從2020年一道函數(shù)隱零點(diǎn)模考題說起

安徽 李昭平

函數(shù)的隱零點(diǎn)問題在近幾年的高考和模考中頻頻出現(xiàn)，成為試卷中一道亮麗的風(fēng)景線.本文對(duì)2020年一道最新函數(shù)隱零點(diǎn)?？碱}進(jìn)行思考和研究，揭示“一分為二”解題思想.并通過類比推廣應(yīng)用，深化解題思想方法，錘煉數(shù)學(xué)思維，提高復(fù)習(xí)效率.

1.題目

(2020年漳州高三適應(yīng)性測(cè)試題)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

2.分析

本題函數(shù)f(x)中含有參數(shù)a，f(x)=0存在兩個(gè)正實(shí)根，但無法求出，我們稱這種函數(shù)具有隱零點(diǎn).顯然,此題若直接對(duì)f(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象與x軸正半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，又會(huì)涉及求f′(x)=0的根和對(duì)參數(shù)a的討論，比較復(fù)雜. 這讓我們聯(lián)想到：能否直接將方程lnx+ax+1=0 “一分為二”成兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)y=lnx和y=-ax-1的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來處理呢？基于這種想法，得到下述解答.

3. 解答

函數(shù)f(x)=lnx+ax+1的定義域是(0,+∞)，

令g(x)=lnx，h(x)=-ax-1. 函數(shù)f(x)=lnx+ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)g(x)和函數(shù)h(x)的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn).

當(dāng)a≥0時(shí)，兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意,

當(dāng)a<0時(shí)，由于直線h(x)=-ax-1經(jīng)過定點(diǎn)(0,-1),而曲線g(x)在點(diǎn)(1，0)處的切線方程是y=x-1，也經(jīng)過點(diǎn)(0,-1).因此直線y=x-1是直線h(x)=-ax-1的極限位置.

于是當(dāng)-a<1，即-1

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,0).

4.結(jié)論

由上述解答，得到以下結(jié)論：設(shè)f(x)=g(x)-h(x),求f(x)的零點(diǎn)?f(x)=0的實(shí)數(shù)根?g(x)與h(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 其中y=g(x)和y=h(x)是定曲線(含直線)或動(dòng)曲線(含直線).對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)f(x)，或其導(dǎo)函數(shù)f′(x)，或f′(x)的導(dǎo)函數(shù)f′′(x)的零點(diǎn)問題，或不等式問題, 利用“一分為二”的思想將復(fù)合型函數(shù)方程f(x)=0，f′(x)=0，f′′(x)=0或不等式f(x)>0，f(x)<0,分成兩條曲線y=g(x)和y=h(x)來處理，往往能化繁為簡(jiǎn)、化難為易, 融直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)為一體.下面結(jié)合典例介紹應(yīng)用.

5. 應(yīng)用

5.1 處理函數(shù)f(x)的隱零點(diǎn)問題

( )

即xlnx=-a(x-1).

令g(x)=xlnx,h(x)=-a(x-1)，

直線h(x)=-a(x-1)過定點(diǎn)(1,0),用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以畫出定曲線g(x).

當(dāng)a≥0時(shí)，兩函數(shù)的圖象在x∈[1,e]上只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意.

點(diǎn)評(píng)：本題考查f(x)的隱零點(diǎn)，“一分為二”成兩個(gè)函數(shù)g(x)=xlnx(定曲線)和h(x)=-a(x-1)(動(dòng)直線)，則問題立即轉(zhuǎn)化為定曲線與動(dòng)直線的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合、動(dòng)靜變化、極限位置，快速實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).注意對(duì)參數(shù)a的分類討論和不等式g(e)≥h(e)中能取到等號(hào).

5.2 處理函數(shù)f′(x)的隱零點(diǎn)問題

【例2】(2020年青島市高三段考題)設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=ex-aln(x-1), 其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 試判斷f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

當(dāng)a<0時(shí)，兩函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，即函數(shù)f′(x)沒有零點(diǎn)，此時(shí)f(x)沒有極值點(diǎn).

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=ex，顯然沒有極值點(diǎn).

當(dāng)a>0時(shí)，如圖，兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)是x0.

顯然，當(dāng)x

當(dāng)x>x0時(shí)，g(x)>h(x),f′(x)>0.

此時(shí)f(x)只有唯一極小值點(diǎn).

5.3 處理函數(shù)f″(x)的隱零點(diǎn)問題

5.4處理不等式的證明問題

因此f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)>f(1)=0.

再令g(x)=x-ex-1,則g′(x)=1-ex-1<0,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，g(x)

5.5處理不等式的整數(shù)解問題

【例5】(2020年皖江聯(lián)盟聯(lián)考題)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex+1+ax(a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). 若有且僅有3個(gè)負(fù)整數(shù)x1,x2,x3，使得f(x1)≤0,f(x2)≤0,f(x3)≤0,則a的最小值是________.

顯然，當(dāng)a≥0時(shí)滿足f(x)≤0的負(fù)整數(shù)x有無數(shù)個(gè)，因此a<0.

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)，將不等式f(x)≤0“一分為二”成兩個(gè)函數(shù)y=g(x)(定曲線)和y=h(x)(動(dòng)直線)，則不等式的整數(shù)解問題立即轉(zhuǎn)化為定曲線與動(dòng)直線的位置關(guān)系，再列出相應(yīng)的不等式組求解即可，要特別注意在何處取等號(hào) .

5.6處理曲線的切線問題

則“過點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價(jià)于“定曲線y=g(x)與動(dòng)直線y=-t有3個(gè)不同的交點(diǎn)”．