó)卷Ⅱ的讀者起到拋磚引玉的作用.

1.試題再現(xiàn)

(Ⅰ)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率;

(Ⅱ)如果存在點(diǎn)P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.

2.考題剖析

本題考查橢圓離心率的求法、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及焦點(diǎn)三角形面積，也考查了數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及方程思想，同時(shí)還考查了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).試題的重點(diǎn)是題設(shè)中幾何條件的代數(shù)轉(zhuǎn)化，難點(diǎn)是選擇恰當(dāng)?shù)幕瘹w方式優(yōu)化運(yùn)算.

3.多視角探究

第(Ⅰ)問(wèn)：

視角1：解析幾何視角

又因?yàn)閎2=a2-c2，化簡(jiǎn)得 4a4-8a2c2+c4=0，

【評(píng)析】此解法使用數(shù)形結(jié)合的代數(shù)方法——坐標(biāo)法來(lái)解決問(wèn)題，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

視角2：平面幾何視角

解法2：連接PF1,由△POF2為等邊三角形知

在△F1PF2中, ∠F1PF2=90°，

【評(píng)析】此解法運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)并結(jié)合橢圓的第一定義使得問(wèn)題得以解決，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

視角3：解三角形視角

解法5：根據(jù)題意知|PF2|=c,|PF1|=2a-c，∠F1PF2=90°,由勾股定理得

c2+(2a-c)2=(2c)2，即2a2-2ac=c2，

兩邊同時(shí)除以a2有e2+2e-2=0，

補(bǔ)鈣似乎是孕媽媽們都具有的觀念，但是你真的對(duì)補(bǔ)鈣這件事很清楚嗎？你的認(rèn)識(shí)是正確的嗎？為此我們特別采訪了營(yíng)養(yǎng)科主任朱桂琦，請(qǐng)他來(lái)回答孕媽媽們對(duì)補(bǔ)鈣的疑問(wèn)。

【評(píng)析】以上三種解法應(yīng)用解三角形的理論結(jié)合正弦定理、余弦定理、勾股定理及橢圓的定義等知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在解題中的重要性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)平面幾何知識(shí)的運(yùn)用能力和直觀想象的核心素養(yǎng).

第(Ⅱ)問(wèn)：

視角1：解析幾何視角

【評(píng)析】此解法利用解析幾何的代數(shù)方法——坐標(biāo)法，屬于通性通法，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

視角2：平面幾何視角

解法2：設(shè)PF1=l，則PF2=2a-l，由

得4c2=2l(l-2a)+4a2=-2×32+4a2, 即

a2-c2=b2=16，故b=4.

【評(píng)析】本解法充分利用了平面幾何的初等知識(shí)， 如三角形面積公式和勾股定理，并且用到了基本不等式，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

視角3：三角函數(shù)視角

解法3：因?yàn)椤鱂1PF2的面積等于16，

存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，只需最大角等于90° ，

視角4：方程視角

解法4：如圖，設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2，

由△F1PF2的面積等于16，

得r1·r2=32，因?yàn)閞1+r2=2a，

所以r1,r2是方程x2-2ax+32=0 的兩根，

【評(píng)析】此解法從方程的角度入手，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式形成不等關(guān)系式，進(jìn)而求出取值范圍，使學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)的融合應(yīng)用，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的.

4.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)下解析幾何的備考啟示

4.1抓實(shí)課本基礎(chǔ)，追溯知識(shí)本質(zhì)，凸顯學(xué)科素養(yǎng)

教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的重要載體，是教與學(xué)的重要資源.歷年的高考試題都蘊(yùn)含著課本中重要的數(shù)學(xué)思想方法和思想精髓.所以在高三復(fù)習(xí)階段要高度重視對(duì)教材中例題和習(xí)題中所深藏的知識(shí)本質(zhì)及其中的解答通法的潛心研究，追溯知識(shí)本質(zhì).

4.2深探高考真題，重視通性通法，強(qiáng)化運(yùn)算能力

在解析幾何備考中，要重視高考試題的教學(xué)功能，體會(huì)其蘊(yùn)藏知識(shí)的本質(zhì)和通性通法，把握知識(shí)內(nèi)涵和外延，在講解解析幾何試題時(shí)，要給學(xué)生充分的探索時(shí)間和空間，合理引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言多重轉(zhuǎn)換，滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力.引導(dǎo)學(xué)生深層次思考，親身經(jīng)歷和體驗(yàn)運(yùn)算過(guò)程，幫助學(xué)生突破計(jì)算難點(diǎn)，提升學(xué)生在計(jì)算方面的信心，落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).

4.3加強(qiáng)解題反思，倡導(dǎo)理性思維，培養(yǎng)自主創(chuàng)新

平面解析幾何的經(jīng)典問(wèn)題往往能挖掘出多個(gè)優(yōu)美統(tǒng)一的結(jié)論.教師在解題后要引導(dǎo)學(xué)生深入探究試題背后的知識(shí)背景，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，開(kāi)展基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的類(lèi)比、猜想、探究教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)平面解析幾何性質(zhì)建立不同情形的數(shù)學(xué)模型，并且合理地、嚴(yán)密地推理，進(jìn)而得出更多豐富多彩的結(jié)論，落實(shí)對(duì)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)的培養(yǎng).

4.4重視例題變式，發(fā)揮題目功能，踐行深度學(xué)習(xí)

在高考備考中，深層次挖掘高考真題的教學(xué)價(jià)值，教師通過(guò)一題多解、一題多變等手段調(diào)動(dòng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的積極性，提升學(xué)生的思維廣度和深度，落實(shí)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的能力.

4.5優(yōu)化解題過(guò)程，提升解題策略，學(xué)會(huì)歸納類(lèi)比