數(shù)列核心考點精析

安徽 胡 彬

數(shù)列是高中數(shù)學的重要內容，也是高考考查的重點與熱點.高考考查數(shù)列的核心考點，主要包括：數(shù)列的概念以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質、通項公式與前n項和公式.其中，等差(比)數(shù)列的通項公式與求和公式以及它們與其他知識的綜合應用是考查的重點.數(shù)列試題的考查突出基礎性，強調對其通性通法的理解與應用；數(shù)列試題也具有一定的綜合性，強調對基礎知識和能力的考查的有機結合.其中蘊含著多種數(shù)學思想方法，更能體現(xiàn)新課程標準中對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查.下面對這些核心考點進行分類精析.

核心考點1：等差(比)數(shù)列的基本運算

【例1】(2019·全國卷Ⅰ理·9)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4=0,a5=5，則

( )

A.an=2n-5 B.an=3n-10

答案：A.

【例2】(2019·全國卷Ⅲ理·5)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5=3a3+4a1，則a3=

( )

A.16 B.8

C.4 D.2

答案：C.

解析：設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，由a5=3a3+4a1得q4=3q2+4，得q2=4，因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以q=2，又a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+2+4+8)=15，所以a1=1，所以a3=a1q2=4，故選C.

評注：等差(比)數(shù)列基本運算的解題策略：(1)設基本量a1和公差d(公比q)；(2)列(解)方程組，即把條件轉化為關于a1和d(q)的方程(組)，再求解.通項公式和前n項和聯(lián)系五個基本量，知道其中三個可求余下兩個，考查了方程思想，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理，數(shù)學運算.

核心考點2：等差(比)數(shù)列性質問題

【例3】設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3=9,S6=36，則a7+a8+a9=________.

答案：45.

解析：由{an}是等差數(shù)列，得S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列，即2(S6-S3)=S3+(S9-S6)，得S9-S6=2S6-3S3=45，所以a7+a8+a9=45.

【例4】已知在公比不為1的等比數(shù)列{an}中，a2a4=9，且2a3為3a2和a4的等差中項，設數(shù)列{an}的前n項積為Tn，則T8=

( )

C.318D.320

答案：D.

核心考點3：求數(shù)列的通項公式

【例5】已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n，則數(shù)列{an}的通項公式為________.

解析：a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n①，當n≥2,n∈N*時，

點評:1.由Sn求an的通法：(1)先由a1=S1，求a1；(2)用Sn寫出Sn-1(n≥2)，利用an=Sn-Sn-1(n≥2)，求an；(3)檢驗n=1時的表達式是否可以與n≥2(n∈N*)的表達式合并，不能合并時，則分段表達.

核心考點4：數(shù)列求和問題

角度一：錯位相減求和法

【例7】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1，且滿足Sn=an+1.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn.

分析:(1)由a1=1，及Sn=an+1推出數(shù)列{an}從第二項起為等比數(shù)列，且驗證當n=1的情況；(2)由錯位相減法獲解.

(2)當n=1時，T1=1，當n≥2時，

Tn=1+2×20+3×21+…+n×2n-2,2Tn=1×2+2×21+3×22+…+n×2n-1，

點評:使用錯位相減法時應注意：(1)適用題型：等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}對應項相乘{an·bn}，構成數(shù)列{an·bn}的求和.(2)若等比數(shù)列的公比為變量，需對其討論，分類標準是變量與1的關系；在寫“Sn”與“qSn”時，應錯項對齊，便于準確運算.(3)由于錯位相減法求解過程的復雜性，因此在得出結論后，應令n=1,2，結合{an}中的a1及a1+a2的值進行驗證.

角度二：裂項相消法

【例8】已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，若a3+a9=22，且a5,a8,a13成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

角度三：分組轉化求和法

核心考點5：數(shù)列的綜合應用

角度一：數(shù)列周期性問題

分析:依題意求出a3,a4,a5,a6，確定其周期為T=3，進而根據三角函數(shù)性質求解.

解析:當n=1時，a1a2a3=a1+a2+a3?2a3=3+a3?a3=3;

當n=2時，a2a3a4=a2+a3+a4?6a4=5+a4?a4=1;

當n=3時，a3a4a5=a3+a4+a5?3a5=4+a5?a5=2;

當n=4時，a4a5a6=a4+a5+a6?2a6=3+a6?a6=3，…，

點評：本題主要考查周期數(shù)列及三角函數(shù)的圖象與性質.解決數(shù)列周期性問題的方法：先根據已知條件求出數(shù)列的前幾項，然后確定其周期.

角度二：數(shù)列與不等式知識的交匯

【例11】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=2，且an+1=Sn+2(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

分析：(1)根據Sn與an+1的關系式推理出an的表達式；(2)由(1)的結論，可解出Tn的表達式，然后化簡絕對值不等式，再結合數(shù)列的單調性從而獲解.

點評:數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集或其子集，借助相關數(shù)列的單調性，可解決有關數(shù)列中的最值問題.

角度三：數(shù)列與函數(shù)知識的交匯

【例12】(2019·江蘇卷·20)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.

(Ⅰ)已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足：a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0，求證：數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”；

①求數(shù)列{bn}的通項公式；

②設m為正整數(shù)，若存在“M-數(shù)列”{cn}(n∈N*)，對任意正整數(shù)k，當k≤m時，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值.

分析:(Ⅰ)依題意設數(shù)列{an}的公比，由條件列出關于首項與公比的方程組并解之，從而命題獲證；(Ⅱ)①將b1=1,n=1代入得b2=2，對遞推式進行合理變形、整理，可證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；②由①得bk的值，利用化歸與轉化的思想方法，將問題進行等價轉化，通過構造函數(shù)，利用導函數(shù)性質研究，即可獲得m的最大值.

x1,e ee,+∞ f'(x)+0-f(x)↗極大值↘

點評:在解決數(shù)列與函數(shù)的綜合問題時應關注：(1)利用函數(shù)的思想方法研究數(shù)列相關問題時，應合理、準確構造相應函數(shù)，特別是數(shù)列中相關限制條件的轉化；(2)轉化以函數(shù)為背景的條件時，應注意其定義域；(3)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集或其有限子集，而不是某區(qū)間上的連續(xù)實數(shù).它的圖象是一群孤立的點.

角度四：與數(shù)列有關的不等式證明問題

【例13】(2019·浙江卷·20)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=4,a4=S3.數(shù)列{bn}滿足：對每個n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

分析：(Ⅰ)設數(shù)列{an}的首項a1與公差d，由a3=4,a4=S3，列出關于a1及d的方程組并解之，然后利用等比中項建立方程，進而求出數(shù)列{bn}的通項公式；(Ⅱ)利用數(shù)學歸納法及放縮法證明不等式.